1.) Soit X une vari´ et´ e alg´ ebrique d´ efinie sur un corps alg´ ebriquement clos k et soit F un faisceau coh´ erent sur X. Pour n ≥ 1, notons ∆

(1)

G ´ EOM ´ ETRIE ALG ´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 1

ANDREAS H ¨ORING

Les questions sur les d´ eformations des faisceaux coh´ erents seront le centre d’in- t´ erˆ et du premier TD et je conseille vivement de les pr´ eparer. Les rappels d’alg` ebre commutative sont plus techniques, mais utiles pour suivre le cours et r´ esoudre les questions sur les d´ eformations

¹

.

D´ eformations des faisceaux coh´ erents

1.) Soit X une vari´ et´ e alg´ ebrique d´ efinie sur un corps alg´ ebriquement clos k et soit F un faisceau coh´ erent sur X. Pour n ≥ 1, notons ∆

_n

pour Spec k[t]/(t

ⁿ⁺¹

).

Une d´ eformation de premier ordre de F est un couple (F

₁

, φ

₁

) o` u

• F

₁

est un faisceau coh´ erent sur X × ∆

₁

plat sur ∆

₁

et

• φ

1

un isomorphisme de F

1

⊗ O

_X×0

vers F.

De mˆ eme, une d´ eformation d’ordre n de F est un couple (F

n

, φ

n

) o` u

• F

n

est un faisceau coh´ erent sur X × ∆

n

plat sur ∆

n

et

• φ

n

un isomorphisme de F

n

⊗ O

_X×0

vers F.

Deux d´ eformations (F

n

, φ

n

) et (F

_n⁰

, φ

⁰_n

) sont isomorphes si on a un isomorphisme de faisceaux β : F

n

' F

_n⁰

et le morphisme induit φ

⁰_n

◦ β ◦ φ

⁻¹_n

: F → F est l’identit´ e.

(a) Soit (F

n

, φ

n

) une d´ eformation d’ordre n de F. Montrer que le groupe Aut(F

n

, F

_n−1

) des automorphismes de F

n

qui induisent l’identit´ e sur F

_n−1

= F

n

⊗ O

X×∆n−1

est isomorphe ` a H

⁰

(X, EndF).

Soit (F

1

, φ

1

) une d´ eformation de premier ordre, alors la suite exacte 0 → k → O

^t ∆₁

→ k → 0

induit par platitude une suite exacte

(∗) 0 → F → F

^t 1

→ F → 0.

Cette suite exacte de O

_X×∆₁

-modules peut ˆ etre vue comme suite exacte de O

X

- modules (pourquoi ?), elle donne donc une classe d’extension

e ∈ Ext

¹

(F, F ).

(b) Montrer que cette construction donne une bijection entre les d´ eformations de premier ordre de F et Ext

¹

(F, F).

Date: 12 janvier 2008.

1Si vous avez des questions, contactezhoering@math.jussieu.fr.

1

(2)

(c) Dans la situation de la question pr´ ec´ edente, supposons en plus que F est localement libre. Dans ce cas on vient de montrer que les d´ eformations de premier ordre sont param´ etr´ ees par

H

¹

(X, End(F)).

Nous allons voir maintenant comment on peut obtenir une description plus explicite de la classe d’extension en utilisant la cohomologie de ˇ Cech (cf. [Har77, III, 4] pour un rappel de la d´ efinition).

Supposons donc que F est localement libre et soit (F

₁

, φ

₁

) une d´ eformation de premier ordre. Soit (F

0

:= p

^∗_X

F, Id

_F

) la d´ eformation triviale de F et choisissons un recouvrement par des ouverts affines U

i

de X tel qu’on ait des isomorphismes

γ

_i

: F

₀

|

_U_i

→ F

₁

|

_U_i

.

Montrer que δ

ij

:= γ

⁻¹_j

γ

i

∈ H

⁰

(U

ij

, EndF

0

) d´ efinit un ´ el´ ement δ dans le groupe de cohomologie de ˇ Cech

H

¹

(X, EndF)

qui est nul si et seulement si les isomorphismes γ

i

se recollent en un isomorphisme global F

0

' F

1 2

.

