Un théorème de Beilinson-Bernstein pour les D-modules arithmétiques.

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Un théorème de Beilinson-Bernstein pour les D-modules arithmétiques.

C. Noot-Huyghe^∗ March 18, 2010

desD-modules sur la variété de drapeaux d’un groupe réductif sur le corps des nombres complexes. Nous donnons ici un analogue arithmétique de ce résultat, pour la catégorie des D-modules arithmétiques sur la variété de drapeaux d’un groupe réductif sur un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0, p).

Abstract

An important result of group theory, independantly proved during the years ’80, by Beilin- son and Bernstein, Brylinski and Kashiwara, is an affinity result forD-modules on the flag variety of a reductive group over the field of complex numbers. We give here an arithmetic analogue of this result, for the category of arithmeticD-modules on the flag variety of a reductive group over a discrete valuation ring of inequal characteristics (0, p).

Introduction

Soit V un anneau de valuation discrète, d’inégales caractéristiques (0, p). On considère ici les deux situations suivantes :

1- S= specV, le spectre deV,X est un S-sch´ema noeth´erien,

2- S= SpfV, le spectre formel de V,X un sch´ema formel noeth´erien surS.

Soit A un faisceau cohérent de O_X-algèbres, quasi-cohérent comme O_X-module (resp. A un faisceau cohérent deO_X-algèbres). UnA-module sur le schémaX sera dit quasi-cohérent s’il est unO_X-module quasi-cohérent. On dit que X (resp. X) est A-affine si les deux propriétés suivantes sont vérifiées :

(i) Pour tout A-module quasi-cohérent Msur X (resp. tout A-module cohérent sur X) et toutn≥1 on a les égalités Hⁿ(X,M) = 0 (resp. Hⁿ(X,M) = 0).

(ii) Le foncteur Γ établit une équivalence de catégories entre la catégorie des A-modules quasi-cohérents (resp. des A-modules cohérents) et la catégorie des Γ(X,A)-modules (resp. des Γ(X,A)-modules de type fini).

Un énoncé important de la théorie des groupes est le théorème de Beilinson-Bernstein : soit G un groupe semi-simple sur C, X une variété de drapeaux de G, D_X le faisceau des opérateurs différentiels surX, alorsX estD_X-affine. On se propose de donner ici un analogue arithmétique de cet énoncé, dans la situation qui suit. Soit G un groupe semi-simple sur S, ρ la demi-somme des racines positives de G,P un sous-groupe parabolique deG,X =G/P, X le schéma formel obtenu en complétant X le long de la fibre spéciale de S. Ce schéma est lisse et on peut s’intéresser au faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques sur X construit par Berthelot, que nous noteronsD_X^†_,Q. On montre alors queX estD_X^†_,Q-affine. Plus généralement, siλest un caractère deG,L(λ) le faisceau inversible surX associé au caractère λ (cf A.4), et D^†_X_,Q(λ) le faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques à valeurs dans L(λ), alorsX est D_X^†_,Q(λ)-affine pour tout poids λtel queλ+ρ est dominant et régulier.

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En caractéristique 0, pour le faisceauD(λ) tel queλ+ρest dominant et régulier, le résultat est démontré indépendamment par Beilinson-Bernstein ([BB81]) et par Brylinski-Kashiwara ([BK80]) et joue un rôle essentiel dans la démonstration de la conjecture de multiplicité de Kazhdan-Lusztig ([KL79]).

En caractéristique p > 0, Haastert a montré que cet énoncé d’affinité était vérifié pour les espaces projectifs, ainsi que pour la variété de drapeaux de SL₃ ([Haa87]). En revanche, Kashiwara-Lauritzen ont donné un contre-exemple à cet énoncé, pour le faisceau usuel D ([KL02]) défini dans [EGA IV] et pour la grassmanienne des sous-espaces vectoriels de dimension 2 d’un espace de dimension 5. Enfin, Bezrukavnikov, Mirkovic, Rumynin ont montré (3.2 de [BMR04]) un analogue de ce résultat d’affinité en passant à la catégorie dérivée bornée des D⁽⁰⁾-modules cohérents surX (i.e. les opérateurs différentiels sans puissances divisées) et sous la condition quep soit strictement plus grand que le nombre de Coxeter deG.

En caractéristique mixte, le résultat a été montré pour les espaces projectifs ([Huy97]).

Dans ce cas, on utilise de fa¸con cruciale le fait que le faisceau tangent est très ample, ce qui caractérise l’espace projectif. Le point clé pour les variétés de drapeaux est que la catégorie desD^†_X,Q-modules cohérents est engendrée par les modules induits (i.e. du type D_X^†_,Q⊗O_X E où E est un O_X-module cohérent). On utilise cette propriété pour montrer que si le résultat de D-affinité est vrai algébriquement, pour le faisceau D_X_K, alors il est vrai pour le faisceau D_X^†_,Q sur le schéma formelX (théorème 2.1).

Nous n’aborderons pas ici l’aspect localisation deLie(G)-modules (ou plutôt des modules sur la complétion faible deLie(G)), qui est bien entendu sous-jacent et fera l’objet d’un article ultérieur.

Nous remercions le referee pour sa lecture attentive et ses suggestions pertinentes pour am´eliorer la r´edaction de ce texte.

1 Notations-Rappels

1.1 Notations

Dans toute la suite, on note K le corps des fractions de V, π une uniformisante et k le corps r´esiduel deV. SoitGun groupe semi-simple sur S,P un sous-groupe parabolique deG.

On rappelle que, par d´efinition ([Dem66]), un sous-groupe parabolique est plat surS. Comme S est le spectre d’un anneau de Dedekind, le quotient X =G/P est unS-sch´ema ([Ana73]).

On noteN la dimension deX, etX le schéma formel associé par complétion à X.

D’une fa¸con générale, siZ est un S-schéma, la lettre cursiveZ désignera le schéma formel obtenu en complétantZ le long de l’idéalπ,Z_kla fibre spécialeZ_k = speck×_SZ etZ_Kla fibre générique ZK = specK×_SZ. On posera iZ l’immersion fermée Z_k ,→ Z et jZ l’immersion ouverteZ_K → Z (on omettra éventuellement le Z dans les notations quand le contexte sera

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clair). On notera aussi

Zi =Z×_Sspec (S/πⁱ⁺¹S).

