ALG`EBRE 1 par Laurent Berger

(1)

par

Laurent Berger

Table des mati`eres

1. Modules et suites exactes. . . 3

1.1. Modules. . . 3

1.2. Quotients. . . 4

1.3. Diagrammes commutatifs. . . 4

2. Anneaux et id´eaux. . . 6

2.1. Id´eaux. . . 6

2.2. Corps des fractions. . . 7

2.3. Anneaux principaux et euclidiens . . . 7

2.4. Anneaux factoriels. . . 8

2.5. Anneaux noeth´eriens. . . 9

3. Polynˆomes et corps finis. . . 11

3.1. Polynˆomes et racines. . . 11

3.2. Le th´eor`eme de Hilbert. . . 12

3.3. Polynˆomes `a coefficients dans un anneau factoriel . . . 13

3.4. Corps finis. . . 14

4. Modules de type fini sur un anneau principal. . . 15

4.1. Modules libres de type fini et matrices . . . 15

4.2. Diviseurs ´el´ementaires pour un anneau principal. . . 16

4.3. Modules de type fini sur un anneau principal. . . 19

4.4. Groupes ab´eliens de type fini et r´eduction des endomorphismes . . . 20

5. Groupes. . . 22

5.1. Sous-groupes et quotients. . . 22

5.2. Actions de groupes. . . 23

5.3. Groupes sym´etriques. . . 26

5.4. Groupes lin´eaires sur un corps fini. . . 27

6. Repr´esentations des groupes finis. . . 30

6.1. Repr´esentations, sous-repr´esentations et morphismes . . . 30

6.2. Caract`eres et fonctions centrales . . . 31

6.3. D´ecomposition des repr´esentations . . . 33

6.4. Tables des caract`eres. . . 34

7. Alg`ebre multilin´eaire et produits tensoriels . . . 37

(2)

7.1. Produits tensoriels. . . 37

7.2. Produits sym´etriques et altern´es . . . 39

7.3. Homomorphismes. . . 42

Appendice A. L’axiome du choix. . . 44

Index. . . 46

(3)

1. Modules et suites exactes

Un anneau est un ensemble A muni de deux lois + et· telles que : (1) (A,+) est un groupe ab´elien ;

(2) a(bc) = (ab)cet a·1 = 1·a (et 06= 1) ; (3) a(b+c) =ab+acet (b+c)a=ba+ca.

Si a6= 0 et b 6= 0 implique que ab6= 0, alors on dit queA est int`egre. Si ab=bapour tous a, b ∈ A, alors on dit que A est commutatif. Si A est commutatif, et si tout a 6= 0 admet un inverse, alors on dit queA est un corps.

1.1. Modules. — Unmodule sur un anneau A est l’analogue d’un espace vectoriel sur un corps K, c’est-à-dire que c’est un ensemble M muni d’une loi + telle que (M,+) est un groupe abélien et d’une loi A×M →M qui à (a, m) associe amet vérifie :

(1) (a+b)m=am+bm eta(m+n) =am+an; (2) a(bm) =abm et 1·m=m.

Contrairement au cas des espaces vectoriels, le fait que am = 0 n’implique pas que a = 0 ou que m = 0, et les A-modules n’admettent pas de bases en général. La théorie des A-modules est beaucoup plus riche que celle des espaces vectoriels sur un corps.

SiM etN sont deux modules, alors on définit M⊕N. Un morphisme f :M →N est une application additive etA-linéaire. L’ensemble des morphismes de M dansN est noté HomA(M, N) ou plus simplement Hom(M, N) et c’est un A-module. Le module dual de M estM^∗ ou M^∨ et est défini par M^∨ = Hom(M, A). C’est donc l’ensemble des formes linéaires sur M.

Etant donnée une application f :M →N, on note ker(f) = {m ∈ M | f(m) = 0} et im(f) ={f(m), m∈M}. Ce sont des sous-modules deM et N respectivement. Si l’on a trois modules L, M et N etf :L→M et g :M →N, alors on écrit plutôt lasuite :

L−→^f M −→^g N,

et on dit que cette suite estexacte enM si im(f) = ker(g). Cette d´efinition est absolument fondamentale. Si on a une suite :

M₁ −^f→¹ M₂ −^f→² M₃ → · · · ,

alors on dit que cette suite est exacte en M_i si im(fi−1) = ker(f_i) et on dit que la suite est exacte si elle est exacte enM_i pour tout i.

Par exemple, la suite 0→L−→^f M −→^g N →0 est exacte si et seulement si : (1) f est injective ;

(2) im(f) = ker(g) ;

(4)

(3) g est surjective.

1.2. Quotients. — Si M est un sous-module de N, alors on définit une relation d’équivalence sur N par n₁ ∼ n₂ si et seulement si n₁ −n₂ ∈ M et on note N/M l’ensemble des classes d’équivalence de ∼. On munit cet ensemble des lois n1+n2 =n1+n2

et a·n =an. C’est un exercice de v´erifier que les lois ne d´ependent pas des choix faits, et qu’elles font de N/M unA-module. On a alors une suite exacte :

0→M →N −^n7→n−−→N/M →0.

Th´eor`eme 1.2.1. — Si l’on a une suite exacte 0 → M →−^f N −→^g Q → 0, alors Q ' N/f(M).

D´emonstration. — Cela revient `a montrer que si l’on a un morphisme surjectif g :N → Q, alors Q 'N/ker(g). Pour cela, nous allons construire h :Q → N/ker(g) et montrer que c’est un isomorphisme.

Siq∈Q, alors il existen ∈N tel queg(n) = qet si n⁰ est un autre élément ayant cette propriété, alors n−n⁰ ∈ker(g) ce qui fait que l’application h:q7→n est bien définie.

Elle est injective, car h(q) = 0 si et seulement si q = g(n) avec n ∈ ker(g) ce qui implique q= 0. Elle est surjective car si n∈N/ker(g), alorsn =h(g(n)).

On a donc bien construit un isomorphisme h:Q→N/ker(g).

Si l’on a f : M →N, on note coker(f) =N/im(f) le conoyau de f et on a alors une suite exacte :

0→ker(f)→M −→^f N →coker(f)→0.

Enfin, f est injective si et seulement si ker(f) = 0 et f est surjective si et seulement si coker(f) = 0.

Notons que si l’on se donne f : M → N et X ⊂ M et Y ⊂ N deux sous-modules de M etN tels que f(X)⊂Y, alors l’application f :M/X →N/Y est bien d´efinie.

1.3. Diagrammes commutatifs. — Un diagramme est une collection de modules {M_i}_i et de morphismes f_ij entre eux, par exemple :

M₁ −−−→^f¹² M₂

f13



 y



 y^f²⁴ M₃ −−−→^f³⁴ M₄.

On dit qu’un diagramme estcommutatif si quels que soienti etj et le chemin que l’on choisit de M_i à M_j en suivant les flèches, on obtient le même résultat. Par exemple, le diagramme ci-dessus est commutatif si et seulement si f₂₄◦f₁₂ =f₃₄◦f₁₃.

(5)

Pour terminer ce chapitre, nous allons montrer le lemme du serpent. Consid´erons un diagramme commutatif :

0 −−−→ A −−−→^u B −−−→^v C −−−→ 0

a



y ^b



y ^c



 y 0 −−−→ A⁰ ^u

0

−−−→ B⁰ ^v

0

−−−→ C⁰ −−−→ 0

Lemme 1.3.1. — On a u(ker(a))⊂ker(b) et v(ker(b))⊂ker(c) et la suite : 0→ker(a)−→^u ker(b)−→^v ker(c)

est exacte.

