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a) Vrai ou faux ? Si f (x) n’est pas continue en x = a, alors lim

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Yannick Delbecque — Département de mathématiques, Cégep de Saint-Laurent Calcul di ff érentiel — 201-NYA — Automne 2019

Examen formatif 2

Question 1

Répondre aux questions suivantes. Il n’est pas nécessaire de justifier vos réponses.

a) Vrai ou faux ? Si f (x) n’est pas continue en x = a, alors lim

x→a

f (x) @ .

b) Vrai ou faux ? Si en évaluant une limite on obtient la forme indéterminée « 0 / 0 », la limite n’existe pas.

c) Vrai ou faux ? Si deux fonctions F(x) et G(x) sont identiques près de a (sauf peut-être en a), alors

lim

x→a

F(x) = lim

x→a

G(x), si la limite du membre de droite existe.

d) Donner un exemple de graphe de fonction où lim

x→a

f (x) , f (a), mais où lim

x→a

f (x)∃ et a ∈ dom( f ).

e) Donner un exemple de graphe de fonction où lim

x→a

f (x) @ mais où f (a) est défini.

f) Évaluer la limite : lim

x→−2

p 4 − x

2

Question 2

Donner l’esquisse d’une fonction f qui satisfait toutes les conditions suivantes (Il n’est pas nécessaire de justifier).

lim

x→−1

f (x) = 4 − 1 < Dom( f ) lim

x→1

f (x) = 2 lim

x→−1+

f (x) = −∞ f (1) = 3 lim

x→2

f (x) @ Question 3

Évaluer les limites suivantes, si elles existent. Indiquez quand vous utilisez la continuité.

a) lim

x→−2

x

2

− 4 x

5

+ 2x

4

+ x + 2 b) lim

x→5

x

2

− 25 x

2

+ 25

c) lim

x→3

x

2

+ 16 −5 x − 3 d) lim

x→4 1 16

1

x2

(x + 1)

2

− 25 Question 4

Soit f la fonction suivante :

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2−x−2

x+1

si x < −1,

0 si x = −1,

x + 1 si − 1 < x ≤ 2, 3 si 2 < x < 3, x

2

− 4 si x ≥ 3.

.

a) Déterminer si f est continue en x = − 1.

b) Déterminer si f est continue en x = 2.

c) Est-ce que f est continue sur l’intervalle [−1,2] ? Question 5

Déterminer la dérivée des fonctions suivantes à l’aide des propriétés de la dérivée. Simplifier les résultats obtenus.

a) y = (3 x − 1)

12

(x

2

+ 1)

20

b) y = (2 x− 3)

10

(3 x− 2)

10

Question 6

Calculez les dérivées suivantes. Il n’est pas nécessaire de simplifier les résultats, mais on ne doit pas laisser d’exposants fractionnaires ou négatifs.

a) f (x) = (1 + 2x)

2

p

3

1 − x

2

b) f (x) = (3x − 2)

2

(x − 1) √

x

Question 7

Soit C l’hyperbole d’équation x

2

4 − y

2

9 = 3

Déterminer l’équation de la tangente à C au point (4, 3).

Question 8

Soit C la courbe définie par l’équation (x

3

− 1)y

2

= 1.

a) Déterminer la pente de la tangente en un point quelconque (x,y) sur la courbe au point à l’aide de la dérivation implicite.

b) L’a ffi rmation suivante est-elle vraie ? Expliquer votre réponse.

« Comme y

0

vaut 6/7 au point (2,1), la pente de la tangente à C au point (2,1) est 6/7. »

Question 9

Prouver que si f

0

(x) existe, alors p f (x)

0

=

1

2

f(x)

f

0

(x). Utilisez la définition de la dérivée et les propriétés des limites (sans utiliser les propriétés de la dérivée). (Indice : utilisez le conjugué) Question 10

Montrer que la fonction p

(x − 1)

2

n’est pas dérivable en x = 1.

