Licence informatique S4 Maths pour l’Info
Examen partiel du 14 mars 2016
Corrig´e Dur´ee 2h
Probl` eme I. Notions de base. 6 pts
1) 1 pt Enoncer le th´eor`eme de division euclidienne dans Z. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd de 5435 et 16. Que vaut le pgcd de -5435 et 16?
Enonc´e :soit n ∈ Z et m ∈ Z 6= 0, il existe un unique couple de nombres (q, r) tel quen =qm+r et 0≤r <|m|.
Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand diviseurs de a et b. C’est donc un nombre positif. Il est obtenu par l’algorithme d’Euclide.
5435 = 16×339 + 11 16 = 11×1 + 5 11 = 5×2 + 1
−5435 = 16×(−340) + 5 16 = 5×3 + 1
Le PGCD de 5435 et 16 est ´egal `a 1 : ils sont premiers entre eux. Donc le PGCD de - 5435 et 16 est ´egal aussi ´egal `a 1.
2) 1 pt Donner la relation entre le pgcd et le ppcm de deux entiers relatifs. En d´eduire le ppcm de -5435 et 16.
(a∨b) (a∧b) = |ab|
ce qui implique que le ppcm de dat est ´egal `a 5435×16.
3) 1 pt Quel est le premier chiffre dans l’´ecriture hexad´ecimale (en base 16) de 5435 ?
L’´ecriture hexad´ecimale de 5435 est a0a1a2. . . ak16, avec 5435 =a0+a1(16) +a2(16)2+. . . ak(16)k ak est le pgcd de 5435 et 16, il est donc ´egal `a 1.
4) 1 pt Utiliser l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer l’´ecriture hexad´ecimale de 5435.
5435 = 16×(339) +11 339 = 16×21 +3
21 = 16×1 +5 1 = 16×0 +1
1
5435 =11+3(16) +5(16)2+1(16)3 Le r´esultat est 153B o`u B d´esigne 11.
5) 1 pt Enoncer le th´eor`eme de d´ecomposition en facteurs premiers.
Enonc´´ e : Soitn∈Z un nombre entier relatif, alors il existe un ensemble fini unique de nombres premiersp1 < ... < pn et un ensemble unique de nombres entiers stricte- ment positifs α1, ..., αn tels que n=εpα11....pαnn, o`u ε=±1.
Pour N entiers p1,· · · , pN > 1 et N entiers α1,· · · , αN > 0, d´eterminer le nombre de diviseurs dep=pα11pα22 ·pαNN.
τ =QN
j=1(αj + 1). Dans le cas N = 2 les repr´esenter sur un diagramme de Hasse.
6) 1 pt D´ecomposer en facteurs premiers 900 et 16. D´eterminer leur pgcd et le ppcm.
900 = 22×32×52, 16 = 24, 900∧16 = 22, 900∨16 = 24×32×52.
Probl` eme II. Equations en nombres entiers. 5 pts
1) 1 pt Soit l’´equationax+by=c. R´esumer l’´etude g´en´erale : existence, nombre de solutions, comment les obtenir.
Enonc´´ e : Soit d = a ∧b. Si c n’est pas multiple de d, il n’y a pas de solution enti`ere. Si c est multiple de d, les solutions de ax + by = c sont de la forme (uc−bk)/d,(vc+ak)/d) o`u au+bv =d etk parcourt Z.
Etudier ensuite les ´equations suivantes en suivant ce protocole.
2) 2 pts 5435x+ 16y= 5.
Puisque 5435 et 16sont premiers entre eux, on chercheuetv tels que 5435u+16v = 1 (Bezout), soit u= 3 etv =−1019, puis (x, y) = (5u−16k,5v+ 5435k)
3) 2 pts 17x−40y= 1.
Ici c’est plus simple, de mˆeme 17 et −40 sont premiers entre eux, on trouve (u, v) = (−7,−3) et (x, y) = (−7,−3) +k(40,17).
Probl` eme III. Autour du th´ eor` eme d’Euclide. 6 pts
1) 1 pt Enoncer le th´eor`eme d’Euclide.
Enonc´´ e : Il existe une infinit´e de nombres premiers.
2) 2 pts L´eg`ere variation sur la preuve du cours.
a) Soitnun entier≥3. Montrer quen!−1 a un diviseurppremier. Ceci provient du lemme du cours : tout entier >1 est divisible par un nombre premier.
2
b) Montrer par l’absurde que p > n.
Supposons que p ≤ n. Alors p divise n!, ce qui est impossible car il divise n!−1.
c) En d´eduire que pour tout entier n ≥ 3, il existe un entier p premier tel que n < p < n!.
d) Conclure. On finit comme dans la d´emonstration du cours.
3) 3 pts On veut montrer que l’ensemble X des entiers premiers de la forme 4n + 3 est infini. On proc`ede par l’absurde et on suppose que X est fini : X = {p1, p2· · ·pN}.
(a) Montrer que le produit de nombres entiers de la forme 4n+ 1 est de la forme 4n+ 1.
On proc`ede par r´ecurrence sur le nombre de facteurs, il suffit donc de voir que c’est vrai pour deux facteurs
(4n+ 1)×(4m+ 1) = 4(4mn+m+n) + 1.
(b) Montrer que le nombre M = 4p1p2· · ·pN −1 est de la forme 4n+ 3.
Encore par r´ecurrence sur le nombre de facteurs.
Initialisation 4(4n+ 3)−1 = 4(4n+ 2) + 3 4p1p2· · ·pN−1 = (4p1p2· · ·pN−1−1)
| {z }
4n+3
pN
|{z}
4m+3
+pN −1
| {z }
4m0+2
= 4(4mn+3m+3n+2)+3
(c) Montrer par l’absurde grˆace au (a) qu’il existe un diviseur premier deM de la forme 4n+ 3. Puisque tout nombre entier non nul admet un diviseur premier, M admet un diviseur premier. Il ne peut ˆetre pair puisqueM est impair. Donc tout diviseur premier de M est impair, donc de la forme 4n + 1 ou 4n+ 3.
Supposons qu’il n’ait aucun diviseur premier de la forme 4n+ 3. Donc tous ses diviseurs premiers sont de la forme 4n+ 1. Par (a)M est donc de la forme 4n+ 1, ce qui contredit le fait que M est de la forme 4n+ 3.
(d) Conclure. On conclut comme dans le cours : aucun des pj ne peut diviser M, on a donc cr´e´e un nouvel ´el´ement dans X.
3