Démonstration. — L’affirmation «u(ker(a)) ⊂ ker(b)» veut dire que si a(x) = 0, alors b(u(x)) = 0. Or b(u(x)) = u⁰(a(x)) = 0. La deuxième inclusion se démontre de la même manière.

Passons à l’exactitude de la suite. Tout d’abord, la restriction deuà ker(a) est injective carul’est surAetvu= 0 sur ker(a) carvu= 0 surA. Ensuite, siy ∈ker(b) vérifiev(y) = 0, alorsy∈u(A) et si l’on écrity=u(x), alorsbu(x) = 0. Comme 0 =bu(x) = u⁰a(x), on en déduit que a(x) = 0 (puisque u⁰ est injective) et donc que y=u(x)∈u(ker(a)).

Comme on a deux applications u⁰ : A⁰ → B⁰ et v⁰ : B⁰ → C⁰ et que u⁰(a(A)) = b(u(A)) ⊂ b(B) et que v⁰(b(B)) = c(v(B)) ⊂ c(C), on a deux applications induites u⁰ : coker(a)→coker(b) et v⁰ : coker(b)→coker(c).

Lemme 1.3.2. — La suite coker(a) ^u

0

−→coker(b) ^v

0

−→coker(c)→0 est exacte.

Démonstration. — Montrons l’exactitude en coker(b). On a v⁰ ◦ u⁰ = v⁰u⁰ = 0 et si v⁰(y) = 0, c’est que y ∈ B⁰ vérifie v⁰(y) ∈ c(C) et on peut alors l’écrire c(z) puis cv(w) avecw∈B (commev est surjective) etcv(w) = v⁰b(w) ce qui fait quey∈b(w)+ker(v⁰)∈ b(B) + im(u⁰) et donc quey∈im(u⁰).

Enfin v⁰ est surjective car v⁰ l’est.

Construisons maintenant une application δ : ker(c) → coker(a). Si z ∈ ker(c), alors on peut écrire z = v(y) avec y ∈ B et on a 0 = cv(y) = v⁰b(y) ce qui fait que b(y) ∈ ker(v⁰) = im(u⁰) et il existe donc un (et un seul) x⁰ ∈A tel que b(y) =u⁰(x⁰). Si on avait choisi un y différent, disons ˜y tel que z = v(˜y), alors y−y˜ ∈ ker(v) = im(u) et donc b(y−y)˜ ∈ b(im(u)) = u⁰(im(a)) ce qui fait que ˜x⁰−x⁰ ∈im(a). L’applicationδ : y7→ x⁰ de ker(c) dans coker(a) est donc bien définie.

Lemme 1.3.3. — La suite ker(b)−→^v ker(c)−→^δ coker(a) ^u

0

−→coker(b) est exacte.

(6)

Démonstration. — Ce lemme se démontre comme les deux précédents, en faisant de la chasse au diagramme.

En combinant les lemmes 1.3.1, 1.3.2 et 1.3.3 on trouve le th´eor`eme ci-dessous, connu sous le nom de lemme du serpent.

Th´eor`eme 1.3.4. — La suite :

0→ker(a)−→^u ker(b)−→^v ker(c)−→^δ coker(a) ^u

0

−→coker(b) ^v

0

−→coker(c)→0 est exacte.

2. Anneaux et id´eaux

A partir de maintenant, on ne travaille qu’avec des anneaux commutatifs.

2.1. Idéaux. — SiK est un corps, la structure deK commeK-espace vectoriel n’est pas intéressante ; en revanche, un anneau Apeut avoir beaucoup de sous-A-modules. Un sous-A-module d’un anneau A est unidéal deA (propre si I 6=A). On dit qu’un idéal I deA est :

(1) detype fini s’il existef₁, . . . , f_r ∈I tels queI ={Pr

i=1a_if_i, a_i ∈A}(on ´ecrit alors I = (f₁, . . . , f_r)) ;

(2) principal s’il existe a∈I tel que I = (a) ;

(3) maximal siI est un id´eal propre et siI ⊂J ⊂Aimplique que I =J ou queI =A; (4) premier siI est propre et si x /∈I et y /∈I implique xy /∈I.

SiIest un id´eal deA, alorsA/Iest un anneau (c’est unA-module, et on posea·b =ab).

Par exemple, I est maximal si et seulement si A/I est un corps et I est premier si et seulement si A/I est int`egre.

SiI etJ sont deux id´eaux deA, on dit qu’ils sont premiers entre eux siI+J =A. Le r´esultat ci-dessous est connu sous le nom de lemme chinois.

Théorème 2.1.1. — Si I₁, . . . , I_n sont n idéaux de A qui sont premiers entre eux deux

`

a deux, alors l’application f :A/I₁· · ·I_n→A/I₁× · · ·A/I_n est un isomorphisme.

Démonstration. — On montre par récurrence sur 1≤k ≤n−1 que I_n+I₁· · ·I_k =Aet donc que les idéauxI_n etI₁· · ·I_n−1 sont premiers entre eux. Il suffit alors de montrer le théorème pour n= 2, le cas général s’en déduisant par récurrence puisqu’alors :

A/I₁· · ·I_n 'A/I₁· · ·In−1×A/I_n 'A/I₁× · · ·A/I_n.

Montrons donc que si I et J sont premiers entre eux, alors f : A/IJ → A/I×A/J est un isomorphisme. Comme I +J = A, on peut ´ecrire 1 = i+j avec i ∈ I et j ∈ J. Si

(7)

x ∈ I∩J, alors x = x(i+j) ∈ IJ et donc I∩J = IJ, ce qui fait que f est injective.

Enfin, on voit que si x, y ∈ A, alors f(xj +yi) = (x, y) ∈ A/I ×A/J et donc f est surjective.

2.2. Corps des fractions. — SiK est un corps et siAest un sous-anneau de K, alors A est nécessairement intègre. Réciproquement, on a le résultat ci-dessous.

Théorème 2.2.1. — Si A est un anneau intègre, alors il existe un corps K et un morphisme injectif A ,→K.

Démonstration. — Soit B l’ensemble {(x, y) ∈ A×A\ {0}} sur lequel on définit une relation d’équivalence par (a, b) ∼ (c, d) si et seulement si ad −bc = 0. On note K l’ensemble des classes d’équivalence et on munit K des lois + et · définies par :

(1) (a, b) + (c, d) = (ad+bc, bd) ; (2) (a, b)·(c, d) = (ac, bd).

On vérifie que K est bien un anneau et comme (a, b)·(b, a) ∼ (1,1), tout élément non nul est inversible et K est en fait un corps. Enfin, l’application a 7→ (a,1) de A dans K est injective puisque (a,1)∼(0,1) si et seulement si a= 0.

Le corps construit ci-dessus s’appelle le corps des fractions de A. C’est le plus petit corps contenant A : six∈K, alors il existe b ∈A\ {0} tel que bx ∈A.

2.3. Anneaux principaux et euclidiens. — On dit qu’un anneau A est principal s’il est intègre et si tout idéal I de A est principal. On dit que A est euclidien si A est intègre et s’il existe une application N : A\ {0} → N (appelée stathme euclidien) telle que si a ∈A et b ∈A\ {0}, alors il existe q, r ∈ A vérifiant a =qb+r avec soit r = 0, soit N(r)< N(b).

Les exemples les plus importants sont A = Z avec N(a) = |a| et A = K[X] avec N(P) = deg(P).

Th´eor`eme 2.3.1. — Si A est un anneau euclidien, alors A est principal.