(d) (Principe de rel` evement T

¹

) Soit (F

n

, φ

n

) une d´ eformation d’ordre n de F.

Supposons que F et donc F

n

est localement libre et notons e

n

∈ H

¹

(X, H om(F, F

n−1

))

la classe de cohomologie associ´ ee ` a F

n

. Montrer qu’il existe une obstruction o ∈ H

²

(X, EndF) qui s’annule si et seulement si la classe e

n

se rel` eve en une classe

e

n+1

∈ H

¹

(X, H om(F, F

n

)).

Montrer ´ egalement que l’obstruction o s’annule si et seulement si F

_n

admet une extension en un faisceau F

_n+1

sur X × ∆

_n+1

plat sur ∆

_n+1

.

Remarque. Ce th´ eor` eme reste vrai pour un faisceau coh´ erent F arbitraire si on remplace H

²

(X, EndF) par Ext

²

(F, F) (cf. [HL97, App. to Ch. 2]).

Rappels d’alg` ebre commutative

2.) Soit A un anneau commutatif noeth´ erien. Soit M un A-module. On dit que M est plat si le foncteur N 7→ M ⊗

A

N est exact, c’est-` a-dire toute suite exacte de A-modules

0 → N

⁰

→ N → N

⁰⁰

→ 0 donne une suite exacte

0 → M ⊗

A

N

⁰

→ M ⊗

A

N → M ⊗

A

N

⁰⁰

→ 0.

Une A-alg` ebre M est plate si elle est plate comme A-module. Montrer les ´ enonc´ es suivants :

(a) M est plat si et seulement si pour tout id´ eal a ⊂ A, le morphisme a⊗M → M est injectif.

(b) Soit k un corps et soit A := k[t]/(t

²

). Un A-module M est plat si et seulement si la multiplication par t de M vers tM induit un isomorphisme M/tM → tM.

2Plus pr´ecisement, on montre que si la classe de cohomologie est z´ero, on peut modifier lesγi

tels qu’ils se recollent en un isomorphisme global.

2

(3)

(c) Si M est un A-module plat et A → B un morphisme d’anneaux, alors M ⊗

A

B est un B-module plat.

(d) Soit B une A-alg` ebre plate et N un B-module plat. Alors N est un A-module plat.

(e) Soit

0 → M

⁰

→ M → M

⁰⁰

→ 0

une suite exacte de A-modules. Si M

⁰

et M

⁰⁰

sont plats, alors M est plat. Si M et M

⁰⁰

sont plats, alors M

⁰

est plat.

(f) Supposons que M est un A-module de type fini sur A un anneau commutatif noeth´ erien local. Alors M est plat si et seulement si M est un A-module libre.

3.) Soit f : X → Y un morphisme entre sch´ emas noeth´ eriens et soit F un faisceau de O

_X

-modules. On dit que F est plat sur Y au point x ∈ X si le germe F

_x

est un O

Y,y

-module plat o` u y = f (x) et la structure de O

Y,y

-module est donn´ e par le morphisme de structure f

^#

: O

Y,y

→ O

X,x

. On dit F est plat sur Y , si F est plat en tout point de X . On dit que f est un morphisme plat si O

X

est plat sur Y .

Montrer les propri´ et´ es suivantes :

(a) Soit A → B un morphisme entre anneaux commutatifs noeth´ eriens et soit f : X := Spec B → Y := Spec A le morphisme correspondant. Soit M un B -module et soit F le O

X

-module associ´ e ` a M . Alors F est plat sur Y si et seulement si M est plat sur A.

