Universit´e Lille I L3 Maths
2011-2012 M-52
6 - CONNEXITE
Quizz Exercice 1
Les espaces suivants sont-ils connexes ? Connexes par arcs ? 1. unK-evn ;
2. une boule dans unK-evn ; 3. {(x, y)∈R2/ x6=y}.
Exercice 2
Soitf :R→Rune fonction continue. Son graphe Γf ={(x, f(x))/ x∈R} ⊂R2est-il connexe par arcs ?
Pour s’entraˆıner Exercice 3
Soitf : [a;b]→Cune fonction continue.
1. On suppose que ∀t ∈ [a;b], f(t)2 = 1. Montrer que f est ou bien constante ´egale `a 1, ou bien constante ´egale `a -1.
2. Que peut-on dire si∀t∈[a;b],eif(t)= 1 ?
Exercice 4
Montrer queR2\{x0}est connexe. En d´eduire, en raisonnant par l’absurde, queRn’est pas hom´eomorphe
` aR2.
Exercice 5
SoitE unK-evn de dimension au moins 2, on noteS la sph`ere de centre 0 et de rayon 1.
1. Soit x, y deux points de S, avecy 6=−x. Montrer queγ :t 7→ k(1−t)x+tyk(1−t)x+ty est un chemin continu reliantx`ay dansS.
2. En d´eduire queS est connexe par arcs.
Les essentiels Exercice 6
Montrer que les parties suivantes ne sont pas hom´eomorphes : 1. Ret R\ {x0};
2. le cercle C(0,1)⊂R2 et un intervalle deR.
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Exercice 7
Montrer queGLn(R) n’est pas connexe, mais queGLn(C) est connexe par arcs.
Exercice 8
On noteT ={0} ×[−1; 1]∪[−1; 1]× {0}, muni de la topologie induite parR2. 1. Montrer queT est compact et connexe.
2. Montrer que sif :T →Rest continue, alorsf(T) est un segment.
3. D´eterminer les pointsx∈T pour lesquelsT\ {x} est connexe.
4. Montrer queT n’est hom´eomorphe `a aucune partie de R.
Pour aller plus loin Exercice 9
SoitP une partie d´enombrable deR2. Montrer que le compl´ementaire deP est connexe par arcs.
Exercice 10
SoitO un ouvert d’unK-evnE.
1. Montrer que, pour toutx∈O,{y∈O/∃γ∈ C([0; 1], O), γ(0) =x, γ(1) =y} est un ouvert deE.
En d´eduire une partition deO en ouverts disjoints.
2. Montrer queO est connexe si et seulement siO est connexe par arcs.
Exercice 11 – Compacit´e et connexit´e
1. Montrer que dans unK-evn de dimension au moins 2, le compl´ementaire d’une boule est connexe.
2. Montrer que dans un K-evn de dimension infinie, le compl´ementaire d’un compact est connexe.
Est-ce vrai en dimension finie ?
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