Démonstration. — Par définition, A est intègre. Si I est un idéal de A qui est différent de (0), alors {N(a), a∈I\ {0}} est un sous-ensemble non vide de Net admet donc un plus petit élément, disons N(b) avec b∈I.

Sia∈I, alors il existeq, r∈A v´erifiant a=qb+r avec soit r= 0, soit N(r)< N(b).

Commea, b∈I, on a r ∈I et doncN(r)< N(b) n’est pas possible ce qui fait que r= 0 et donc que a=bq. On en d´eduit que I = (b).

(8)

Si A est un anneau principal, et si a, b ∈ A, alors l’idéal engendré par a et b est principal, engendré par un élément d ∈ A. On dit que d est «le» pgcd de a et b (bien sûr, d n’est bien défini qu’à une unité de A près). En particulier, comme d ∈ (a, b), il existex et y∈A tels que ax+by=d (relation de Bezout).

Dans un anneau euclidien, on peut utiliserl’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd de deux éléments a et b. On pose a0 = a et a1 = b et pour i ≥ 1, on définit ai+1

comme ´etant un reste de la division euclidienne de ai−1 par ai. Comme la suite des N(a_i) est strictement d´ecroissante, il existe i₀ tel que a_i₀ 6= 0 et a_i₀₊₁ = 0 et on a alors a_i₀ = pgcd(a, b).

2.4. Anneaux factoriels. — DansZou dansK[X], on a une décomposition en produit de nombres premiers ou en produit de polynômes irréductibles. Nous allons généraliser cette notion.

SoitA un anneau intègre. On dit quea ∈Aestirréductible sia=bcimplique que soit b soit cest une unité deA. On dit que p∈A estpremier si p|bc implique que soit p|b, soit p|c(ce qui revient à dire que l’idéal (p) est premier).

Lemme 2.4.1. — Si A est int`egre et si p∈A est premier, alors p est irr´eductible.

D´emonstration. — Si p=bc, alors p |b oup |c. Si l’on a b =px, alors p= pxc et donc xc= 1 ce qui fait quec est une unit´e.

DansZ ou dans K[X] les éléments irréductibles co¨ıncident avec les éléments premiers, mais en général, ce n’est pas le cas. Par exemple, dans A = Z[√

−5], on a 2 · 3 = (1 +√

−5)·(1−√

−5) et les ´el´ements 2, 3, 1 +√

−5 et 1−√

−5 sont irr´eductibles mais pas premiers. En revanche, dans un anneau principal, les deux notions co¨ıncident.

Lemme 2.4.2. — Si A est principal et si x∈A est irr´eductible, alors x est premier.

Démonstration. — Supposons que x | ab, c’est-à-dire que ab = xy. On va montrer que x | a ou que x | b. Considérons l’idéal (b, x) ; il est principal, engendré par un élément c. On a x ∈(c) et donc on peut écrire x= cz. Comme x est irréductible, soit c est une unité, soit z est une unité.

Siz est une unit´e, alors (b, x) = (x) et donc il existed∈A tel queb =xd et doncx|b.

Sicest une unit´e, alors (b, x) =Aet en particulier, il existed,e∈Atels quebd+xe= 1.

On a alors abd+axe = a et donc xyd+xae = a ce qui fait que x(yd+ae) = a et que x|a.

On dit qu’un anneauAestfactorielsiAest intègre et si tout élément a une factorisation unique en produit d’irréductibles, ce qui veut dire que si a∈A\ {0} n’est pas une unité,

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alors il existep₁, . . . , p_rirréductibles tels quea=p₁· · ·p_ret que si l’on a aussia=q₁· · ·q_s alors r=s et quitte à permuter les q_i on a p_i =q_iu_i avec u_i unité de A.

Th´eor`eme 2.4.3. — Si A est un anneau principal, alors A est factoriel.

Démonstration. — Commen¸cons par montrer que tout élément admet une décomposition.

Si ce n’est pas le cas, soit a ∈ A un élément qui n’en admet pas. On peut alors écrire a=a₁b₁où nia₁nib₁ne sont des unités et où soita₁soitb₁n’admet pas de décomposition, disons a1.On peut alors itérer ce procédé : a = a1b1, a1 = a2b2 . . .où chaque ai divise a_i−1 strictement et n’admet pas de décomposition. On a alors (a₁)⊂(a₂)⊂ · · ·. L’idéal I =∪_i≥1(a_i) est principal, disons I = (f) et il existe alors un indicei tel que f ∈(a_i) ce qui fait que (a_i) = (a_i+1) =· · ·, ce qui est une contradiction.

Montrons maintenant l’unicité de la décomposition. Sia=p₁· · ·p_r =q₁· · ·q_s, alors p₁ est irréductible et donc premier par le lemme 2.4.2 ce qui fait que (quitte à permuter les q_i) on a p₁ |q₁. Comme q₁ est irréductible, cela implique que p₁ =u₁q₁ avec u₁ ∈A^× et donc quitte à remplacer q₂ par u₁q₂ que p₁ = q₁. Supposons que s ≥ r; en itérant, on trouve que 1 =q_r+1· · ·q_s ce qui fait que r =s et que p_i = u_iq_i avec u_i ∈ A^× pour tout i.

Notons bien que dans un anneau factoriel, les éléments premiers co¨ıncident avec les irréductibles.

Dans Z[√

−5] qui n’est plus principal, il existe toujours des décompositions en irréductibles mais elles ne sont plus uniques. Ce qui est vrai, c’est que tout idéal s’écrit de manière unique comme produit d’idéaux premiers. C’est de là que vient la terminologie

«id´eal», ce sont des objets id´eaux qui remplacent les nombres. On a par exemple : 6 = (2,1 +√

−5)·(2,1−√

−5)·(3,1 +√

−5)·(3,1−√

−5).

Nous verrons au chapitre suivant des exemples d’anneaux factoriels qui ne sont pas principaux.

2.5. Anneaux noeth´eriens. — Rappelons qu’un moduleM est de type fini s’il existe m₁, . . . , m_r ∈M tels que M ={Pr

i=1a_im_i, a_i ∈ A} (on ´ecrit alors M = (m₁, . . . , m_r)), ce qui revient `a dire qu’il existe un morphisme surjectif A^r →M.

On dit qu’un A-module M est noethérien (d’après Emmy Noether) si tout sous-A- module de M est de type fini (en particulier M lui-même). On dit que A est un anneau noethérien si tout idéal I de A est de type fini, c’est-à-dire si A est un A-module noethérien. En particulier, un anneau principal est noethérien (tout idéal étant engendré par un seul élément).

(10)

Proposition 2.5.1. — Un A-module M est noeth´erien si et seulement si toute suite croissante M₁ ⊂ M₂ ⊂ · · · de sous-modules de M est stationnaire (constante apr`es un certain rang).

Démonstration. — Si M est noethérien et si M1 ⊂ M2 ⊂ · · · est une telle suite, alors N =∪_i≥1M_i est un sous-module de M et est donc de type fini, engendré parm₁, . . . , m_r. Il existe alorsn 0 tel que m_i ∈M_n ce qui fait que M_n=M_n+1=· · ·=N.

Réciproquement, soit M vérifiant la condition sur les suites de sous-modules et N un sous-module de M. Soit m₁ ∈ N et M₁ = (m₁). Pour i ≥ 1, on choisit m_i+1 ∈ N \M_i si N 6= M_i (sinon on prend m_i+1 = 0) et on pose M_i+1 = (m_i+1, M_i). Par hypothèse, la suite des M_i doit être constante à partir d’un certain rang r ce qui fait que N = (m₁,· · · , m_r).

