Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no1
Anneaux, généralités
Dans les exercices 1, 2 et 3, les anneaux considérés ne sont supposés a priori ni commutatifs ni unitaires.
Exercice 1 – Un anneau (A,+,×)est dit de Boole si A 6={0A} et si toutx∈A est idempotent i.e. vérifie x2 =x.
1) Soit A un anneau de Boole. Montrer que pour tout x∈A on a x+x= 0A. 2) En déduire qu’un anneau de Boole est commutatif.
3) Montrer qu’un anneau de Boole intègre n’a que 2 éléments et est isomorphe à (Z/2Z,+,×). Indication : on pourra supposer que A contient deux éléments distincts non nuls x, y et calculer xy(x+y).
4) Un anneau de Boole peut-il avoir 3 éléments ?
Exemple d’anneau de Boole : si E est un ensemble non vide,(P(E),∆,∩)est un anneau de Boole.
Exercice 2 – Soit (A,+,×)un anneau. Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe un entier n>1tel quexn = 0A. Si x∈Aest nilpotent, le plus petit entier n >1tel que xn = 0A est appelé l’indice de nilpotence de x.
1) Montrer qu’un élément non nul nilpotent est diviseur de zéro à droite et à gauche mais que la réciproque n’est pas toujours vraie.
2)Soienta, b∈Atels queabsoit nilpotent d’indice de nilpotencen. Montrer que ba est nilpotent. Que peut-on dire de son indice de nilpotence ?
3) Soient a et b deux éléments nilpotents de A. On suppose qu’ils commutent i.e. ab = ba. Montrer que a+b et ab sont nilpotents. Que peut-on dire de leurs indices de nilpotence (en fonction de ceux de a etb) ?
4) Le but de cette question est de montrer que si a et b ne commutent pas (donc si A est non commutatif), cette propriété peut être fausse. Soient K un corps (commutatif) et A = M2(K) muni de l’addition et du produit standards.
Montrer que A est un anneau non commutatif et trouver deux éléments de A nilpotents dont la somme et le produit ne sont pas nilpotents.
5) On suppose désormais A unitaire d’élément neutre 1A pour ×. Soit a ∈ A nilpotent. Montrer que 1A−a est inversible et exprimer son inverse sous forme de polynôme en a.
6) Soient a, b∈A tels que 1A−ab soit inversible. Montrer que1A−ba est aussi inversible et exprimer son inverse en fonction de celui de 1A−ab. Indication : on pourra commencer par supposer ab nilpotent.
Exercice 3– Soient(A,+,×)et(B,+,×)deux anneaux. On appelle morphisme d’anneaux de A dans B toute application f : A→B telle que pour tout a ∈A et tou b ∈ B on ait f(a+b) = f(a) +f(b) et f(a×b) =f(a)×f(b). SiA etB sont unitaires, on dira que f est un morphisme d’anneaux unitaires si en outre on a f(1A) = 1B.
1) Soient A etB deux anneaux unitaires. Soit f un morphisme d’anneaux de A dans B. Montrer que siB est intègre, soitf est le morphisme nul (f(x) = 0pour tout x), soit f est un morphisme d’anneaux unitaires.
2) Déterminer les morphismes d’anneaux de(Z,+,×) dans lui-même.
3) Même question avec l’anneau Z/nZ (n > 2). Quels sont ceux qui sont des automorphismes (morphismes bijectifs de l’anneau dans lui-même) ?
4) Si n ∈ N, n > 2, on note Z[√
n] le plus petit anneau inclus dans R, muni des lois induites par les lois usuelles de R et contenant Z et √
n. Montrer que Z[√
n] ={a+b√
n; a, b∈Z}.
5)Quels sont les morphismes d’anneaux unitaires deZ[√
2]dans lui-même ? Sont- ce des automorphismes ?
6) Existe-t-il des morphismes d’anneaux unitaires de Z[√
2]dans Z[√ 3]? 7) Soit f un morphisme non nul de l’anneau (R,+,×) dans lui-même.
a) Montrer que pour tout x deQ on a f(x) = x.
b) Montrer que pour toutx>0on af(x)>0et en déduire quefest croissante.
c) Déterminer f.
Dorénavant, tous les anneaux considérés sont supposés commutatifs.
Exercice 4 –
1) Soit Aun anneau fini unitaire et intègre. Montrer que A est un corps.Indica- tion : sia ∈A\ {0}, considérer l’application f : A→A définie par f(x) = ax.
2) SoitA un anneau unitaire fini. Sin est un entier>1, on noten·1A l’élément 1A+ 1A+· · ·+ 1A(n fois). PosonsE ={n>1; n·1A= 0A}. Montrer queE 6=∅.
3) Sous les mêmes hypothèses on appelle caractéristique deA et on note Car(A) le plus petit élément de E. Montrer que si A est intègre, Car(A) est premier.
Est-ce encore vrai si on ne suppose pas A intègre ?
4) Soit A un anneau unitaire intègre à quatre éléments. Quelle est la caractéris- tique de A?
5) Montrer qu’il existe, à isomorphisme près, un seul anneau unitaire intègre à quatre éléments.
