Probl` eme en classe: Th´ eor` eme de Bernstein.

Capes de Math´ematiques.

Universit´e d’Artois P. Lef`evre.

Probl` eme en classe: Th´ eor` eme de Bernstein.

El´ ´ ements de correction.

I] 1) C’est l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebichev. On a var(Z) = E

h(Z −E(Z))²ⁱ. On pose E ={|Z−E(Z)| ≥α}.

Avec une pr´esentation via la mesure P, on peut ´ecrire:

var(Z)≥

Z

E

|Z −E(Z)|²dP≥

Z

E

α²dP=α²P(E).

Pour une r´edaction (´el´ementaire) plus en conformit´e avec le programme du Capes et le fait que l’on manipule une probabilit´e finie: on a, en posant X = (Z −E(Z))², qui est une v.a.

positive:

varZ =E(X) = ^X

k∈X(Ω)

kP({X =k})≥ ^X

k∈X(E)

kP({X =k}).

Or, lorsque ω ∈E, X(ω) = (Z(ω)−E(Z))² ≥ α², donc varZ ≥ ^X

k∈X(E)

α²P({X =k}) puis on remarque que E est inclus dans la r´eunion (disjointe) des ´ev`enements {X = k}, o`u k d´ecrit les valeurs de X(E). On conclut

varZ ≥α^{2 X}

ω∈E

P({ω}) =α²P(E).

2) var

n

X

i=1

Z_i

=var

n

X

i=1

Z_i⁰

o`uZ_i⁰ =Z_i−E(Z_i), car E

n

X

i=1

Z_i

=

n

X

i=1

EZ_i.

Comme les v.a. Z_i sont ind´ependantes, les v.a. Z_i⁰ sont aussi ind´ependantes. Et la propri´et´e suppl´ementaire des Z_i⁰ est qu’elles sont centr´ees: EZ_i⁰ = 0. On a alors:

var

n

X

i=1

Z_i

=E

X

1≤i,j≤n

Z_i⁰Z_j⁰

= ^X

1≤i,j≤n

EZ_i⁰Z_j⁰.

Or EZ_i⁰Z_j⁰ = (EZ_i⁰)(EZ_j⁰) = 0, si i6=j, par ind´ependance; et EZ_i⁰Z_j⁰ =var(Z_i) si i=j. Finalement, on a bien var

n

X

i=1

Z_i

=

n

X

i=1

var(Z_i).

1

II]1) S_n prend ses valeurs dans {0, . . . , n} et pour k ∈ {0, . . . , n}, on a P

{S_n=k}=

n k

p^k(1−p)^n−k, autrement dit: S_n suit la loi binomiale de param`etre p.

En effet, {S_n =k} la r´eunion (disjointe) des ´ev`enements

nω ∈Ω| ∀i∈E, X_i(ω) = 1 et ∀i /∈E, X_i(ω) = 0^o, o`uE d´ecrit les parties de {1, . . . , n} de cardinal k.

Donc P

{S_n=k} = ^X

E⊂{1,...,n}

card(E)=k

P

nω ∈Ω| ∀i∈E, X_i(ω) = 1 et ∀i /∈E, X_i(ω) = 0^o

= ^X

E⊂{1,...,n}

card(E)=k

P ^\

i∈E

{X_i = 1} ∩ ^\

i /∈E

{X_i = 0}

En utilisant l’ind´ependance des v.a. Xi, cela donne P

{S_n=k}= ^X

E⊂{1,...,n}

card(E)=k

Y

i∈E

P({X_i = 1}).^Y

i /∈E

P({X_i = 0}) = ^X

E⊂{1,...,n}

card(E)=k

p^k(1−p)^n−k

car P({X_i = 1}) =p et P({X_i = 0}) = 1−p.

D’o`u le r´esultat puisqu’il y a

n k

termes dans la somme.

2) a) Y_n prend ses valeurs dans ⁿk

n |0≤k ≤n^o et P

{Y_n= k

n}=P

{S_n =k}=

n k

p^k(1−p)^n−k.

b) EX_n= 1.PXn({1}) + 0.PXn({0}) = p. On en d´eduit EY_n= 1

nES_n= 1 n

n

X

i=1

EX_i =p.

c) EX_n² = 1².P^Xn({1}) + 0².P^Xn({0}) = p donc varX_n = EX_n² −(EX_n)² = p(1−p).

CommevarY_n = 1

n²varS_n = 1 n²

n

X

i=1

varX_i d’apr`es I.2., on en d´eduit que

varY_n = 1

n².n.p(1−p) = p(1−p) n ·

3) a) h(Y_n) prend ses valeurs dans ⁿh_n^k|0≤k ≤n^o.

b) Soit k ∈ {0, . . . , n}. Comme h est injective, h(x) = h^k_n si et seulement si x = ^k_n donc on a

2

P

nh(Y_n) = hk n

o=P

nY_n= k n

o=

n k

p^k(1−p)^n−k.

