Exercices autour du th´ eor` eme d’Ascoli

Exercices autour du th´ eor` eme d’Ascoli

Commencer par ´enoncer le th´eor`eme d’Ascoli.

Exercice 0. Soient X, Y deux espaces m´etriques compacts et µ une mesure bor´elienne de masse finie surY. ´Etant donn´ee une fonctionK∈ C⁰(X×Y), on d´efinit un op´erateur lin´eaireT :C⁰(Y)→ C⁰(X) par

∀f ∈ C⁰(Y), ∀x∈X, T f(x) = Z

Y

K(x, y)f(y)dµ(y).

Montrer queT est compact.

Exercice 1. Soitf_n une suite de fonction L-Lipschitzienne d´efinies sur un compactK`a valeur dansRavecL >0. On suppose qu’il existex₀∈Ktel que f_n(x₀) est born´e. Montrer qu’il existe une sous-suite qui converge uniform´ement vers une fonctionf elle-mˆemeK-Lipschitzienne.

Exercice 2. On dit qu’un ensemble C ⊂ R² est rectifiable s’il existe une fonction lipschitzienne f : [0,1] 7→ C surjective. On note Λ(f) la constante de lipschitz d’une fonction lipschitzienne et on d´efinit la longueurl(C) de l’arc comme la borne inf´erieure des constantes de lipschiz des fonctions f d´ecrites ci-dessus. Montrer quel(C) est atteint.

Enoncer le th´eor`eme du graphe ferm´e.

Exercice 3. Soit E un sous espace deC([0,1]) ferm´e pour la normekk_∞. On suppose que toutes les fonctions deE sont de classeC¹. On va montrer queE est de dimension finie.

1. Montrer qu’il existeM >0 tel que

∀f ∈E, kf⁰k∞≤Mkfk∞ . On pourra ´etudier la continuit´e de la d´erivation surE.

2. Montrer que la boule unit´e deE est compacte et conclure.

Exercice 4. Mˆeme exercice mais on remplacef ∈ C¹parf d´erivable.

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