Pour un faisceau E sur unS-sch´ema Z, on notera E_k=i^∗E etE_K =j^∗E.

1.2 Coefficients p-adiques

Fixons un entierm. Si k_i∈N, on introduit q_k_i le quotient de la division euclidienne de k_i parp^m et pour un multi-indice k= (k₁, . . . , k_N) on d´efinit

qk! =

N

Y

i=1

qki!.

Pour k≤l∈N, on pose

l k

= q_k! qk!ql−k!, l

k

= l

k l

k −1

∈Z_(p),

et pour des multi-indices k,l∈N^N, tels quek≤l (i.e.ki ≤li pour tout 1≤i≤N), l

k

=

N

Y

i=1

li

ki

.

On d´efinit de fa¸con analogue les coefficients _l

k et _k^l .

Décrivons maintenant les différents faisceaux d’opérateurs différentiels intervenant dans cette situation.

1.3 Opérateurs différentiels arithmétiques

Dans cette partie,X est unS-schéma lisse et X est son complété formel le long de l’idéal engendré par π. On décrit les différents faisceaux d’opérateurs différentiels en coordonnées locales. Nous renvoyons à [EGA IV] et à [Ber96] pour une définition intrinsèque de ces faisceaux. Soit U un ouvert affine lisse de X,x₁, . . . , x_N une famille de coordonnées locales sur X, dx₁, . . . , dx_N une base de Ω¹_X(U), ∂₁, . . . , ∂_N la base duale de T_X(U). Si k_i ∈N, on note

∂_i^[kⁱ^] = ∂i/ki! et pour un multi-indice ∂^[k] = QN

i=1∂_i^[kⁱ^]. Alors on a la description suivante ([EGA IV])

D_X(U) =





 X

f inies

a_k∂^[k]|a_k ∈ O_X(U)





 .

Donnons maintenant une description des faisceaux d’op´erateurs diff´erentiels construits par P. Berthelot.

Soit m ∈ N. P. Berthelot introduit les faisceaux D^(m)_X , ainsi que Db^(m)_X , leur compl´et´e p-adique surX. Notons

∂^hki^(m) =q_k!∂^[k].

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On a alors les descriptions suivantes D⁽⁰⁾_X (U) =





 X

f inies

a_k∂^k|a_k∈ O_X(U)





 ,

D^(m)_X (U) =





 X

f inies

ak∂^hki^(m)|ak∈ O_X(U)





 .

Ces faisceaux d’anneaux sont filtrés par les sous-faisceaux deO_X-modulesD^(m)_X,t des opérateurs différentiels d’ordre ≤tpour t∈N, et on a

D_X,t^(m)(U) =





 X

|k|≤t

a_k∂^hki^(m)|a_k∈ O_X(U)





 .

Pourm= +^∞, les définitions s’étendent naturellement (tous les coefficientsq_k! sont alors égaux

`

a 1) et on retrouve le faisceau usuelD_X. Les faisceauxD^(m)_X forment un système inductif, ainsi que leurs complétésp-adiquesDb^(m)_X . On posera

D_X^†_,Q= lim−→

m

Db_X^(m)_,Q.

Les faisceauxD^(m)_X sont à sections noethériennes sur les ouverts affines, c’est donc aussi le cas des faisceauxDb^(m)_X_,Q, qui sont cohérents. On en déduit, via un théorème de platitude, que le faisceauD^†_X_,Q est cohérent.

Plus précisément, la structure de l’algèbre graduée deD^(m)_X est décrite en 1.3.7.3 de [Huy97]

en termes d’alg`ebre sym´etrique de niveau m du faisceau tangent.

Rappelons comment est construite l’alg`ebre sym´etrique de niveau m d’un O_X-module localement libreE (section 1 de [Huy97]).

1.4 Alg`ebres sym´etriques de niveau m.

Pour les définitions relatives aux m-PD-structures, on se reportera à [Ber96]. Soit E un O_X-module localement libre. Le faisceau d’algèbres symétriquesS(E^∨) est gradué et muni de l’idéal d’augmentationI(E^∨) =L

n≥1S_n(E^∨). Par définition,Γ_(m)(E^∨) est lam-PD-enveloppe du couple (S(E^∨), I(E^∨)). Ce faisceau d’algèbres est muni d’unm-PD-idéalI, définissant une m-PD-filtration et on définit

Γⁿ_(m)(E^∨) =Γ_(m)(E^∨)/I^{n+1}. On pose enfin

S^(m)(E) =[

n

Hom_O_X(Γⁿ_(m)(E^∨),O_X),

qui est (1.3.3 de [Huy97]) un faisceau deO_X-alg`ebres commutatives gradu´ees par S^(m)(E) = M

n∈N

S_n^(m)(E), o`u S^(m)_n (E) =Hom_O_X(I^{n}/I^{n+1},O_X).

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Les modulesS_n^(m)(E) sont localement libres de rang fini et le faisceau S^(m)(E) est un faisceau d’algèbres localement noethériennes. Ces constructions définissent des foncteurs covariants Γ_(m) etS^(m) de la catégorie des O_X-modules localement libres vers la catégorie des faisceaux d’algèbres commutatives graduées.

Si y₁, . . . y_N sont une base locale de E sur un ouvert U de X, le faisceau S^(m)n (E) admet pour base surU des ´el´ements

y^hki=y₁^hk¹ⁱy^hk₂ ²ⁱ· · ·y_N^hk^Nⁱ tels que |k|=n.

De plus ces éléments vérifient

y^hki·y^hli=

k+l k

y^hk+li.

Nous aurons besoin de la propriété de dévissage suivante (1.3.9 de [Huy97]). Soit 0→ E → F → G →0 une suite exacte deO_X-modules localement libres. On pose, pour 0≤l≤k,

Λ^l_k=X

i≥l

Im(S^(m)_i (E)⊗_O_X S^(m)_k−i)(F)→S^(m)_k (F)).