Question 11

La surface d’une sphère est liée à son rayon par l’équation

S = 4πr

2

. Le rayon augmente à une vitesse constante de

12

cm/s, à

quelle vitesse grandi la surface de la sphère au moment où son

rayon est de 100 cm ? Donnez les unités dans votre calcul.

(2)

p. 2 Examen formatif 2

Solutions

Question 1

a) Faux.

b) Faux.

c) Vrai.

d) Par exemple :

e) Par exemple :

f) lim

x→−2

p 4−x2=

x→−2lim

p(2−x)(2+x)= p(2− −2)(2+(−2))= p4(0)√

0@

Question 2

Il y a plusieurs solutions possibles. En voici une.

−1 1 2

2 3 4

Question 3

a) C’est une forme «00». Factoriser (x+2) au numérateur et au dénominateur.

Numérateurx2−4=(x+2)(x−2). Dénominateur (en divisant) : x5+2x4+x+2=(x+2)(x4+1).

lim

x→−2

x2−4

x5+2x4+x+2= lim

x→−2

(x+2)(x−2) (x+2)(x4+1)

= lim

x→−2

(x−2) (x4+1)

cont= ((−2)−2) ((−2)4+1)

=−4 17 b) lim

x→5

x2−25 x2+25

cont= 0 50=0

c) C’est une forme « 0/0 ». Il faut donc simplifier le facteur (x−3) au numérateur et au dénominateur pour lever l’indétermination.

x→3lim

x2+16−5 x−3 =lim

x→3

x2+16−5 x−3

x2+16+5

x2+16+5

=lim

x→3

x2+16−25 x−3

√ 1

x2+16+5

=lim

x→3

x2−9 x−3

√ 1

x2+16+5

=lim

x→3

(x−3)(x+3) x−3

√ 1

x2+16+5

=lim

x→3

x+3 1

√ 1

x2+16+5

=lim

x→3

x+3

x2+16+5

cont= 3 5.

d) Forme « 0/0 ». On veut simplifier le facteur commun (x−4).

limx→4 1 161

x2

(x+1)2−25=lim

x→4

x2−16 16x2

(x+1)−5

(x+1)+5

=lim

x→4

(x−4)(x+4)

16x2

(x−4)(x+6)

=lim

x→4

(x−4)(x+4) 16x2

! 1

(x−4)(x+6)

=lim

x→4

(x+4) 16x2

! 1 (x+6)

cont= 1 320

(ind. Simplifier le plus possible les fractions dans les calculs au lieu de multiplier les facteurs ensembles.)

Question 4

a) La fonctionfn’est par continue enx=−1 : prendre la limite à gauche (attention, c’est un cas « 0/0 ») et à droite quandx→ −1 pour montrer que limx→−1f(x) n’existe pas. La fonction n’est donc pas continue enx=−1.

b) La fonctionfest continue enx=2 : prendre la limite à gauche et à droite quandx→2 pour montrer que lim

x→2f(x)=3. Comme on a aussi quef(2)=3, la fonction est continue enx=2.

c) Non, car elle n’est pas continue enx=−1 ; pour être continue sur [−1,2],fdoit être continue en chaquex∈[−1,2].

Question 5 a) y0=

(3x−1)12(x2+1)200

=

(3x−1)120

(x2+1)20+(3x−1)12

(x2+1)200

=12(3x−1)11(3x−1)0(x2+1)20+(3x−1)12(20)(x2+1)19(x2+1)0

=12(3x−1)11(3)(x2+1)20+(3x−1)12(20)(x2+1)19(2x)

=36(3x−1)11(x2+1)20+40x(3x−1)12(x2+1)19

=(3x−1)11(x2+1)19

36(x2+1)+40x(3x−1)

=(3x−1)11(x2+1)19

36x2+36+120x2−40x

=(3x−1)11(x2+1)19(156x2−40x+36) b) y0= (2x−3)10

(3x−2)10

!0

=





 (2x−3) (3x−2)

!10







0

=10 (2x−3) (3x−2)

