DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Th´ eor` eme de Cantor-Bernstein
SoitX etY deux ensembles non vides. On suppose qu’il existe une injectionf deX versY, et une injection gdeY versX. Il s’agit de montrer queX et Y sont ´equipotents (c’est leth´eor`eme de Cantor-Bernstein).
1Traiter le cas o`u l’un des ensembles est fini.
2Traiter le cas o`uf(X) =Y.
On suppose dans la suite que f(X) 6= Y, et on note ϕ = f ◦g. On d´efinit par r´ecurrence les ensembles A0=Y \f(X), et, pour toutn∈N,An+1=ϕ(An). On poseA=∪n∈NAn.
3Montrer queAest stable parϕ.
4Montrer que les termes de (An) sont deux `a deux disjoints.
5Soity /∈A. Montrer qu’il existe un uniquex∈X tel que f(x) =y.
6Soitx∈X. Montrer que sif(x)∈A, alorsx∈g(A).
7On d´efinit la fonction h :Y →X parh(y) = g(y) si y ∈A eth(y) est l’unique ant´ec´edent dey parf si y /∈A.
a Montrer quehest bien d´efinie.
b Montrer quehest injective.
c Montrer quehest surjective.
8Conclure.