Les modules Λ^l_k forment une filtration d´ecroissante de S_k^(m)(F). Les modules Λ⁰_k et Λ^k_k sont isomorphes respectivement `a S_k^(m)(F) et S^(m)_k (E).

Proposition 1.4.1. Pour tout l≤k, il existe des suites exactes de O_X-modules 0→Λ^l+1_k →Λ^l_k→S_l^(m)(E)⊗_O_X S_k−l^(m)(G)→0.

L’intérêt de cette construction pour nous est le résultat suivant (1.3.7.3 de [Huy97]).

Proposition 1.4.2. Il existe un isomorphisme canonique de faisceaux de O_X-alg`ebres gradu´ees

gr_•D^(m)_X 'S^(m)(T_X).

1.5 Opérateurs différentiels à valeurs dans un faisceau inversible

SoitLun faisceau inversible surX(on gardera la notationLpour leO_X-module localement libre de rang 1 obtenu en compl´etantL le long deπ). On noteD^]_X l’un des faisceauxDb^(m)_X_,Q ou D_X^†_,Q et

D_X^] (L) =L ⊗_O_X D_X^] ⊗_O_X L⁻¹.

Sur X (resp. X) on introduit de même le faisceau D^(m)_X (L) (resp. Db^(m)_X (L)). On voit facile- ment que cette définition généralise la définition 4.4 de [BO78], du faisceau des opérateurs différentiels à valeurs dans un faisceau inversible L.

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1.6 Faisceau tangent sur un espace homog`ene On termine par le fait classique suivant.

Proposition 1.6.1. Le faisceau T_X est engendr´e par ses sections globales.

L’action `a gauche deGsurX (resp.G) munitT_X (resp.T_G) d’une structure de G-module

équivariant (chapitre 1 de [MFK94]). En particulier, le groupe abélien Γ(G,T_G) est un G- module. Le module des dérivations invariantes Γ(G,T_G)^G s’identifie à Lie(G) (II 4 6.5 de [DG70]). La formation de ce module commute donc aux changements de base. D’après II 4 6.3 de [DG70], on dispose d’une application canoniqueLie(G)→Γ(X,T_X). On en déduit une application canoniqueu :O_X ⊗_V Γ(G,T_G)^G→ T_X.

Dans le cas où la base est un corps algébriquement clos, il est bien connu queuest surjectif et que cela résulte du fait que l’action deGsurX est transitive. Rappelons la démonstration dans ce cas. Supposons donc que S = specl où l est un corps algébriquement clos. Notons e = 1GP, la classe de l’élément neutre de G dans G/P. La fibre i^∗_eT_X est un quotient de Lie(G) d’après II 4.2 de [Jan03], ce qui entraˆıne que u(e) est surjectif. Il suffit de montrer queu est surjectif au-dessus des points fermés d’après le lemme de Nakayama. Soitx∈X(l), alors il existe g ∈ G(l) tel que x = gP. On dispose alors d’opérateurs de translation λg : k(x) = l ' k(e) = l et ρ_g : i^∗_xT_X ' i^∗_eT_X, semi-linéaires par rapport aux λ_g tels que le diagramme suivant soit commutatif

Γ(G,T_G)^G ^u(x) ^//i^∗_xT_X

ρg

o

Γ(G,T_G)^G ^u(e)^//^//i^∗_eT_X.

Cela montre que u(x) est surjectif et donc finalement que u est surjectif. Sur une base S générale, il suffit de montrer la surjectivité deu en tout point fermé sde S, d’après le lemme de Nakayama. Soientis l’immersion fermée correspondante às,k(s) le corps résiduel desetl une clôture algébrique dek(s). Après application dei^∗_s, l’applicationudonne une application u_s:O_X_s⊗_k(s)Γ(G_s,T_G_s)^G^s → T_X_s. Après extension des scalaires àl, cette flèche est surjective d’après ce qui précède. Par fidèle platitude de lsur k(s), la flèche us est surjective et donc u est surjectif.

Dans la sous-section suivante, on explique pourquoi il suffit de montrer le théorème de Beilinson-Bernstein après extension fidèlement plate de la base.

1.7 Changements de base fid`element plats

Dans cette sous-section,Xest un schéma lisse surS, dont le complété formel estX. Soient m∈N,D^]_X comme en 1.5,V⁰ un anneau de valuation discrète d’inégales caractéristiques 0, p, qui est uneV-algèbre finie fidèlement plate. On introduit aussiS⁰ = specV⁰, X⁰ =X×_SS⁰, S⁰ = SpfV⁰,X⁰ =S⁰×SX. On dispose alors de la proposition suivante

(8)

Proposition 1.7.1. Si X⁰ est D_X^]0-affine, alorsX estD^]_X-affine (resp. si X⁰ estD_X^(m)0 -affine, alors X estD^(m)_X -affine).

Démonstration. SoitMunD_X^] -module cohérent. Il suffit de montrer qu’il est acyclique pour le foncteur Γ et engendré par ses sections globales commeD^]_X-module. LeD^]_X0-moduleV⁰⊗_V M est cohérent, donc acyclique pour le foncteur Γ et engendré par ses sections globales. De plus, par platitude du morphismeV →V⁰, on a pour tout n≥0,

Hⁿ(X⁰, V⁰⊗_V M) =V⁰⊗_V Hⁿ(X,M),

de sorte que∀n≥1, les groupesHⁿ(X,M) sont nuls. De fa¸con analogue, on a une surjection D_X^]0 ⊗_Γ(X₀_,D]

X 0)Γ(X, V⁰⊗_V M)V⁰⊗_V M,

dont on déduit que M est engendré par ses sections globales par fidèle platitude de V⁰ sur V.

Remarque. On donnera une réciproque à cet énoncé en 2.3.2 en supposant seulement que V →V⁰ est fini et plat, pour les espaces homogènes, et plus généralement les schémas vérifiant l’hypothèse (H) de 2.

Passons maintenant à la démonstration du théorème principal.

