Fractions rationnelles

Fractions rationnelles

Décomposition en éléments simples Exercice 1. Éléments de 1ère espèce

Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

1) 1

(x²−1)⁵ 2) (x²+ 1)²

(x−1)⁶ 3) x³+x+ 1

x⁴(x−1)³ 4) (x²−x+ 1)²

x²(x−1)² 5) x²

(x²−1)² 6) 1

(x²−1)ⁿ 7) 1 (x²+ 1)ⁿ

8) n!

(x+ 1). . .(x+n) Exercice 2. x²+ 1

Décomposer en éléments simples les fractions suivantes 1) x²

(x²+ 1)² 2) x

(x⁴−1)² 3) x

(x−1)(x²+ 1)² 4) x⁶

(x²+ 1)²(x+ 1)² 5) x⁶

(x²+ 1)(x−1)³ 6) x²ⁿ (x²+ 1)ⁿ Exercice 3. x²+x+ 1

Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

1) x

x⁴+x²+ 1 2) x⁴+ 1

x⁴+x²+ 1 3) x⁴+ 1

x²(x²+x+ 1)² 4) 3x⁵−5x⁴+ 4x²−11x+ 1 (x²+x+ 1)⁶ Exercice 4. autres éléments de 2ème espèce

Décomposer en éléments simples les fractions suivantes 1) x⁸

x⁶−1 2) 1

x⁴+ 1 3) x

x⁴+ 1 4) 1

x⁵+ 1 5) x²

x⁴−2x²cosα+ 1,α6≡0 (modπ)

6) 1

(x²+ 2x+ 1)(x³−1). Exercice 5. racines de l’unité

Décomposer en éléments simples les fractions suivantes 1) xⁿ+ 1

xⁿ−1 2) 1

xⁿ−1 3) nxⁿ⁻¹ xⁿ−1 4) d

dx

nxⁿ⁻¹ xⁿ−1

Exercice 6. polynômes de Tchebychev

Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

1) 1

cos(narccosx) 2)tan(narctanx) Exercice 7. Calcul de dérivées

Calculer les dérivéesp-èmes des fractions suivantes :

1) 1

X(X+ 1). . .(X+n). 2) 1

X²−2Xcosα+ 1 (α6≡0 (modπ)). 3) 1

X²−2Xshα−1 (α∈R).

Exercice 8. Sommation de séries

A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer : 1) P∞

n=1 1

n(n+ 1). 2) P∞

n=1 1

n(n+ 1)(n+ 2). 3)P∞

n=1 n

n⁴+n²+ 1. Exercice 9. Partie polaire pour un pôle d’ordre 2

SoitF(X) = 1

R(X) = 1

(X−a)²Q(X) avecQ(a)6= 0. Chercher la partie polaire de F ena en fonction deQpuis en fonction deR.

Exercice 10.

Soient a1, . . . , an ∈Kdistincts et P= (X−a1). . .(X−an).

1) Décomposer en éléments simples la fraction (1 +X²)ⁿ P² . 2) Montrer que les coefficients des 1

X−ai

sont tous nuls si et seulement si :

(1 +X²)P⁰⁰−2nXP⁰+n(n+ 1)P = 0.

Exercice 11. P à racines xi simples ⇒Px^k_i/P⁰(xi) = 0

SoitP ∈Cn[X] (n>2) ayantnracines distinctes : x1, . . . , xn. 1) Démontrer quePn

i=1 1 P⁰(x_i)= 0.

2) CalculerPn i=1

x^k_i

P⁰(x_i) pour 06k6n−1.

Exercice 12. Les racines deP⁰ sont des barycentres des racines de P

SoitP ∈C[X] de racinesx1, x2, . . . , xn avec les multiplicitésm1, m2, . . . , mn. 1) Décomposer en éléments simples P⁰

P .

2) En déduire que les racines deP⁰ sont dans l’enveloppe convexe dex₁, . . . , x_n. Exercice 13. F⁰(X)/F(X) =. . .

Soienta1, . . . , an ∈Kdistincts etα1, . . . , αn∈K. Existe-t-ilF ∈K(X) telle que : F⁰(X) F(X) =

n

X

k=1

α_k X−ak

?

Exercice 14. F(X+ 1)−F(X) =. . .

Trouver les fractionsF ∈R(X) telles que : F(X+ 1)−F(X) = X+ 3 X(X−1)(X+ 1). Exercice 15. Inversion de la matrice(1/(a_i−b_j))

Soienta₁, . . . , a_n, b₁, . . . , b_n, etcdes scalaires distincts. On noteAla matrice carrée de coefficient général 1/(a_i−b_j) et B la matrice colonne de coefficient général 1/(a_i−c). Montrer que l’équation AX =B possède une solution unique en considérant une fraction rationnelle bien choisie.