!9

(2x−3) (3x−2

!0

=10(2x−3)9 (3x−2)9

2x−3 3x−2

!0

=10(2x−3)9 (3x−2)9

(2x−3)0(3x−2)−(2x−3)(3x−2)0 (3x−2)2

=10(2x−3)9

2(3x−2)−(2x−3)(3) (3x−2)11

=10(2x−3)9(5) (3x−2)11

=50(2x−3)9 (3x−2)11 Question 6

a) f0(x)=4(1+2x)p3

1−x2+2x(1+2x)2 3p3

(1−x2)2

b) f0(x)=6(3x−2)(x−1)√

x−(3x−2)2

x+(x−1)2x x(x−1)2

Calcul di ff érentiel– 201-NYA– Automne 2019

(3)

Examen formatif 2 p. 3

Question 7

On trouve la pente de la tangente au point (4,3) à l’aide de la dérivation implicite.

On fait l’hypothèse quey=f(x). En dérivant chaque membre de l’égalité x2

4 −y2

9 =3 par rapport àx, on obtient x 2−2yy0

9 =0.

En isolanty0, on obtient que9x

4y. Au point (4,3), on a quey0=9(4) 4(3)=3.

Comme la droite tangente est de pente 3 et passe par le point (4,3) (qui est bien sur l’hyperbole !), l’équation de la droite est

y=3x−9.

Question 8

a) On dérive chaque membre de l’équation (x3−1)y2=1 pour obtenir 3x2y2+2(x3−1)yy0=0.

En isolanty0, on trouve quey0=− 3x2y 2(x3−1).

b) Même si on peut évaluery0au point (2,1), la valeur obtenue n’est pas la pente de la tangente àCcar le point (2,1) n’est pas sur la courbeC: en substituant dans l’équation qui définitC, on trouve

(23−1)11,1.

L’expression obtenue poury0est valable uniquement pour les (x,y) qui satisfont l’équation définissantC.

Question 9 pf(x)0

=lim

∆x→0

pf(x+ ∆x)−p f(x)

∆x

=lim

∆x→0

pf(x+ ∆x)−p f(x) 1

∆x

=lim

x→0

pf(x+ ∆x)−p f(x)

pf(x+ ∆x)+p f(x) pf(x+ ∆x)+p

f(x) 1

∆x

=lim

x→0(f(x+ ∆x)−f(x)) 1 pf(x+ ∆x)+p

f(x) 1

∆x

=lim

∆x→0

1 pf(x+ ∆x)+p

f(x)

f(x+ ∆x)−f(x)

∆x

=lim

∆x→0

1 pf(x+ ∆x)+p

f(x) lim

∆x→0

f(x+ ∆x)−f(x)

∆x

= 1 2p

f(x) f0(x).

Question 10

La dérivée de la fonction est (selon la définition) : q

(x−1)2

!0

=lim

x→1

p(x−1)2−p (1−1)2 x−1

On montre que la limite du membre de droite n’existe pas en comparant les limites à droite et à gauche.

x→1lim+

p(x−1)2−p (1−1)2

x−1 = lim

x→1+

p(x−1)2 x−1

= lim

x→1+

|x−1|

x−1

= lim

x→1+

x−1 x−1

=lim

x→11

=1

x→1lim

p(x−1)2−p (1−1)2

x−1 = lim

x→1

p(x−1)2 x−1

= lim

x→1

|x−1|

x−1

= lim

x→1

−(x−1) x−1

=lim

x→1−1

=−1

Comme les limitesx→1+etx→1ne sont pas les mêmes, la limite lim

x→1

p(x−1)2−p (1−1)2 x−1 n’exite pas. Ainsi la fonction f(x)=p

(x−1)2n’est pas dérivable enx=1.

Question 11

CommeS=4πr2, on a que dSdt =8πrdrdt. Quandr=100 etdrdt=12, on obtient dS

dt =8π(100 cm) 1 2cm/2

!

=400πcm2/s.

Calcul di ff érentiel– 201-NYA– Automne 2019

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