2 Un crit` ere pour passer du cas alg´ ebrique au cas formel

Le théorème d’annulation va provenir d’un énoncé plus général sur des schémas projectifs surS, sur lesquels le faisceau structural est acyclique et dont le faisceau tangent est engendré par ses sections globales. Il s’agit de donner un critère pour passer d’un énoncé d’acyclicité pour les D-modules sur un schéma projectif lisse X_K sur un corps p-adique à un tel énoncé d’acyclicité pour les D_X^†_,Q-modules cohérents sur le complété formel d’un modèle entier de X_K. Dans cette partie, on suppose queX est un schéma projectif lisse vérifiant les hypothèses suivantes (H) :

(i) Le faisceau O_X est acyclique pour le foncteur Γ.

(ii) Le faisceau tangent T_X est engendr´e par ses sections globales.

Soit L un faisceau inversible sur X. On note encore L le faisceau inversible obtenu à partir deL sur la complétion formelle X de X et pour n’importe quel symbole]égal à (m) ou†, on introduit comme en 1.5 le faisceau des opérateurs différentielsD^]_X(L) à valeurs dansL défini parD_X^] (L) =L ⊗_O_XD^]_X ⊗_O_X L⁻¹.

L’un des points clefs de la démonstration est d’avoir un résultat de finitude de la torsion des groupes Hⁿ(X,D_X^(m)(s)) pour s∈Z fixé et n≥1. Pour cela on utilise les techniques de [Huy97] et les techniques de Kashiwara exposées en 1.4 de [Kas89]. L’idée consiste à donner un critère analogue à celui de Kashiwara, à torsion finie près.

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Fixons maintenant un faisceau ample inversible O_X(1) sur X. Si E est un O_X-module, E(s) pours∈Zd´esigne

E(s) =E ⊗_O_X(O_X(1))^⊗s.

Tout O_X-module cohérent est quotient d’un faisceau du type O_X(−r)â, avec a, r ∈ N. De plus, il existeU ∈N, tel que pour toutu≥U, le faisceauO_X(u) est engendré par ses sections globales au sens où la flèche suivante est surjective

O_X ⊗_V Γ(X,O_X(u))O_X(u), et est acyclique pour le foncteur Γ.

Ces propriétés ainsi que les propriétés cohomologiques du faisceau structural O_X seront essentielles dans ce qui suit.

SoitLunO_X-module localement libre de rang 1 (induisantLsurX_K etLsurX). L’objet de cette section est de montrer le th´eor`eme suivant.

Théorème 2.1. Soit X un schéma lisse vérifiant les hypothèses (H), X le schéma formel associé, on a l’énoncé suivant : si XK est D_X_K-affine (resp. D_X_K(L)-affine), alors X est D_X^]_,Q-affine (resp. D_X^]_,Q(L)-affine).

Ce théorème sera démontré en 2.3.5 et en 2.3.7. En particulier, le complété formel X d’une variété de drapeaux estD_X^]_,Q-affine (resp. D_X^]_,Q(λ)-affine pourλun poids dominant et régulier).

L’énoncé pour les Db_X^(m)_,Q-modules repose sur la structure de l’algèbre graduée gr_•D^(m)_X et sur les résultats classiques de la cohomologie des faisceaux cohérents sur un schéma projectif.

On remarquera que siL est unO_X-module inversible,

gr_•D^(m)_X (L)' L ⊗_O_X gr_•D^(m)_X ⊗_O_XL⁻¹,

et donc gr_•D^(m)_X (L) ' gr_•D_X^(m) puisque l’algèbre graduée gr_•D^(m)_X est commutative. Grâce à cette remarque, le lecteur se rendra compte que la démonstration du théorème est la même dans le cas deDb^(m)_X_,Q (resp. D^†_X,Q) et de Db^(m)_X,Q(L) (resp. D_X^†_,Q(L)). Pour éviter d’alourdir les notations, nous ferons la démonstration pour le cas deDb^(m)_X,Q (resp. D_X^†_,Q).

2.2 R´esultats `a un niveau fini

Dans cette partie, mest fixé. Le premier résultat consiste à établir que siMest un D_X^(m)- module cohérent, alors M(r) est acyclique pour le foncteur Γ(X, .) pourvu que r soit assez grand. Ce résultat repose sur un résultat analogue pour les modules sur l’algèbre graduée gr_•D^(m)_X et pour les O_X-modules. Pour l’algèbre graduée gr_•D_X^(m), nous avons en effet la proposition suivante.

Proposition 2.2.1. Il existe r0 ∈N tel que ∀r≥r0,∀n≥1, Hⁿ(X,gr_•D_X^(m)(r)) = 0.

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En particulier, pour tous r≥r₀,n≥1, t≥0, les groupes Hⁿ(X,gr_tD_X^(m)(r)) sont nuls.

Démonstration. D’après (H), il existe une surjection Oâ_X → T_X, d’où on déduit (1.4.1) un morphisme surjectif de faisceaux cohérents d’algèbres graduées

C=S^(m)(O^a_X)S^(m)(T_X),

et cette dernière algèbre graduée s’identifie à l’algèbre graduéegr•D^(m)_X (1.4.2). Il suffit donc de montrer l’assertion pour tout C-module cohérent E. Comme X est noethérien, et E est un O_X-module quasi-cohérent, E est limite inductive de ses sous O_X-modules cohérents E_i pour i∈I. CommeE est unC-module cohérent et que le faisceau d’algèbres C est à sections noethériennes sur les ouverts affines, il existe une surjection C-linéaire

C ⊗_O_X E_iE, et donc une surjectionC-lin´eaire

C(s₀)^a⁰ E,

avec a₀ ∈N ets₀ ∈ Z. Si E est gradué, on peut faire en sorte que la surjection soit graduée mais cela ne sera pas important ici. Soient r ≥max{U, U−s0} etE₀ = C(s₀)â⁰, les groupes Hⁿ(X,E₀(r)) sont nuls pour tout n ≥ 1. Soit E⁰ le C-module cohérent qui est le noyau de la surjection E₀ → E. On considère (an) l’assertion suivante : pour tout C-module cohérent E, il existe r₀ ∈ N, tel que ∀r ≥r₀, ∀n ≤k, les groupes H^k(X,E(r)) sont nuls. L’assertion (a_N+1) est vraie par les théorèmes généraux. Pour tout r∈N, et toutn∈N^∗, on a des suites exactes 0 =Hⁿ(X,E₀(r))→Hⁿ(X,E(r))→Hⁿ⁺¹(X,E⁰(r)), et l’assertion (an+1) appliquée à E⁰ entraˆıne l’assertion (a_n) pourE et la proposition.