Exercice 16. Racines de(X²+ 1)P P⁰+X(P²+P⁰²) SoitP ∈R[X] ayantnracines distinctes, positives.

Factoriser le polynômeQ= (X²+1)P P⁰+X(P²+P⁰²) en deux termes, faire apparaître P⁰

P, et démontrer queQadmet au moins 2n−2 racines positives.

Exercice 17. Inégalité

SoitP ∈R[X] unitaire de degrénetQ(X) =X(X−1). . .(X−n).

Calculer

n

X

k=0

P(k) Y

i6=k

(k−i)

et en déduire l’existence dek∈[[0, n]] tel que|P(k)|> n!

2ⁿ.

Propriétés algébriques Exercice 18. Substitution de fractions

SoitF ∈K(X) non constante etP ∈K[X], P 6= 0.

1) Montrer queP◦F 6= 0.

2) Montrer que l’application :

K(X) −→ K(X)

est un morphisme injectif d’algèbre.

Exercice 19. Multiplicité des pôles

Soient F, G0, . . . , Gn−1∈K(X) telles queFⁿ+Gn−1Fⁿ⁻¹+. . .+G0= 0. Montrer que l’ensemble des pôles deF est inclus dans la réunion des ensembles des pôles desG_i.

Exercice 20. Ensemble image d’une fonction rationelle SoitF ∈C(X). ÉtudierF(C\ {pôles}).

Exercice 21. F◦Gest un polynôme

Trouver tous les couples (F, G)∈(C(X))²tels que F◦G∈C[X] (utiliser l’exercice20).

Exercice 22. Fractions invariantes

1) SoitF ∈C(X) telle que F(e^2iπ/nX) = F(X). Montrer qu’il existe une unique fraction G∈ C(X) telle queF(X) =G(Xⁿ).

2) Application : SimplifierPn−1 k=0

X+e^2ikπ/n X−e^2ikπ/n. Exercice 23. Fractions invariantes

SoitH ={F ∈K(X) tel queF(X) =F(1/X)}.

1) Montrer que : F ∈H ⇔ ∃G∈K(X) tel queF(X) =G(X+ 1/X).

2) Montrer queH est un sous-corps deK(X).

3) Que vaut dimH(K(X)) ? Donner une base deK(X) surH. Exercice 24. Formule de Taylor

SoitF ∈K(X) définie ena∈Ketn∈N. Démontrer que il existe une fractionG_n définie enatelle que :

F(X) =F(a) + (X−a)F⁰(a) +. . .+ (X−a)ⁿ⁻¹F⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

(n−1)! + (X−a)ⁿGn(X).

Exercice 25. Dérivée de1/(x²+ 1) SoitF = 1

X²+ 1. Montrer qu’il existe un polynômeP_n∈Zn[X] tel queF⁽ⁿ⁾= Pn

(X²+ 1)ⁿ. Montrer que les racines deP_n sont réelles et simples.

Exercice 26. Fractions de degré négatif

SoitA={F ∈K(X) tels que degF 60}. Démontrer queAest une sous-algèbre deK(X). Chercher ses idéaux.

solutions

Exercice 1.

1) 1/32

(x−1)⁵− 5/64

(x−1)⁴+ 15/128

(x−1)³−35/256

(x−1)²+35/256

x−1 − 1/32

(x+ 1)⁵− 5/64

(x+ 1)⁴− 15/128

(x+ 1)³− 35/256

(x+ 1)²−35/256 x+ 1 2) 4

(x−1)⁶ + 8

(x−1)⁵+ 8

(x−1)⁴ + 4

(x−1)³+ 1 (x−1)² 3) −1

x⁴ − 4 x³− 9

x²−17

x + 3

(x−1)³ − 8

(x−1)² + 17 x−1 4) 1 + 1

x²+ 1 (x−1)² 5) 1/4

(x−1)² + 1/4

x−1+ 1/4

(x+ 1)² − 1/4 x+ 1 6) Pn−1

k=0

n+k−1 k

2^n+k

(−1)^k

(x−1)^n−k + (−1)ⁿ (x+ 1)^n−k

7) Pn−1 k=0

(−1)^{n n+k−1}_k 2^n+k

i^n+k

(x−i)^n−k + (−i)^n+k (x+i)^n−k

8) Pn k=1

(−1)^k−1k ⁿ_k x+k Exercice 2.

1) −1

(x²+ 1)² + 1 x²+ 1 2) 1/16

(x−1)² − 1/8

x−1− 1/16

(x+ 1)² − 1/8

x+ 1 + x/4

(x²+ 1)² + x/4 x²+ 1 3) 1/4

x−1 + 1−x

2(x²+ 1)²− x+ 1 4(x²+ 1) 4) 1 + 1/4

(x+ 1)² − 1

x+ 1 + x/2

(x²+ 1)² −x+ 1/4 x²+ 1 5) x+ 3 + x−1

4(x²+ 1)+ 1/2

(x−1)³ + 5/2

(x−1)⁵ + 19/4 x−1 6) Pn

k=0

(−1)^{k n}_k (x²+ 1)^k Exercice 3.

