Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2013–2014
FEUILLE D’EXERCICES no1 Anneaux, généralités
Exercice 1 – [Exemples]
On munit les ensembles suivants de lois +et × induites par celles de C.
A1 = 2Z, A2 =Z+iZ, A3 = [
n∈N
1 2nZ.
1) Montrer qu’il s’agit d’anneaux intègres. Quels sont ceux qui sont unitaires ? 2) On munit ces ensembles des lois habituelles.
A4 =M2(R), A5 =M2(Z), A6 =Z/10Z.
Montrer qu’il s’agit d’anneaux unitaires. Quels sont ceux qui sont commutatifs ? 3) Pour 16i66 tel que Ai soit unitaire, décrire les inversibles deAi.
Exercice 2 – [Anneau de Boole]
Un anneau(A,+,×)est dit de Boole siA6={0}et si toutx∈Aestidempotent i.e. vérifie x2 =x.
1) Soit A un anneau de Boole. Montrer que pour tout x∈A on a x+x= 0.
2) En déduire qu’un anneau de Boole est commutatif.
3) Montrer qu’un anneau de Boole intègre n’a que 2 éléments et est isomorphe à (Z/2Z,+,×).
4) Un anneau de Boole peut-il avoir 3 éléments ?
Exemple d’anneau de Boole : si E est un ensemble, (P(E),∆,∩) est un anneau de Boole.
Exercice 3 – [Nilpotence]
Soit (A,+,×) un anneau. Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe un entier n>1 tel que xn= 0. Six ∈A est nilpotent, le plus petit entier n>1 tel que xn= 0 est appelé l’indice de nilpotence dex.
1) Montrer qu’un élément non nul nilpotent est diviseur de zéro à droite et à gauche mais que la réciproque n’est pas toujours vraie.
2)Soienta, b∈Atels queabsoit nilpotent d’indice de nilpotencen. Montrer que ba est nilpotent. Que peut-on dire de son indice de nilpotence ?
3) Soient a et b deux éléments nilpotents de A. On suppose qu’ils commutent i.e. ab = ba. Montrer que a+b et ab sont nilpotents. Que peut-on dire de leurs indices de nilpotence (en fonction de ceux de a etb) ?
4) Le but de cette question est de montrer que si a et b ne commutent pas (donc si A est non commutatif), cette propriété peut être fausse. Soient K un corps (commutatif) et A = M2(K) muni de l’addition et du produit standards.
Montrer que A est un anneau non commutatif et trouver deux éléments de A nilpotents dont la somme et le produit ne sont pas nilpotents.
5) On suppose désormais A unitaire d’élément neutre 1 pour ×. Soit a ∈ A nilpotent. Montrer que1−a est inversible et exprimer son inverse sous forme de polynôme en a.
6) Soient a, b ∈ A tels que 1−ab soit inversible. Montrer que 1−ba est aussi inversible et exprimer son inverse en fonction de celui de 1−ab. Indication : on pourra commencer par supposer ab nilpotent.
Exercice 4 – [Produit inversible]
Soit (A,+,×)un anneau unitaire. Soient a, b∈A tels que absoit inversible.
1) SupposonsA commutatif. Montrer que a etb sont inversibles.
2) Supposons que b ne soit pas diviseur de zéro à droite (ou a non diviseur de zéro à gauche). Montrer que a etb sont inversibles.
3) Supposons quebane soit pas diviseur de zéro à droite (ou à gauche). Montrer que a etb sont inversibles.
4) La propriété
(P) :ab inversible ⇒a, binversibles
peut être vraie dans un anneau unitaire non commutatif, par exemple si A = Mn(K) où K est un corps commutatif (se rappeler pourquoi). Le but de cette question est de donner un exemple d’anneau unitaire non commutatif dans lequel (P) est fausse. Soient K un corps (commutatif) et A = L(KN) l’ensemble des applications linéaires deKN(K-espace vectoriel des suites à coefficients dans K).
Montrer que muni de + et◦, A est un anneau unitaire non commutatif. À l’aide de f, g∈A définies par
f((x0, x1, x2, . . .)) = (x1, x2, x3, . . .) et g((x0, x1, x2, . . .)) = (0, x0, x1, x2, . . .), montrer que (P) est fausse dans A.
5)Les élémentsf etgde la question précédente admettent-ils un inverse à droite ? À gauche ?
Exercice 5 – [Intégrité]
1)Soit Aun anneau non nul, unitaire et sans diviseur de 0 à droite. Montrer que si x∈A, on a
x inversible à droite ⇔xinversible à gauche ⇔xinversible.
2) Soit A un anneau intègre unitaire fini. Montrer que A est un corps (commu- tatif).
3)En s’inspirant de la preuve de la question précédente, montrer que si Aest un anneau fini possédant un élément non nul qui n’est ni diviseur de zéro à droite ni diviseur de zéro à gauche, alors A est unitaire.
Exercice 6 – [Morphismes]
1) Soient A etB deux anneaux unitaires. Soit f un morphisme d’anneaux de A dans B. Montrer que siB est intègre, soitf est le morphisme nul (f(x) = 0pour tout x), soit f est un morphisme d’anneaux unitaires.
2) Déterminer les morphismes d’anneaux de(Z,+,×) dans lui-même.
3) Même question avec l’anneau Z/nZ (n > 2). Quels sont ceux qui sont des automorphismes ?
4) Si n ∈ N, n > 2, on note Z[√
n] le plus petit anneau inclus dans R, muni des lois induites par les lois usuelles de R et contenant Z et √
n. Montrer que Z[√
n] ={a+b√
n; a, b∈Z}.
5) Quels sont les morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[√
2] dans lui-même ? Sont-ce des automorphismes ?
6) Existe-t-il des morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[√
2] dans Z[√ 3]?
Exercice 7 – [Anneau euclidien]
Soit (A,+,×) un anneau commutatif non réduit à {0}. L’anneau A est dit euclidien s’il existe une applicationf deA\ {0} dans N vérifiant :
(i) Si b|a, i.e. il existe c tel que a=bc, alorsf(b)6f(a);
(ii) Si (a, b) ∈ A×A\ {0}, il existe (q, r) ∈ A×A tel que a = bq+r avec r = 0 our 6= 0 etf(r)< f(b).
1) Donner des exemples d’anneaux euclidiens.
2) Prouver qu’un anneau euclidien est unitaire. Indication : utiliser le plus petit élément de f(A\ {0}).
3) Caractériser les éléments inversibles de A à l’aide de f.