Lemme 2.5.2. — Si L, M et N sont trois A-modules et si on a une suite exacte : 0→L−→^f M −→^g N →0,

alors M est noeth´erien si et seulement si L et N le sont.

Démonstration. — Si M est noethérien, alors un sous-module de L est via f un sous- module de M et est donc de type fini ce qui fait que L est noethérien. Si P est un sous-module de N, alors g⁻¹(P) est un sous-module de M qui est donc de type fini et si l’on notem₁, . . . , m_r des éléments qui l’engendrent, alorsg(m₁), . . . , g(m_r) engendrentP et doncN est noethérien.

SiLetN sont noethériens, soitP un sous-module deM, soient`₁, . . . , `_r des éléments deL tels quef(`₁), . . . , f(`_r) engendrentf(L)∩P et soientp₁, . . . , p_s des éléments de P dont les images dans N engendrent g(P). Si p ∈ P, alors il existe des a_i ∈ A tels que g(p) = Ps

i=1aig(pi) ce qui fait que p−Ps

i=1aipi ∈ ker(g) = im(f) et donc qu’il existe des bi tels que p =Ps

i=1aipi+Pr

j=1bjf(`j) ce qui fait que P est de type fini engendr´e par les f(`_j) et les p_i.

Théorème 2.5.3. — Si A est un anneau noethérien, alors tout A-module M de type fini est noethérien.

Démonstration. — Si r≥ 1, alors on a une suite exacte 0→ A→A^r →A^r−1 →0 d’où l’on déduit par récurrence (par le lemme 2.5.2) queA^r est noethérien pour tout r≥1.

Si M est un A-module de type fini, alors il existe un morphisme surjectif g :A^r →M et cela nous donne une suite exacte 0→ker(g)→A^r −→^g M →0 d’où l’on déduit (par le lemme 2.5.2) que M est noethérien.

(11)

Nous verrons dans le chapitre suivant que les anneaux de polynômes K[X₁, . . . , X_n] sont noethériens. En fait, beaucoup des anneaux que l’on rencontre le sont. En voici un qui ne l’est pas : soit K un corps et A l’ensemble des suites (x_n)n≥1 d’éléments de K (l’addition et la mutliplication étant terme à terme). L’idéal I des suites nulles à partir d’un certain rang n’est alors pas de type fini.

3. Polynˆomes et corps finis

Si A est un anneau, alors on note A[X] l’anneau des polynˆomes en X `a coefficients dans A.

3.1. Polynˆomes et racines. — Si a ∈ A, alors on a un morphisme d’´evaluation P(X) 7→ P(a) de A[X] dans A. On dit que a est une racine de P(X) si P(a) = 0.

Dans ce cas, il existe Q(X)∈ A[X] tel que P(X) = (X −a)Q(X). En effet, si l’on ´ecrit P(X) =a0+a1(X−a) +· · ·+ad(X−a)^d, alorsP(a) = 0 si et seulement sia0 = 0 et la formule pour Q(X) est alors ´evidente.

Proposition 3.1.1. — Si A est un anneau intègre, alors le nombre de racines de P est inférieur ou égal à deg(P).

Démonstration. — Si P(a) = 0, alors P(X) = (X−a)Q(X) avec deg(Q) = deg(P)−1 et si P(b) = 0, alors (b−a)Q(b) = 0 ce qui fait que, comme Aest intègre, soit a=b soit Q(b) = 0. Ceci permet de démontrer la proposition par récurrence sur le degré deP.

Si A n’est pas intègre, alors la proposition 3.1.1 n’est pas nécessairement vraie. Par exemple, dans A=Z/8Z, le polynôme P(X) =X²−1 a pour racines X = 1, 3, 5 et 7.

Proposition 3.1.2. — Si A est un anneau int`egre, alors A[X] est int`egre.

D´emonstration. — SiP(X) =p₀+p₁X+· · ·+p_mX^m etQ(X) = q₀+q₁X+· · ·+q_nXⁿ sont deux polynˆomes avec p_m 6= 0 et q_n 6= 0, alors le coefficient dominant de P Q est p_mq_n6= 0 ce qui fait que P Q6= 0.

Enfin, si K est un corps, alors on dit que K estalgébriquement clos si tout polynôme non constantP ∈K[X] a une racine dans K. Par exemple, on a le résultat (bien connu) ci-dessous.

Théorème 3.1.3. — Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.

Démonstration. — Soit P(X) = a₀ +a₁X +· · ·+a_dX^d ∈ C[X] un polynôme de degré d≥1. Comme|P(z)|=|z|^d· |a_d+ad−1/z+· · ·+a₀/z^d|, aveca_d6= 0, on a|P(z)| →+∞

(12)

quand |z| →+∞et il existe donc un point z₀ ∈C o`u |P(z)| admet un minimum global.

SiP(z₀) = 0, alors on a termin´e ; sinon, on ´ecrit :

P(z) =P(z₀)·(1 +b_m(z−z₀)^m+ O((z−z₀)^m+1)),

avecb_m 6= 0 et si l’on écritb_m =|b_m|eîθ^m, et que l’on prendz =z₀+ε·eî(−θ^m^+π)/m, alors on a :

P(z) = P(z₀)·(1− |b_m|ε^m+ O(ε^m+1)), ce qui permet de trouver z tel que |P(z)|<|P(z0)|, absurde.

Si L est une extension du corps K et x ∈ L, alors on dit que x est algébrique sur K si x est racine d’un polynôme à coefficients dans K. Tout corpsK admet une extension (en général infinie) algébriquement close, et si tous les éléments de cette extension sont algébriques sur K, alors on dit que c’est une clôture algébrique de K. Deux clôtures algébriques de K sont isomorphes, et on parle généralement de «la» clôture algébrique de K, que l’on note K. Par exemple, C n’est pas une clôture algébrique de Q car il contient des nombres tels queeouπqui ne sont pas algébriques surQ(on dit alors qu’ils sont transcendants), mais C contient Q, la clôture algébrique de Q, qui est l’ensemble des nombres complexes qui sont algébriques sur Q.

3.2. Le théorème de Hilbert. — Le résultat ci-dessous est connu sous le nom de théorème de la base de Hilbert.

Théorème 3.2.1. — Si A est un anneau noethérien, alors A[X] est noethérien.

Démonstration. — Soit I un idéal de A[X] et I_k l’ensemble des a_k ∈ A tels qu’il existe P(X)∈ I de degré k dont le coefficient dominant est a_k. L’ensemble I_k est un idéal de A et de plus I₀ ⊂I₁ ⊂ · · ·. Comme A est noethérien, il existen tel que I_n=I_n+1=· · ·. Chacun des idéaux I_j est de type fini, disons que I_j est engendré par des a_i,j ∈ A avec 1≤i≤n_j. SoitP_i,j ∈I un polynôme dont le coefficient dominant est a_i,j.

Nous allons montrer queI est engendré par lesP_i,j. SiP ∈I est un polynôme de degré d et si d ≥n+ 1, alors les ai,n engendrent In =Id et donc il existe des λin ∈A tels que P −P

λi,nX^d−nPi,n est de degré ≤ d−1 et appartient à I. En itérant, on se ramène à montrer que si P ∈ I est un polynôme de degré d ≤n, alors P est combinaison linéaire des P_i,j. Le coefficient dominant de P est combinaisonA-linéaire desa_i,net donc il existe des λ_i,n∈A tels queP −P

λ_i,nP_i,n est de degré≤d−1 et appartient àI, ce qui permet de finir la démonstration en itérant cela d fois.