On en d´eduit le corollaire

Corollaire 2.2.2. (i) ∀r≥r₀,∀n≥1,∀t≥0, Hⁿ(X,D^(m)_X,t(r)) = 0, (ii) ∀r≥r₀,∀n≥1, Hⁿ(X,D^(m)_X (r)) = 0,

(iii) Pour tout D_X^(m)-module coh´erent M, il existe r₁ ∈ N, tel que ∀r ≥ r₁, ∀n ≥ 1, Hⁿ(X,M(r)) = 0.

Démonstration. Le (ii) résulte du (i) par passage à la limite inductive. On montre le (i) par récurrence sur t. Pour t = 0, D^(m)_X,0(r) = O_X(r), qui est acyclique pour le foncteur Γ car r≥r₀≥U. Pour toutt≥1, et toutr ≥r₀, on dispose de suites exactes courtes

0→ D_X,t−1^(m) (r)→ D^(m)_X,t(r)→gr_tD^(m)_X (r)→0.

Comme le faisceau gr_tD^(m)_X (r) est acyclique pour Γ d’après la proposition précédente, on voit par récurrence sur t qu’il en est de même pour les faisceaux D_X,t^(m)(r) après application de la suite exacte longue de cohomologie pour Γ.

(11)

Pour le (iii), on remarque, en procédant comme en 2.2.1, queMest quotient d’un module E₀ du type suivant E₀ =D^(m)_X (s0)â⁰, avec s0 ∈Z eta0 ∈N. En utilisant le même argument qu’en 2.2.1, on voit que le (iii) résulte du (ii).

Dans la suite de cette sous-section, on se place sous les hypothèses du théorème et on suppose queXK est D_X_K-affine.

Le point clé de la démonstration est le résultat suivant, qui concerne la cohomologie des faisceauxD_X^(m)(s) pours∈Z.

Proposition 2.2.3. Soit s ∈Z. Alors ∀n ≥ 1, Hⁿ(X,D^(m)_X (s)) est un groupe de torsion et cette torsion est born´ee.

Démonstration. Le faisceau D_X,Q^(m)(s) est un D_X_K-module cohérent, donc pour n ≥ 1 les groupesHⁿ(XK,D^(m)_X,Q(s)) sont nuls par hypothèse, et sont égaux àHⁿ(X,D^(m)_X (s))⊗_VK, par commutation de la cohomologie à la limite inductive, de sorte que les groupesHⁿ(X,D_X^(m)(s)) sont de torsion pourn≥1. Pour voir que la torsion est bornée, on s’inspire des arguments de 1.4 [Kas89].

Fixons u ≥ max{r₀ −s, U}. Commen¸cons par remarquer qu’on a une section ˜τ, D_X,Q- linéaire à gauche, à la surjection canonique ˜σ

D_X,Q⊗_O

XK O_X_K(−u)⊗_KΓ(X,O_X(u)) ^σ^˜ ////D_X,Q.

˜ τ

oo_ _ _

On part en effet de la surjection canonique

D_X,Q⊗_KΓ(X_K,O_X_K(u))D_X,Q⊗_O

XK O_X_K(u).

Comme le foncteur Γ est exact sur la cat´egorie des D_X,Q-modules coh´erents, on trouve une surjection

Γ(X,D_X,Q(−u))⊗_KΓ(X,O_X_K(u))Γ(X,D_X,Q),

dont on trouve une section ˜τ,D_X,Q-linéaire à gauche, en relevant 1∈Γ(X,D_X,Q). Observons maintenant qu’il existei∈Ntel queπⁱ˜τ(1)∈Γ(X,D^(m)_X (−u))⊗_V Γ(X,O_X(u)). Définissonsτ comme l’unique applicationD_X^(m)-linéaireD^(m)_X → D_X^(m)⊗O_XO_X(−u)⊗_V Γ(X,O_X(u)) définie parτ(1) =πⁱ˜τ(1). En particulier, le conoyau de l’application suivante ˜σm est annulé par πⁱ

D^(m)_X ⊗_V Γ(X,O_X(u))→ D^(m)_X (u).

Par construction, on a alors

˜

σm◦τm=πⁱid_D(m) X

. Si on dualise ce diagramme, i.e. en appliquant Hom

D^(m)_X (.,D^(m)_X ), on a l’identification suivante pour le terme de gauche

HomD^(m)_X (D_X^(m)⊗_V Γ(X,O_X(u)),D^(m)_X )' D^(m)_X ⊗_V Γ(X,O_X(u))^∗,

(12)

où Γ(X,O_X(u))^∗ = Hom_V(Γ(X,O_X(u)), V). Si (e_i)1≤i≤r est une base de Γ(X,O_X(u)) et (e^∗_i)1≤i≤r est la base duale de Γ(X,O_X(u))^∗, l’isomorphisme précédent envoie un homomor- phisme D_X^(m)-linéaire u du 1er terme sur P_r

i=1u(e_i) ⊗e^∗_i et est D_X^(m)-linéaire à droite de fa¸con évidente. En dualisant, le terme de droite du diagramme est isomorphe à D_X^(m)(−u). En tensorisant ensuite parO_X(u+s), on trouve donc le diagramme suivant de D^(m)_X -modules à droite

D^(m)_X (s) ^σ^m^//D^(m)_X (u+s)⊗_V Γ(X,O_X(u))^∗,

τm

oo_ _ _ et on a la relation

τm◦σm=πⁱid_D(m) X (s).