(b) (Changement de base) Soit f : X → Y un morphisme entre sch´ emas noe- th´ eriens et soit F un O

X

-module plat sur Y . Soit g : Y

⁰

→ Y un morphisme entre sch´ emas noeth´ eriens. Soit X

⁰

:= X ×

Y

⁰

le produit fibr´ e et soient f

⁰

: X

⁰

→ Y

⁰

et g

⁰

: X

⁰

→ X les morphismes naturels (cf. [Har77, p.87]). Alors (g

⁰

)

^∗

F est plat sur Y

⁰

.

(c) (Transitivit´ e) Soient f : X → Y et g : Y → Z des morphismes entre sch´ emas noeth´ eriens et soit F un O

X

-module plat sur Y . Si g est un morphisme plat, alors F est plat sur Z .

(d) Soit F un O

X

-module coh´ erent. Alors F est plat sur X si et seulement si F est localement libre.

4.) Soit X un sch´ ema noeth´ erien. Nous admettons que la cat´ egorie M des O

X

- modules a suffisamment d’injectifs [Har77, III, Prop.2.2]. En particulier si F : M → B est un foncteur de M vers une autre cat´ egorie ab´ elienne B qui est exact ` a gauche, alors les foncteurs d´ eriv´ es existent. Soit F un O

X

-module, alors le foncteur

Hom(F , .) := Hom

_O_X

(F, .) est exact ` a gauche et nous d´ efinissons pour i ≥ 0

Ext

ⁱ

(F, .) comme le i-` eme foncteur d´ eriv´ e de Hom(F, .).

Soit G un faisceau, on d´ efinit le faisceau H om(F, G) par U 7→ Hom

_O_X_|_U

(F |

U

, G|

U

)

o` u U est un ouvert dans X (a priori c’est seulement un pr´ efaisceau, mais on montre sans probl` eme que c’est un faisceau [Har77, II, Ex.1.15]). On d´ efinit

Ext

ⁱ

(F, .)

3

(4)

comme le i-` eme foncteur d´ eriv´ e de H om(F, .).

Une extension d’un O

X

-module F par un O

X

-module G est une suite exacte de O

X

-modules

0 → G → M → F → 0.

Deux extensions sont isomorphes si on a un isomorphisme de suites exactes qui induit l’identit´ e sur F et G. Montrer les ´ enonc´ es suivants :

(a) On a une bijection entre les classes d’isomorphisme d’extensions de F par G et les ´ el´ ements de Ext

¹

(F, G).

(b) Soit L un faisceau coh´ erent localement libre, alors Ext

ⁱ

(L, G) ' H

ⁱ

(X, L

^∗

⊗ G).

ou L

^∗

d´ esigne le faisceau dual H om(L, O

_X

).

(c) Si F et G sont des faisceaux coh´ erents, alors Ext

ⁱ

(F, G) est un faisceau coh´ erent pour i ≥ 0.

(d) Pour tout G ∈ M on a

Ext

⁰

(O

X

, G) ' G et

Ext

ⁱ

(O

X

, G) = 0 pour i > 0.

(e) Donner un exemple d’un faisceau coh´ erent localement libre L sur X = P

¹

tel que

Ext

¹

(O

_X

, L) 6' Γ(X, Ext

¹

(O

_X

, L)).

(Ceci montre que les foncteurs « sections globales » et « Ext » ne commutent pas.

Notons n´ eanmoins que les « Ext » et les « E xt » sont reli´ es par une suite spectrale.

[God58, II,7.3.3])

(f) Supposons que tout faisceau coh´ erent sur X est le quotient d’un faisceau localement libre (cette condition est satisfaite si X est projective par le th´ eor` eme de Serre). Alors un faisceau coh´ erent F est localement libre si et seulement si

E xt

¹

(F, G) = 0 pour tout faisceau d’O

X

-modules G .

R´ ef´ erences

[God58] Roger Godement.Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Actualités Sci. Ind. No.

1252. Publ. Math. Univ. Strasbourg. No. 13. Hermann, Paris, 1958.

[Har77] Robin Hartshorne.Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.

[HL97] Daniel Huybrechts and Manfred Lehn.The geometry of moduli spaces of sheaves. Aspects of Mathematics, E31. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997.

4