(13)

3.3. Polynômes à coefficients dans un anneau factoriel. — Au §2.3, on a défini le pgcd de deux éléments d’un anneau principal. On peut en fait étendre cette définition aux anneaux factoriels. Si a et b ∈ A, écrivons a = pê₁¹· · ·p_rê^r et b = p^f₁¹· · ·p^f_r^r où les p_i sont premiers (rappelons que dans un anneau factoriel, les éléments premiers co¨ıncident avec les éléments irréductibles). On pose alors pgcd(a, b) = p₁^min(e¹^,f¹⁾· · ·p^min(er ^r^,f^r⁾ ce qui fait que (a, b)⊂(pgcd(a, b)). Si A est principal, on a égalité (pourquoi ?) et la définition correspond à celle du §2.3 mais si A =K[X, Y] (dont on va voir qu’il est factoriel si K est un corps), alors pgcd(X, Y) = 1 bien que (X, Y)6=A.

On suppose désormais que A est factoriel. Si P(X) =a₀+a₁X+· · ·+a_dX^d ∈A[X], alors on définit son contenu cont(P) = pgcd(a₀, . . . , a_d). On dit que P est primitif si cont(P) = 1. Le résultat ci-dessous est connu sous le nom delemme de Gauss.

Th´eor`eme 3.3.1. — Si P et Q∈A[X], alors cont(P Q) = cont(P) cont(Q).

Démonstration. — En divisantP par cont(P) etQpar cont(Q), on se ramène à montrer que siP etQsont primitifs, alorsP Ql’est aussi. Si pest un élément premier deA, alors l’anneau A/pA est intègre etP, Q∈A/pA[X] sont 6= 0. Comme A/pA[X] est lui-même intègre, on a P Q 6= 0 et donc p ne divise pas cont(P Q). Ceci étant vrai pour tout p premier, on a bien cont(P Q) = 1.

Théorème 3.3.2. — Si A est un anneau factoriel, et K son corps des fractions, alors A[X] est factoriel et les irréductibles de A[X] sont ceux de A ainsi que les polynômes primitifs de A[X] qui sont irréductibles dans K[X].

Démonstration. — Tout d’abord, les irréductibles de A le restent dans A[X] et si P ∈ A[X] est un polynôme primitif irréductible dans K[X], et si on a P = P₁P₂ dans A[X], alors l’un des P_i appartient nécessairement à Aet en regardant les contenus, on voit que celui-ci est forcément une unité ce qui fait que P est un irréductible de A[X].

L’anneau K[X] est principal, et donc factoriel ; par ailleurs, tout polynˆome de K[X]

peut être multiplié par une constante non nulle pour le rendre à coefficients dans A et primitif. Si P(X) ∈A[X], on peut donc le factoriser en P(X) = (a/b)·P₁(X)· · ·P_r(X) où a, b ∈ A et P_r(X) ∈ A[X] est irréductible dans K[X] et primitif. En regardant les contenus, on voit que b · cont(P) = a et donc finalement que P(X) = cont(P) · P1(X)· · ·Pr(X). Ceci montre d’une part queA[X] est factoriel, et d’autre part qu’il n’y a pas d’autres irréductibles que ceux de A et les polynômes primitifs irréductibles dans K[X].

Enfin, il reste à vérifier l’unicité de la décomposition. Si P(X)∈A[X] s’écrit P(X) = a₁· · ·a_r ·P₁(X)· · ·P_s(X), alors a₁· · ·a_r est une décomposition de cont(P) et est donc unique aux unités près. Enfin,P₁(X)· · ·P_s(X) est une décomposition deP/cont(P) dans

(14)

K[X] et est donc unique à multiplication par des éléments de K^× près, et l’hypothèse queP_i(X) est primitif implique queP_i(X) est bien déterminé à une unité de A près.

En appliquant n fois le théorème 3.3.2, on trouve que si A est factoriel, alors A[X₁, . . . , X_n] est un anneau factoriel : tout polynôme à n variables s’écrit de manière unique comme produit de polynômes irréductibles.

3.4. Corps finis. — Si pest un nombre premier, alors Z/pZ est un corps de cardinal p que l’on note Fp, mais il existe d’autres corps finis que les Fp. Si K est un corps fini, alors le morphisme naturelZ→K n’est pas injectif et il existe doncn ≥2 tel queZ/nZ est un sous-anneau de K. Comme Z/nZ n’est int`egre que si n est premier, il existe un nombre premier p tel que F_p ⊂ K. On a alors p = 0 dans K et on dit que K est de caract´eristique p.

Proposition 3.4.1. — Si K est un corps fini de caract´eristique p, alors son cardinal est pⁿ pour un entier n ≥1.

D´emonstration. — Comme K est fini et contientF_p, c’est un espace vectoriel de dimension finie sur F_p et si on note n sa dimension, alors on a K ' Fⁿ_p (en tant qu’espaces vectoriels, mais pas en tant qu’anneaux !) et donc card(K) = pⁿ.

Si K est un corps fini de cardinal q = pⁿ, alors K^× est un groupe abélien (pour la multiplication) de cardinal q−1 et on a donc x^q−1 = 1 pour tout x ∈ K^×, ce qui fait que tout élément de K est racine du polynôme X^q −X. En particulier, le polynôme X^q−X−1 n’a pas de racines dans K et donc un corps fini n’est jamais algébriquement clos. On noteF_p «la»clôture algébrique de F_p.

SiK est de caractéristiquep, alors l’application Fr_p :K →K donnée parx7→x^pest un morphisme d’anneaux qui estFp-linéaire, puisquea^p =asia∈Fp et que (a+b)^p =a^p+b^p dans un anneau oùp= 0. Cette application s’appelle le morphisme de Frobenius.

Théorème 3.4.2. — Si q =pⁿ, alors l’ensemble F_q = {x ∈F_p | x^q = x} est un sous- corps de F_p qui est une extension de F_p de degré n, et c’est le seul sous-corps de F_p qui ait cette propriété.

Démonstration. — Comme l’applicationx7→x^qest un morphisme d’anneaux (c’est Frⁿ_p), F_q est bien un sous-anneau de F_p. Si x ∈F_q\ {0}, alors (x⁻¹)^q = (x^q)⁻¹ =x⁻¹ et donc x⁻¹ ∈ F_q ce qui fait que F_q est bien un corps. Comme F_p est algébriquement clos, le polynômeP(X) = X^q−X a deg(P) =q solutions (distinctes) dans F_p et donc F_q est de cardinal q =pⁿ ce qui fait que c’est une extension de F_p de degré n. Enfin, si K est un

(15)

sous-corps de F_p de cardinal q, alors on a vu que le polynˆome X^q−X est nul sur K et donc on a forc´ement K =F_q.

La situation est donc radicalement différente de ce qui se passe surQ, qui a une infinité d’extensions de degrén pour toutn ≥2.

Nous reviendrons sur les corps finis dans la suite de ce cours, notamment parce que les groupes linéaires GL_n(F_q) sont des exemples intéressants de groupes finis. Dans le cas n= 1, signalons le résultat ci-dessous.

Proposition 3.4.3. — Le groupe multiplicatif F^×_q est cyclique.

Démonstration. — Soit ϕ l’indicatrice d’Euler, définie par ϕ(n) = le nombre d’éléments d’ordre n dans Z/nZ et soit ψ définie par ψ(n) = le nombre d’éléments d’ordre n dans F^×_q. Il suffit de montrer que ψ(q−1)6= 0.

Si ψ(n) 6= 0, c’est qu’il existe x ∈ F^×_q d’ordre n et alors l’application a 7→ xâ de Z/nZ → F^×_q est injective, et son image est composée d’éléments dont l’ordre divise n.