Consid´erons maintenant le diagramme commutatif suivant, pourn≥1,t≥0, Hⁿ(X,D_X,t^(m)(s)) ^//

at

Hⁿ(X,D^(m)_X,t(u+s)⊗_V Γ(X,O_X(u))^∗)

Hⁿ(X,D_X^(m)(s)) _b ^//Hⁿ(X,D^(m)_X (u+s)⊗_V Γ(X,O_X(u))^∗), avec b=Hⁿ(σm). Posons aussi c=Hⁿ(τm), de sorte que

c◦b=πⁱid_H_n_(X,D(m) X (s)).

On a choisiu pour que les deux termes de la colonne de droite du diagramme soient nuls, ce qui implique queb◦at= 0 et donc, en composant avecc, queπⁱat= 0. En passant à la limite inductive surt, cela nous donne que, pour n≥1 fixé, πⁱHⁿ(X,D_X^(m)(s)) = 0 et donc l’énoncé de la proposition.

On en tire le corollaire suivant.

Corollaire 2.2.4. Soit MunD_X^(m)-module coh´erent, alors∀n≥1, Hⁿ(X,M) est de torsion born´ee.

Démonstration. Puisque D^(m)_X est à sections noethériennes sur les affines, on peut procéder comme en 2.2.1 et M admet une résolution D_X^(m)-linéaire de longueur ≥N par des modules sommes directe de modules du type D_X^(m)(s). En procédant comme en 2.2.1, on voit que les groupesHⁿ(X,M) sont de torsion bornée pour n≥1.

Contrairement aux résultats de la partie 4 de [Huy97], nous ne pouvons pas donner d’énoncé de finitude des sections globales deD_X^(m). Cela vient du fait qu’on ne sait pas si Γ(X,gr_•D^(m)_X ) est finie sur gr_•Γ(X,D^(m)_X ) en général. Sous les hypothèses (H), on a le résultat de finitude suivant sur la cohomologie desS^(m)(T_X)-modules. Reprenons les notations de 2.2.1.

Proposition 2.2.5.L’algèbreΓ(X,S^(m)(T_X))est noethérienne. De plus, siEest unS^(m)(T_X)- module cohérent, pour tout n∈N, le module Hⁿ(X,E) est de type fini sur Γ(X,S^(m)(T_X)).

(13)

D´emonstration. Fixons un plongement projectifi⁰ :X ,→Y =P^N_V tel queO_X(1) =i^0∗O_Y(1).

Par hypothèse (H), le faisceau S^(m)(T_X) est un C-module cohérent. Posons C⁰ = S^(m)(O_Yâ).

Alors le faisceaui⁰_∗S^(m)(T_X) est unC⁰-module cohérent. Le morphismei⁰ est fini, de sorte qu’il suffit de montrer queC⁰ = Γ(Y,C⁰) est une algèbre noethérienne et que siF est un C⁰-module cohérent, les modules Hⁿ(Y,F) sont de type fini sur C⁰. Remarquons queC⁰ =S^(m)(Vâ) est une V-algèbre libre de type fini (1.4) et est donc noethérienne. Par le même argument que celui qui est utilisé en 2.2.1, il suffit de montrer que les modulesHⁿ(Y,C⁰(s)) sont de type fini surC⁰ pour touts∈Zet tout n∈N. CommeC⁰ est unV-module libre, on a

C⁰⊗_V Hⁿ(Y,O_Y(s))'Hⁿ(Y, C⁰⊗_V O_Y(s))'Hⁿ(Y,C⁰(s)).

Comme les groupes Hⁿ(Y,O_Y(s)) sont desV-modules de type fini, cela donne le fait que les C⁰-modules Hⁿ(Y,F) sont de type fini pour tout C⁰-module cohérent F. C’est en particulier le cas pour Γ(X,S^(m)(T_X)), qui est donc une algèbre noethérienne.

Il s’agit désormais de passer au cas du schéma formelX. 2.3 Passage au schéma formel

On suppose dans toute cette sous-section queX est unS-schéma vérifiant l’hypothèse (H).

On commence par montrer que la catégorie desDb_X^(m)-modules cohérents est engendrée par les modules du type Db_X^(m)(−r) pourr ∈ Z. Cela correspond à la proposition 3.5 de [Huy97]. La démonstration est identique et suit de 2.2.2.

Proposition 2.3.1. Soit Mun Db^(m)_X -module coh´erent (resp. unD_X^†_,Q-module coh´erent).

(i) Il existe r2 ∈N, tel que ∀r≥r2, ∀n≥1, Hⁿ(X,M(r)) = 0.

(ii) Il existe (a, r)∈N² et une surjection Db_X^(m)-lin´eaire

Db_X^(m)(−r)a

M(resp. (a, b, r, s)∈ N⁴ et une résolution à 2 termes D^†_X_,Q-linéaire

D_X^†_,Q(−s)b

→

D_X^†_,Q(−r)a

→ M →0).

Comme corollaire, on en déduit une réciproque à 1.7.1. Reprenons les notations de cet

´enonc´e en supposant seulement que le morphismeV →V⁰ est fini et plat. Alors, on a Corollaire 2.3.2. Si X estDX-affine, X⁰ estD_X⁰-affine.

Démonstration. Il est clair que X⁰ vérifie (H). Soit M un D_X⁰-module cohérent. Ce module admet une résolution de longueur arbitrairement grande par des modules du type D_X⁰(−r)â. Par le même argument qu’en 2.2.1, il suffit de montrer que les modulesD_X⁰(−r) sont acycliques pour Γ pour vérifier qu’il en est de même pourM. Or,D_X⁰(−r) =V⁰⊗_V D_X(−r), et comme V →V⁰ est plat, on a, pour tout n≥0,

Hⁿ(X⁰,D_X⁰(−r)) =V⁰⊗_V Hⁿ(X,D_X(−r)),

(14)

d’où l’énoncé d’acyclicité. De plus, le faisceauD_X⁰(−r) qui est obtenu par changement de base

`

a partir de D_X(−r), est engendr´e par ses sections globales comme D_X⁰-module. Comme le foncteur Γ est exact pour lesD_X⁰-modules coh´erents, on dispose d’un diagramme commutatif

D_X⁰⊗_Γ(X⁰_,D

X 0)Γ(X⁰,D_X⁰(−r)^a) ^//^//

D_X⁰⊗_Γ(X⁰_,D

X 0)Γ(X⁰,M)

D_X⁰(−r)^a ^//^//M,

qui montre queMest engendr´e par ses sections globales comme D_X⁰-module.

