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Montrer que A et B commutent si, et seulement si, pour tout scalaire α , les matrices A − α I et B − α I commutent.

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Mai 2010

Soit A et B deux matrices de M

n

( ) K .

Montrer que A et B commutent si, et seulement si, pour tout scalaire α , les matrices A − α I et B − α I commutent.

Analyse

On procède directement par équivalence.

Résolution

On a facilement :

(

A−αI B

)(

−αI

)

=AB−αA−αB2I Et :

(

BαI A

)(

αI

)

=BAαBαA+α2I

Il vient donc :

( )( ) ( )( )

2 2

, A I et A I commutent

, A I B I B I A I

, AB A B I BA B A I

AB BA

A et B commutent

α α α

α α α α α

α α α α α α α

∀ ∈ − −

⇔ ∀ ∈ − − = − −

⇔ ∀ ∈ − − + = − − +

⇔ =

⇔ K K K

Résultat final

Pour toutes matrices A et B de

M

n

( )

K , on a : , A I et A I commutent A et B commutent

α α α

∀ ∈K − − ⇔

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