Comme l’ordre d’un ´el´ement x divise n si et seulement si xⁿ = 1, il y a au plus n tels

´

eléments et donc siψ(n)6= 0, alors ces éléments sont tous dans l’image de l’application ci- dessus etψ(d) = ϕ(d) pour toutd|nce qui fait queψ(n) = ϕ(n). Par suite, on a que pour toutn, on a soitψ(n) = 0, soitψ(n) =ϕ(n). Enfin,P

d|q−1ψ(d) =q−1 = P

d|q−1ϕ(d) et on a donc forc´ementψ(d) = ϕ(d) pour toutdet en particulierψ(q−1) =ϕ(q−1)6= 0.

4. Modules de type fini sur un anneau principal

Soit A un anneau etJ un ensemble. On note ⊕j∈JA l’ensemble des suites x= (xj)j∈J

telles que x_j = 0 pour tout j sauf un nombre fini. SiM est un A-module, on dit qu’une famille {m_j}_j∈J d’éléments de M est une base deM si l’application⊕_j∈JA→M donnée par (x_j)j∈J 7→ P

j∈Jx_jm_j est un isomorphisme (l’application est bien d´efinie puisque pour chaque x, x_j = 0 pour tout j sauf un nombre fini). On dit qu’un A-module M est libre s’il admet une base.

4.1. Modules libres de type fini et matrices. — On dit qu’un A-module M est libre de type fini s’il admet une base finie, ce qui revient `a dire qu’il existe r ≥ 1 et un isomorphismef :A^r →M.

Proposition 4.1.1. — Si M est un A-module libre, alors deux bases de M ont mˆeme cardinal.

(16)

D´emonstration. — Soit {m_j}j∈J une base deM et I un id´eal maximal de A. Le module quotient M/IM est un A/I-espace vectoriel et les {m_j}j∈J en forment une base, ce qui fait que card(J) = dim_A/IM/IM.

Si M est un A-module libre de type fini, alors par la proposition 4.1.1, l’entier r tel queM 'A^r est bien d´efini et on l’appelle le rang deM. SiM etN sont deux A-modules libres de rang r et s, dont on choisit des bases {m_i} et {n_j}, et si f : M → N est un morphisme, alors la matrice de f dans les bases {mi} et {nj} est Mat(f) = (fi,j) o`u f(m_j) = Ps

i=1f_i,jn_i. Les règles habituelles de l’algèbre linéaire s’appliquent toujours ; en particulier, on a Mat(f g) = Mat(f) Mat(g). On note M_m×n(A) et M_n(A) les matrices à m lignes et n colonnes et les matrices carréesn×n.

Si P = (p_i,j) ∈ M_n(A), on d´efinit det(P) = P

σ∈Snε(σ)p_1,σ(1)· · ·p_n,σ(n) et on a alors det(P Q) = det(P) det(Q) et si ^tco(P) d´esigne la transpos´ee de la comatrice de P, alors

tco(P)· P = det(P) Id. En particulier, la matrice P est inversible dans M_n(A) si et seulement si det(P) ∈ A^×; on note GL_n(A) l’ensemble de ces matrices. Enfin, si P ∈ M_n(A), alors on définit le polynôme caractéristique Π_P(X) = det(X·Id−P)∈ A[X] et le théorème de Cayley-Hamilton est toujours vrai.

Th´eor`eme 4.1.2. — Si M est un A-module libre de rang r, si f : M → M est un endormorphisme de M, et si P est la matrice de f dans une base {m_i} de M, alors Π_P(f) est nul sur M.

D´emonstration. — Consid´eronsM comme un module surA[X] en posantX·m =f(m).

On a alors :

(X·Id−^tP)



 m₁

... mr



=



 0

... 0



,

et donc : (X·Id−^tP)



 m₁

... mr



=^tco(X·Id−^tP)·(X·Id−^tP)



 m₁

... mr



= det(X·Id−P)·Id



 m₁

... mr





est nul, ce qui fait que det(X ·Id−P)m_i = 0 pour tout i et donc que Π_P(f) = 0 sur M.

4.2. Diviseurs élémentaires pour un anneau principal. — Il n’est pas vrai, en général, qu’un sous-module d’un module libre est lui-même libre (par exemple (X, Y)⊂ K[X, Y]) mais sur un anneau principal, c’est vrai.

Th´eor`eme 4.2.1. — Si A est un anneau principal, si M est un A-module libre de rang r et si N est un sous-A-module de M, alors N est libre de rang ≤r.

(17)

D´emonstration. — Soit {m_i} une base de M et N_i = N ∩(m₁, . . . , m_i). Nous allons montrer par r´ecurrence sur i que N_i est libre de rang ≤ i. Comme N₁ ⊂ (m₁) ' A et que A est principal, N₁ est de la forme (a₁m₁) avec a₁ ∈ A et il est donc libre de rang

≤ 1. Soit i ≥ 1 et I l’ensemble des a ∈ A tels qu’il existe x ∈ N_i+1 qui peut s’écrire x=b₁m₁+· · ·+b_im_i+am_i+1. C’est un idéal deAet il est donc engendré par un élément ai+1 ∈A. Si ai+1 = 0, alors Ni+1 =Ni et Ni+1 est bien libre de rang ≤i+ 1. Sinon, soit x∈ Ni+1 tel que x=b1m1+· · ·+bimi +ai+1mi+1. Siy ∈Ni+1, alors il existe b ∈A tel que y−bx ∈ N_i et comme N_i∩(x) = {0}, on a N_i+1 = N_i ⊕(x) qui est donc libre de rang ≤i+ 1.

Contrairement `a ce qui se passe pour les espaces vectoriels sur un corps, il n’existe pas n´ecessairement P ⊂ M tel que M = N ⊕ P, par exemple N = 2Z n’a pas de

«suppl´ementaire»dans M =Z.

Le résultat ci-dessous précise le théorème 4.2.1 et est fondamental.

Théorème 4.2.2. — Si A est un anneau principal, si M est un A-module libre de rang r et si N est un sous-A-module de M de rang s, alors il existe une base m₁, . . . , m_r de M et des éléments d₁, . . . , d_s de A\ {0} tels que :

(1) les d₁m₁, . . . , d_sm_s forment une base de N; (2) on a d₁ |d₂ | · · · |d_s.

Démonstration. — Pour que la démonstration soit aussi claire que possible, nous montrons le théorème dans le cas où A est un anneau euclidien (c’est le cas dans les deux applications les plus importantes, A = Z et A = K[X]). La démonstration dans le cas général est assez semblable mais l’une des étapes est plus technique.

Montrons donc le théorème sous l’hypothèse supplémentaire que A est un anneau euclidien. Si l’on choisit des bases de M et N, alors la matrice de la base de N selon celle de M est une matrice P ∈Mr×s(A) et si l’on change les bases de M ou de N, cela revient à remplacer P par XP Y avec X ∈ GL_r(A) et Y ∈ GL_s(A). Pour montrer le théorème, il faut donc montrer qu’il existe X ∈GL_r(A) et Y ∈GL_s(A) telles que XP Y a tous ses termes nuls sauf ses s premiers termes diagonaux, et que ceux-ci satisfont la condition (2). Nous allons montrer que l’on peut faire cela en ne modifiantP que par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (si A n’est que principal, alors ce n’est justement pas toujours possible).

Si P = 0, alors il n’y a rien `a faire. Sinon, posons N(P) = min{N(p_i,j), p_i,j 6= 0}.

Quitte `a permuter les lignes et les colonnes, on peut supposer que N(P) = N(p_1,1).

