• Aucun résultat trouvé

TD 10 : Fractions rationnelles : document compl´ementaire Pour

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "TD 10 : Fractions rationnelles : document compl´ementaire Pour"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN [email protected]

TD 10 : Fractions rationnelles : document compl´ementaire

Pour P/Q avec Q = (X − a)

n

Q

1

o` u n est entier grand, par exemple P

Q = 1

x

4

(x − 1)

2

on peut faire la division suivant les puissances d´ ecroissantes pour la d´ ecomposer en ´ el´ ements simples.

On divise 1 par (x − 1)

2

= 1 − 2x + x

2

suivant les puissances croissantes ` a l’ordre 4. C’est-` a-dire qu’on divise 1 par (x − 1)

2

jusqu’` a ce que le reste soit divisible par x

4

:

1 = (1 − 2x + x

2

) + 2x − x

2

= (1 − 2x + x

2

) + 2x(1 − 2x + x

2

) + 4x

2

− 2x

3

x

2

= (1 + 2x)(1 − 2x + x

2

) + 3x

2

− 2x

3

= (1 + 2x)(1 − 2x + x

2

) + 3x

2

(1 − 2x + x

2

) + 6x

3

− 3x

4

− 2x

3

= (1 + 2x + 3x

2

)(1 − 2x + x

2

) + 4x

3

− 3x

4

= (1 + 2x + 3x

2

)(1 − 2x + x

2

) + 4x

3

(1 − 2x + x

2

) + 8x

4

− 4x

5

− 3x

4

= (1 + 2x + 3x

2

+ 4x

3

)(1 − 2x + x

2

) + 5x

4

− 4x

5

. Donc on a :

1

x

4

(x − 1)

2

= 1 + 2x + 3x

2

+ 4x

3

x

4

+ 5 − 4x (x − 1)

2

= 1 x

4

+ 2

x

3

+ 3 x

2

+ 4

x + 1

(x − 1)

2

− 4 x − 1

Attention : Pour Q = (x − a)

n

Q

1

avec a 6= 0, il faut d’abord remplacer x par y + a et puis faire la division suivant les puissances d´ ecroissantes pour y.

Exercice D´ ecomposer

x

5

+ 3x

4

x

3

+ x

2

+ x − 1 x

4

(x + 1)(x − 1)

et 1

(x − 1)

4

(x

2

− 2x + 2).

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

Références

Documents relatifs

Il s'ensuit que deux polynômes f (x) et ç(.r), dont le premier est de degré /?, le second de degré m, sont.. Le produil de celle expression.. r ) est donc une fonction entière de jr,

Des intersections, des ponts diagonaux et des liaisons avec plus de deux lignes sont prohib´ ees. Reliez les ˆıles entre elles sous

(b) Dites ce qu’est un pangramme, et expliquez son utilit´ e dans l’´ elaboration d’une grille de chiffrement (genre Play fair ou Collon).. (c) Chiffrez

Comme tout polynôme non constant admet au moins une racine, une fraction rationnelle est un polynôme si et seulement si elle n'a aucun pôle..

Exercice 1 Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B dans les cas suivants : 1.. On se servira du résultat de

[r]

Si on multiplie tout par X , puis que l’on calcule la limite quand X tend vers +∞ de l’expression, on trouve la relation cherchée.. P Exercices

conformément à la formule de Leibniz. On en déduit immédiatement, puisque a n’est pas pôle de G, que les dérivées successives de F vont s’annuler en a jusqu’à l’ordre