Dans le cas g´en´eral, pour k ∈ {0, . . . , n}, on note J_k = ⁿ0 ≤ l ≤ n| h_n^l = h_n^ko. C’est en fait la classe d’´equivalence de k modulo la relation sur {0, . . . , n}: l∼k si h_n^l= h^k_n. Consid´erons les diff´erentes classes d’´equivalence : J_k pour k ∈S, o`u S ⊂ {0, . . . , n}.

Autrement dit: si k 6=k⁰, on a J_k∩J_k⁰ =∅ et pour tout k ∈ {0, . . . , n}, il existe un k⁰ ∈ S tel que J_k = J_k⁰. On a alors pour chaque k ∈ S: P

nh(Y_n) = h^k_n^o= ^X

l∈J_k

P

nY_n = l n

o

car {h(Y_n) =h^k_n^o= ^[

l∈J_k

{Y_n = l n

o(r´eunion disjointe !). On obtient

P

nh(Y_n) = hk n

o= ^X

l∈Jk

n l

p^l(1−p)^n−l. 4) Grˆace `a la question 3., on peut ´ecrire

E

h(Y_n)= ^X

k∈S

hk n

P

nh(Y_n) =hk n

o= ^X

k∈S

hk n

X

l∈Jk

n l

p^l(1−p)^n−l.

Or, lorsque l ∈J_k, on a h^k_n=h_n^l donc

E

h(Y_n)= ^X

k∈S

X

l∈J_k

hl n

n l

p^l(1−p)^n−l= ^X

0≤l≤n

hl n

n l

p^l(1−p)^n−l car {0, . . . , n} est la r´eunion disjointe des ensembles J_k lorsque k d´ecrit S.

III]1) h est continue sur le segment [0,1] donc uniform´ement continue par le th´eor`eme de Heine.

2) a)Six∈I, on a|Y_n(x)−p|< δ donc|h(Y_n(x))−h(p)| ≤ε. Ainsi|h(Y_n)−h(p)|.1I_I ≤ε donc par monotonie de l’esp´erance:

E

|h(Y_n)−h(p)|.1I_I

≤Eε=ε.

b) Bien sˆur: E

|h(Y_n)−h(p)|

=E

|h(Y_n)−h(p)|.1I_I

+E

|h(Y_n)−h(p)|.1IΩ\I

. Or E

|h(Y_n)−h(p)|.1I_I

≤ε d’apr`es 2.a.

et d’autre part, on a bien sˆur |h(Y_n)−h(p)|.1IΩ\I ≤2khk∞1IΩ\I d’o`u E

|h(Y_n)−h(p)|.1I_Ω\I

≤E

2khk_∞1I_Ω\I= 2khk_∞.P(Ω\I) d’o`u le r´esultat avec M = 2khk∞.

3

c) CommeP(Ω\I)≤ var(Y_n)

δ² d’apr`es I.1. et var(Y_n)≤ 1

n d’apr`es II.2.c., on a

E(h(Yn)−h(p))≤E

|h(Yn)−h(p)|

≤ε+ M nδ²·

IV]1) On r´e´ecrit le III.4.: pour tout entier n≥1 et tout p∈[0,1]:

X

0≤k≤n

n k

hk n

p^k(1−p)^n−k−h(p)≤ε+ M nδ²

o`uδ ne d´epend que de ε.

Ainsi il existe n0 ≥1 (n0 ≥M/εδ²) tel que pour tout entiern ≥n0 et toutp∈[0,1]:

X

0≤k≤n

n k

hk n

p^k(1−p)^n−k−h(p)≤2ε.

2)Ainsi, ´etant donn´eehcontinue sur [0,1], on d´efinit la suite de polynˆomes (les polynˆomes de Bernstein):

B_n(X) = ^X

0≤k≤n

n k

hk n

X^k(1−X)^n−k ∈Rn[X]

D’apr`es le 1., pour tout ε > 0, il existe n₀ ≥ 1 tel que pour tout entier n ≥ n₀ et tout p ∈ [0,1]: |h(p)−B_n(p)| ≤ 2ε, i.e. kh−B_nk∞ ≤ 2ε. Ainsi (B_n)_n converge uniform´ement vers h sur [0,1].

3) Si le segment est un singleton: c’est trivial ! Soient [a, b] un segment quelconque non trivial (a < b) etf continue sur ce segment. On d´efinith(t) = f(ta+ (1−t)b) pourt ∈[0,1].

Commehest continue, on lui associe la suite de polynˆomes de Bernstein (B_n)_n, qui converge uniform´ement versh sur [0,1] d’apr`es le 2.

On d´efinit alors la suite de polynˆomes: P_n(X) =B_n^X−b_a−b. Comme sup

x∈[a,b]

|f(x)−P_n(x)|= sup

t∈[0,1]

|h(t)−B_n(t)|. Le r´esultat est imm´ediat.

4