Supposons alors qu’il existe i ou j tels que p_1,1 ne divise pas p_i,1 ou p_1,j. Dans ce cas, consid´erons les op´erations suivantes :

(18)

(L) si c’est p_i,1, alors on fait la division euclidienne de p_i,1 par p_1,1 : p_i,1 =qp_1,1 +r et on remplace la ligne L_i par L_i−qL₁ puis on r´eordonne les lignes et les colonnes pour que N(P) = N(p_1,1) ;

(C) si c’est p_1,j, alors on fait la division euclidienne de p_1,j par p_1,1 : p_1,j =qp_1,1+r et on remplace la colonneC_j par C_j−qC₁ puis on r´eordonne les lignes et les colonnes pour que N(P) = N(p1,1).

A chaque fois que l’on fait l’une des opérations ci-dessus, on remplace la matrice P par une matriceP⁰ telle queN(P⁰)≤N(P)−1 ce qui fait qu’après au plusN(P) opérations, on se retrouve forcément avec une matrice qui a la propriété que p_1,1 divise tous les

´

eléments de la ligneL₁ et de la colonne C₁. Quitte à remplacer L_i par L_i−(p_i,1/p_1,1)L₁ etC_j par C_j −(p_1,j/p_1,1)C₁, on est alors dans la situation où P est de la forme :

p_1,1 0

0 Q

.

S’il existe i et j tels que p_1,1 ne divise pas q_i,j, alors on remplace L₁ par L₁ +L_i et on recommence les opérations (L) et (C) ci-dessus, chacune étant forcée de faire baisser N(P) d’au moins 1. On finit donc par arriver dans la situation où P est de la forme :

p1,1 0

0 Q

.

avecp_1,1 |Q ce qui permet de démontrer le théorème par récurrence en l’appliquant à la matriceQ/p1,1.

Nous verrons plus loin que les idéaux (d₁), (d₂), . . . ,(d_s) sont déterminés par le module quotient M/N. Ces idéaux s’appellent les diviseurs élémentaires de M/N. Si l’anneau A a la propriété que pour tous les modules N ⊂ M avec M et N libres de rang fini, les conclusions du théorème 4.2.2 sont satisfaites, alors on dit que A est un anneau à diviseurs élémentaires. Dans un tel anneau, tout idéal de type fini est nécessairement principal. Réciproquement, on conjecture que si A est un anneau intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal, alors A est un anneau à diviseurs élémentaires. Un exemple d’un tel anneau qui n’est pas principal est l’anneau des fonctions holomorphes sur le disque ouvert.

Remarquons pour terminer que la démonstration du théorème 4.2.2 fournit une clas- sification des matrices à coefficients dans un anneau principal A à équivalence près. Une matrice dont tous les termes sont nuls sauf less premiers termes diagonaux d₁, . . . , d_s et telle que d₁ | · · · | d_s est dite être en forme normale et on dit alors aussi que les d_i sont les diviseurs élémentaires de la matrice.

(19)

4.3. Modules de type fini sur un anneau principal. — Commen¸cons par appliquer directement le th´eor`eme 4.2.2.

Proposition 4.3.1. — Si A est un anneau principal, et si M est un A-module de type fini, alors il existen≥0et des ´el´ements non nulsd₁, . . . , d_m deA\A^×tels qued₁ | · · · |d_m et M 'Aⁿ⊕(⊕^m_i=1A/diA).

Démonstration. — SiM est de type fini, alors il existe un morphisme surjectif f :A^r → M et on note N = ker(f). Par le théorème 4.2.1, N est libre de rang s ≤ r et la proposition suit alors du théorème 4.2.2 appliqué àN ⊂A^r, étant donné que sid_i ∈A^×, alors d_iA=A et si d_i = 0, alors A/d_iA=A.

Si M est un A-module et si m ∈ M, alors on dit que m est de torsion s’il existe a∈A\ {0}tel queam= 0. L’ensemble M_tor des ´el´ementsm ∈M qui sont de torsion est un sous-module de M etM/M_tor est alors sans torsion.

On voit alors, en gardant les notations de la proposition 4.3.1, que l’on a M_tor '

⊕^m_i=1A/diA etM/Mtor 'Aⁿ; en particuliern est bien défini et ne dépend que deM. On dit parfois abusivement que n est le rang de M. Si M est sans torsion, alors M 'Aⁿ et donc sur un anneau principal, les modules sans torsion et de type fini sont nécessairement libres.

Proposition 4.3.2. — Si A est un anneau principal, et si d₁, . . . , d_m et e₁, . . . , e_n sont des ´el´ements non nuls de A\A^× tels que d₁ | · · · | d_m et e₁ | · · · | e_n et ⊕^m_i=1A/d_iA '

⊕ⁿ_j=1A/e_jA, alorsm =n et (d_i) = (e_i) pour tout i.

Démonstration. — Comme A est un anneau principal, les éléments premiers co¨ıncident avec les éléments irréductibles, et de plus si p est premier, alors l’idéal (p) est maximal et doncA/pA est un corps. Si d ∈A\A^×, alorsA/dA est engendré par un seul élément (la classe de 1) et donc son quotient (A/dA)/p(A/dA) est un A/pA-espace vectoriel de dimension 0 ou 1. Si p - d, alors la multiplication par p, m_p : A/dA → A/dA est un isomorphisme et donc (A/dA)/p(A/dA) = 0. En revanche, si p|d, alorsm_p n’est pas un isomorphisme et donc (A/dA)/p(A/dA) est un A/pA-espace vectoriel de dimension 1.

On en déduit que si p est un élément premier, alors (⊕^m_i=1A/d_iA)/p(⊕^m_i=1A/d_iA) est un A/pA-espace vectoriel dont la dimension est le nombre de d_i qui sont divisibles par p. En particulier, si p divise d₁, alors ce nombre est égal à m et donc m des e_j sont divisbles par p, et n ≥ m. Par symétrie, on trouve que m = n et donc que p divise aussi tous les ej. Enfin, si p divise d, alors on a p(A/dA)' A/(d/p)A et en multipliant

⊕^m_i=1A/d_iA ' ⊕ⁿ_j=1A/e_jA par p, on trouve que :

⊕^m_i=1A/(d_i/p)A' ⊕ⁿ_j=1A/(e_j/p)A,

(20)

ce qui permet de démontrer la proposition par récurrence sur le nombre de facteurs premiers (avec multiplicité) de ppcm(d_m, e_m).

En rassemblant les résultats du paragraphe, on trouve donc le théorème ci-dessous.

Th´eor`eme 4.3.3. — Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors :

(1) il existe m ≥ 0 et n ≥ 0 et des ´el´ements non nuls d1, . . . , dm de A\A^× tels que d1 | · · · |dm et :

M 'Aⁿ⊕(⊕^m_i=1A/d_iA);

(2) les entiers m et n ainsi que les idéaux (d_i) sont déterminés par M.

Le module A/dA peut lui-même encore être décomposé. Si d = p^α₁¹· · ·p^α_r^r est une décomposition deden facteurs premiers, alors par le lemme chinois, l’applicationA/dA→

⊕^r_j=1A/p^α_j^jA est un isomorphisme. En revanche, A/p^αA ne peut plus être décomposé en somme directe de deux sous-A-modules.

Si M est un A-module et si p est un élément premier, on note M(p) l’ensemble des m∈M tels qu’il existeα ≥1 vérifiantp^αm= 0 ce qui fait que M(p) est un sous-module deM. SiM =A/dA, alorsM(p_j) =A/p^α_j^jAet doncM =⊕^r_j=1M(p_j). Le théorème 4.3.3 peut alors être reformulé de la manière suivante.