A partir de maintenant, dans tout le reste de cette sous-section, on suppose que X_K est D_X_K-affine. Grâce à la proposition précédente 2.3.1, on est ramené à contrôler les groupes Hⁿ(X,D_X^(m)(s)), en vue de l’énoncé d’acyclicité. Dans la partie 3. de [Huy97], on utilise le fait que les groupesHⁿ(X,D_X^(m)(s)) sont desV-modules de type fini de torsion pourn≥1 et s∈Z. La différence ici est que l’on n’a pas de propriétés de finitude surV, mais on sait que ces groupes sont de torsion bornée d’après 2.2.3. Cependant, le lecteur pourra vérifier que dans la partie 3 de [Huy97], seule la finitude de la torsion des groupesHⁿ(X,M) est utilisée. Cette propriété permet de vérifier des conditions de Mittag-Leffler pour les groupes de cohomologie Hⁿ(Xi,D^(m)_X

i (s)) pour ivariable, et permettent des passages `a la limite pour la cohomologie.

Le r´esultat suivant se d´emontre comme la proposition 3.2 de [Huy97] compte tenu de 2.2.3.

Proposition 2.3.3. Soit Mun D^(m)_X -module coh´erent etMc= lim←−iM/πⁱ⁺¹M. Alors (i) ∀n∈N, Hⁿ(X,M) = limc

←−iHⁿ(X_i,M/πⁱ⁺¹M), (ii) ∀n≥1, Hⁿ(X,M) =c Hⁿ(X,M).

En particulier, pourn≥1,Hⁿ(X,M) est unc V-module de torsion born´ee.

A partir du (ii) de la proposition 2.3.1, on peut proc´eder comme pour 2.2.4, ce qui donne le r´esultat de finitude suivant

Proposition 2.3.4. Soit M un Db^(m)_X -module coh´erent, alors pour tout n ≥ 1, les groupes Hⁿ(X,M) sont de torsion born´ee.

Donnons les conséquences de ces résultats pour les Db^(m)_X_,Q-modules cohérents. Soit N un Db_X^(m)_,Q-module cohérent. Comme l’espace topologique associé à X est noethérien, il existe d’après 3.4.5 de [Ber96] unDb^(m)_X -module cohérentMtel queN =M ⊗_V K.Soit maintenant N unD^†_X_,Q-module cohérent, d’après 3.6.2 de [Ber96], il existe unDb^(m)_X_,Q-module cohérent N₀ tel que

N ' D_X^†_,Q⊗

Db^(m)_X,Q N₀.

Comme la cohomologie commute à la limite inductive surX, les deux propositions précédentes nous permettent de montrer les énoncés suivants, en procédant comme en 3.5 de [Huy97], et de montrer la partie«acyclicité» de 2.1.

(15)

Proposition 2.3.5. SoitN unDb^(m)_X,Q-module coh´erent (resp. unD^†_X_,Q-module coh´erent), alors

∀n≥1,Hⁿ(X,N) = 0,

Indiquons comment passer à des énoncés de Db_X^(m)_,Q-affinité (resp. D^†_X,Q-affinité). Fixons u ≥ max{r₀, U} et reprenons les applications τm et σm pour s = 0 construites lors de la démonstration de 2.2.3. Complétons ces applications, tensorisons parO_X(−u) et inversonsπ, cela nous donne un diagramme

Db^(m)_X,Q(−u) ^b^σ^m^//Db^(m)_X_,Q⊗_V Γ(X,O_X(u))^∗,

bτm

oo_ _ _

et l’application s_m =π⁻ⁱbτ_m est une section Db^(m)_X,Q-linéaire de bσ_m. On obtient une surjection Db_X^(m)_,Q-linéaireDb_X^(m)_,Q⊗_VΓ(X,O_X(u))^∗ Db_X^(m)_,Q(−u). En utilisant la proposition 2.3.1, on trouve ainsi l’énoncé pour lesDb^(m)_X,Q-modules cohérents. SiN est unD_X^†_,Q-module cohérent, il existe entierm, un Db_X^(m)_,Q-module cohérentN₀, tel que

N ' D_X^†_,Q⊗

Db^(m)_X,Q N₀.

Pour tout entierm⁰ ≥ m, le moduleDb^(m⁰⁾⊗

Db^(m)_X,Q N₀ est acyclique pour le foncteur Γ par ce qui précède et N aussi, par commutation de la cohomologie à la limite inductive.

On reprend `a partir de maintenant la notation D^]_X introduite en 1.5. De plus, on note D^]= Γ(X,D^]_X).

Proposition 2.3.6. Soit N un D_X^] -module cohérent, alors il existe une résolution à deux termes D^]_X-linéaire du type suivant

D^]_Xb

→ D_X^] a

→ N →0.

Le corollaire suivant achève la démonstration du théorème 2.1. Rappelons que X est un S-schéma vérifiant l’hypothèse cohomologique (H) de 2.

Corollaire 2.3.7. Les foncteurs Γ(X, .) et D_X^] ⊗_D] · sont quasi-inverses et induisent une

équivalence de catégories entre la catégorie desD^]-modules à gauche de présentation finie et la catégorie des D_X^] -modules à gauche cohérents.

Soit M unD^]-module de pr´esentation finie et

D^]a →D^]b →M →0

une présentation deM. En tensorisant cette présentation parD_X^] , on trouve une présentation D_X^] ^b→ D^]_Xâ→ D_X^] ⊗_D]M →0.

En particulier, le moduleD_X^] ⊗_D]M est cohérent commeD_X^] -module à gauche. Par acyclicité du foncteur Γ(X, .) pour les D^]_X-modules cohérents, on trouve un diagramme dont les deux

(16)

carr´es sont commutatifs

Γ(X,D^]_X^b) ^//Γ(X,D_X^] ^a) ^//Γ(X,D^]_X ⊗_D]M) ^//0

D^]a

o

OO //D^]b

o

OO //M

gM

OO //0.

Cela nous indique que la fl`eche gM est un isomorphisme.

Partons maintenant d’unD^]_X-module cohérentM. D’après la proposition précédente 2.3.6, il existe une résolution

D^]_X^b → D_X^] ^a→ M →0.

Comme le foncteur Γ est exact, on peut procéder comme précédemment pour voir que la flèche canoniqueD_X^] ⊗_D]Γ(X,M)→ Mest un isomorphisme.

Une première application de ce résultat est que l’on peut donner des propriétés de finitude des algèbres de sections globales D^].

2.4 Structure des alg`ebres de sections globales

On garde les notations de 2.3.7, en supposant toujours que X vérifie (H) et que X_K est D_X_K-affine. Commen¸cons par des énoncés au niveau m∈ N, et notonsDb^(m)_Q = Γ(X,Db_X^(m)_,Q).

On a la proposition.

Proposition 2.4.1. (i) Le faisceau Db^(m)_X,Q est un faisceau deDb^(m)_Q -modules `a droite plats.

(ii) L’algèbreDb^(m+1)_Q est une Db^(m)_Q -algèbre plate à droite.

Démonstration. Commen¸cons par (i). Soit I un idéal à gauche de type fini de Db_Q^(m). Comme le faisceauDb^(m)_X_,Q et à sections noethériennes sur les ouverts affines, le faisceau

I=Db_X^(m)_,Q⊗

Db^(m)_Q I

est un faisceau de Db_X^(m)_,Q-modules coh´erents. Partons de la suite exacte de Db_Q^(m)-modules `a gauche de type fini

(E) : 0→I →Db^(m)_Q →Db^(m)_Q /I →0.

On en déduit un complexe exact de Db_X^(m)_,Q-modules à gauche cohérents, 0→ T → I →Db^(m)_X_,Q→Db^(m)_X_,Q/Db^(m)_X_,QI →0, avec T =T or¹

Db_Q^(m)(Db_X^(m)_,Q,Db_Q^(m)/I). On peut donc appliquer le foncteur exact Γ, ce qui donne un diagramme dont tous les carr´es sont commutatifs

0 ^//Γ(X,T) ^//Γ(X,Db^(m)_X_,Q⊗

Db^(m)_Q I) //Γ(X,Db^(m)_X_,Q) ^//Γ(X,Db^(m)_X_,Q/Db^(m)_X,QI) ^//0

0 ^//0

OO //I ^//

o

OO

Db_Q^(m) ^//

o

OO

Db^(m)_Q /I ^//

o

OO

0,

(17)

et dont les 3 dernières flèches verticales sont des isomorphismes en vertu de 2.3.7. On en déduit que Γ(X,T) = 0 et, donc queT = 0 puisqueT est unDb^(m)_X,Q-module est cohérent.

En cons´equence, le faisceau Db_X^(m+1)_,Q qui est plat sur Db_X^(m)_,Q, est aussi plat sur Db^(m)_Q . Pour (ii), tensorisons la suite exacte (E) parDb^(m+1)_X,Q : on trouve une suite exacte deDb_X^(m+1)_,Q -modules

`

a gauche coh´erents

0→Db_X^(m+1)_,Q ⊗

Db^(m)_Q I →Db^(m+1)_X,Q →Db_X^(m+1)_,Q /Db^(m+1)_X,Q I →0.

Passons aux sections globales, qui est un foncteur exact et appliquons de nouveau l’´equivalence 2.3.7 : on trouve une suite exacte deDb^(m+1)-modules `a gauche

0→Db_Q^(m+1)⊗

Db_Q^(m)I →Db^(m+1)_Q →Db_Q^(m+1)/Db^(m+1)_Q I →0, qui donne l’énoncé de platitude (ii) cherché.

On en déduit, à partir des propriétés de finitude des faisceaux Db_X^(m)_,Q l’énoncé suivant, en notantD_Q^† = Γ(X,D^†_X,Q).

Théorème 2.4.2. (i) L’algèbreDb^(m)_Q est une K-algèbre noethérienne à gauche.

(ii) L’algèbreD^†_Q est uneK-algèbre cohérente à gauche.

(iii) Le faisceau D_X^†_,Q est un faisceau de D^†_Q-modules `a droite plats.

Démonstration. Compte tenu de 2.3.3, Γ(X,Db_X^(m)) est obtenu comme complété de Γ(X,D^(m)_X ), de sorte que Γ(X,Db^(m)_X_,Q) est uneK-algèbre de Banach. L’algèbre Γ(X,D_X^†) est limite inductive (sur m) des algèbres Γ(X,Db^(m)_X ) et est donc faiblement complète, tout comme Γ(X,D_X^†_,Q).

Montrons maintenant la noethérianité deDb^(m)_Q . SoitI un idéal deDb_Q^(m)et{I_i}_i∈Ω un système inductif d’idéaux de type fini de Dtels que

I = lim−→

i

I_i.

introduisons I_i =D ⊗_DIi ⊂ D, qui forment une suite croissante d’idéaux d’après l’énoncé de platitude 2.4.1 précédent. Comme le faisceauDb^(m)_X_,Q est à sections noethériennes sur les affines et que X est quasi-compact, il existe i0 ∈Ω tel que I_i₀ =I_j pour toutj ≥i0. Ce qui donne, en appliquant de nouveau 2.3.7,I_i₀ =I_j pour toutj≥i₀, etI =I_i₀ est de type fini.

L’énoncé (ii) vient du fait queD^†_Qest limite inductive d’algèbres noethériennesDb^(m)_Q telle que les extensionsDb_Q^(m)→Db^(m+1)_Q sont plates par 2.4.1.

L’énoncé de platitude (iii) se démontre exacement comme le (i) de 2.4.1, puisque, d’après la cohérence de D^†_Q, si I est un idéal de type fini de D_Q^†, il est de présentation finie. En particulier, le faisceau associéD^†_X_,Q⊗

D^†_QI est un D^†_X,Q-module coh´erent. Le mˆeme argument que celui de (i) de 2.4.1 s’applique alors.

Un théorème de Beilinson-Bernstein pour les D-modules arithmétiques.