Théorème 4.3.4. — Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors M(p) = 0 pour presque tout élément premier p et :

(1) il existe n ≥0 tel que M =Aⁿ⊕(⊕_p_premierM(p)) et pour tout p premier, il existe des entiers α₁(p)≤ · · ·α_m(p)(p) tels que M(p) = ⊕^m(p)_i=1 A/p^αⁱ^(p)A;

(2) les entiers n et m(p) et α_i(p) sont d´etermin´es par M.

4.4. Groupes abéliens de type fini et réduction des endomorphismes. — Dans ce paragraphe, nous allons appliquer le théorème 4.3.3 au cas deA=Z(groupes abéliens de type fini) puis au cas de A=K[X] (réduction des endomorphismes).

Commen¸cons par le cas des groupes abéliens de type fini. L’anneauA=Zest principal, et on a vu qu’un groupe abélien n’est autre qu’un Z-module. Par suite, le théorème 4.3.3 nous donne le résultat ci-dessous.

Théorème 4.4.1. — Si G est un groupe abélien de type fini, alors il existe m ≥ 0 et n≥0 et des entiers d1, . . . , dm ≥2 tels que d1 | · · · |dm et G'Zⁿ⊕(⊕^m_i=1Z/diZ), et les entiers m et n et les di sont déterminés par G.

Passons à présent à la réduction des endomorphismes. Soit K un corps algébriquement clos (par exempleK =C, mais aussiK =F_p), soitV unK-espace vectoriel de dimension

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finie etf :V →V un endomorphisme. On consid`ereV comme unK[X]-module en posant X·v =f(v) et V est alors un K[X]-module de type fini, qui est de torsion.

Les éléments premiers de K[X] sont les polynômes irréductibles, qui sont de degré 1 puisqueK est algébriquement clos, et tout polynôme premier est donc de la formeX−λ avecλ∈K. Siα≥1, alors leK[X]-moduleK[X]/(X−λ)^α est un K-espace vectoriel de dimension α dont une base est donnée par (X−λ)^α−1,(X−λ)^α−2, . . . ,1 et dans cette base, la matrice de la multiplication par X est donnée par :





 λ 1

. .. ...

. .. 1 λ





 .

Le théorème 4.3.4 nous dit alors que V est une somme directe de V_λ où chaque V_λ est de la forme ⊕^m_i=1K[X]/(X−λ)^αⁱ, c’est-à-dire qu’il existe une base de V dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, chaque bloc étant un bloc de Jordan. On dit que Mat(f) est sous forme de Jordan. On a donc montré le théorème ci-dessous.

Théorème 4.4.2. — Si K est algébriquement clos, alors tout endomorphisme d’unK- espace vectoriel de dimension finie admet une décomposition de Jordan.

Pour terminer, il nous reste `a voir comment on peut d´eterminer effectivement la forme de Jordan d’un endomorphismef ∈End(V). Soit{v1, . . . , vd}une base deV,M = (mi,j) la matrice def dans la base desv_i, et soitN le sous-module de⊕^d_i=1K[X]v_i engendre par lesn_i =Xv_i−Pd

j=1m_j,iv_j pour 1≤i≤d. Enfin, soitπ :⊕^d_i=1K[X]v_i →V l’application π :Pd

i=1P_i(X)·v_i 7→Pd

i=1P_i(f)(v_i).

Proposition 4.4.3. — L’application π induit une suite exacte de K[X]-modules : 0→N → ⊕^d_i=1K[X]v_i −→^π V →0.

Démonstration. — Il faut vérifier que π est surjective et que ker(π) = N. Le fait que π est surjective est évident puisque π(v_i) = v_i et que les v_i engendrent V. Montrons donc que ker(π) = N. Le fait queM est la matrice def dans la base des vi revient à dire que f(v_i) =Pd

j=1m_j,iv_j et donc queπ(n_i) = 0 pour tout ice qui fait que N ⊂ker(π). Enfin, siPd

i=1P_i(X)·v_i ∈ker(π), alors il existen ∈N tel quePd

i=1P_i(X)·v_i−n=Pd

i=1a_i·v_i avec a_i ∈ K et si π(Pd

i=1P_i(X)·v_i) = 0, alors π(Pd

i=1a_i·v_i) = 0 et donc a_i = 0 pour tout i ce qui fait quePd

i=1P_i(X)·v_i ∈N et donc ker(π) = N.

Corollaire 4.4.4. — Si M est la matrice de f dans une base de V, alors V '

⊕^d_i=1K[X]/(d_i) en tant que K[X]-module où les d_i sont les diviseurs élémentaires de la matrice X·Id−M ∈Md(K[X]).

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5. Groupes

Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition associative notée · qui admet une unité, notéeeou 1, et tel que tout élément admet un inverse, notég⁻¹. On dit que G est commutatif ou abélien si la loi est commutative. Dans ce cas on note parfois cette loi + et l’unité et l’inverse d’un élément g sont alors notés 0 et −g.

5.1. Sous-groupes et quotients. — Une partie H deG est dite être unsous-groupe deGsih∈H impliqueh⁻¹ ∈H et sih₁, h₂ ∈H impliqueh₁·h₂ ∈H. Si P est une partie deG, alors on note hPi le sous-groupe engendré par P, c’est l’ensemble des éléments de Gqui peuvent s’écrire comme produits d’éléments deP et de leurs inverses. On dit qu’un groupe Gest cyclique s’il est engendré par un seul élément x. Dans ce cas, Gest abélien et on a une application deZ-modules Z→Gdonnée par a7→xâ, dont le noyau est alors soit nul, soit de la formenZ pour n≥1 et donc tout groupe cyclique est isomorphe à Z ou àZ/nZ. Si x∈G, alors l’ordre dex est le cardinal dehxi. SiG est un groupe fini, on dit parfois abusivement ordre deG au lieu de cardinal de G.

Si H est un sous-groupe de G, alors on définit une relation d’équivalence sur G par x ∼ y si et seulement si x⁻¹y ∈H, c’est-à-dire si et seulement si xH =yH. Les classes d’équivalence de ∼ sont alors de la forme xH avecx ∈G et l’ensemble G est la réunion disjointe de telles classes d’équivalence. On dit que H est un sous-groupe d’indice fini si le nombre de classes d’équivalence est fini, et on note alors (G : H) ce nombre. Par exemple, si G est un groupe fini, alors tout sous-groupe H est nécessairement d’indice fini et on a :

card(G) = (G:H) card(H).

En particulier, card(H) divise card(G), c’est le th´eor`eme de Lagrange.

Notons G/H l’ensemble des classes d’´equivalence de G pour la relation ∼. On dit que le sous-groupeH estdistingu´e dans G si pour touty∈G, on a yH =Hy, ce qui revient

`

ayHy⁻¹ =H. Dans ce cas, on a xHyH =xyH et cela nous permet de munir l’ensemble G/H d’une structure de groupe parxH·yH =xyH. L’application naturelle G→G/H est alors un morphisme de groupes surjectif dont le noyau estH. Notons que sif :G→K est un morphisme de groupes, alors ker(f) est toujours un sous-groupe distingu´e de G.

Proposition 5.1.1. — Si Qest un groupe et siπ :G→Qest un morphisme de groupes surjectif dont le noyau est H, alors Q'G/H.

Démonstration. — Si π : G → Q est un morphisme comme ci-dessus, alors on définit une application r : Q → G/H par r(q) = g où g ∈ G est tel que π(g) = q. Deux choix possibles d’un tel g vérifient g⁰ = gh et donc g ∈ G/H est bien défini. Si q₁, q₂ ∈ Q, et