1) 1/2

x²−x+ 1− 1/2 x²+x+ 1 2) 1 + x/2

x²+x+ 1 − x/2 x²−x+ 1 3) 1

x² −2

x− 1

(x²+x+ 1)² + 2x+ 2 x²+x+ 1 4) − 23x+ 6

(x²+x+ 1)⁶ + 13x+ 18

(x²+x+ 1)⁵ + 3x−11 (x²+x+ 1)⁴

Exercice 4.

1) x²+ 1 6

1

x−1 − 1

x+ 1 + 2x+ 1

x²+x+ 1 − 2x−1 x²−x+ 1

2) 1 2√

2

x+√ 2 x²+x√

2 + 1 − x−√ 2 x²−x√

2 + 1

3) 1 2√

2

1 x²−x√

2 + 1 − 1

x²+x√ 2 + 1

4) 1 5

1

x+ 1− αx−2

x²−αx+ 1 − βx−2 x²−βx+ 1

avecα=1 +√ 5

2 etβ= 1−√ 5 2 .

5) 1

4 cos(α/2)

x

x²−2xcos(α/2) + 1 − x

x²+ 2xcos(α/2) + 1

6) −1/2

(x+ 1)² +−3/4

x+ 1+ 1/12

x−1+ 1/3

x−j + 1/3

x−j² = −1/2

(x+ 1)²+−3/4

x+ 1 + 1/12

x−1 + 2x+ 1 3(x²+x+ 1). Exercice 5.

1) 1 + 2Pn−1

k=0 ω^k

n(x−ω^k),ω=e^2iπ/n 2) P

2k6=n

2xcosαk−2

n(x²−2xcosαk+ 1)+ 1

n(x−1)−(npair ?)

n(x+ 1) ,αk= 2kπ/n 3) Pn−1

k=0 1

x−ω^k,ω=e^2iπ/n 4) Pn−1

k=0 −1

(x−ω^k)²,ω=e^2iπ/n Exercice 6.

1) 1 n

Pn−1

k=0

(−1)^ksinβ_k x−cosβ_k

,βk= (2k+ 1)π/2n

2) 1 n

P

2k6=n−1 1

cos²βk(tanβk−x)

+ (npair ?)x

n,βk = (2k+ 1)π/2n Exercice 7.

1) Pn k=0

(−1)^k+pp!

k! (n−k)! (X+k)^p+1.

2) (−1)^pp!

2isinα

1

(X−e^iα)^p+1 − 1 (X−e^−iα)^p+1

= Pp

k=0 p+1

k

p! (−1)^ksin(p+ 1−k)α sinα X^k (X²−2Xcosα+ 1)^p+1 .

3) P

kpair p+1

k

p! (−1)^p+1shkα

chαX^p+1−k+P

kimpair p+1

k

p! (−1)^pchkα

chαX^p+1−k

(X²−2Xshα−1)^p+1 .

Exercice 8.

1) 1.

2) 1/4.

3) 1/2.

Exercice 9.

1

Q(a)(X−a)² − Q⁰(a)

Q²(a)(X−a) = 2

R⁰⁰(a)(X−a)² − 2R⁰⁰⁰(a) 3R⁰⁰²(a)(X−a). Exercice 10.

1) Pn i=1

(1 +a²_i)ⁿ

P⁰²(ai)(X−ai)² +2nai−P⁰⁰(ai)(1 +a²_i)/P⁰(ai) P⁰²(ai)(X−ai)

. Exercice 11.

1) Décomposer 1/P en éléments simples, et prendrex→ ∞.

2) Idem avecX^k/P ⇒P= 0 si 06k < n−1, 1 sik=n−1.

Exercice 12.

1) P⁰ =Pn i=1

miP

X−x_i ⇒ P⁰ P =Pn

i=1

mi

X−x_i. 2) P⁰(z) = 0⇔Pn

i=1mi z−xi

|z−xi|² = 0⇔z= Bar(xi, mi/|z−xi|²).

Exercice 14.

F(X+ 1)−F(X) = 2 X−1− 3

X + 1

X+ 1 ⇒F(X) = 1 X − 2

X−1 + cste.

Exercice 15.

F =Pn j=1

xj

X−bj

− 1 X−c =λ

Q(X−a_i) (X−c)Q

(X−bj) oùλ=−Qc−bi

c−ai

. Exercice 16.

Q= (XP+P⁰)(XP⁰+P) =XP²

X+P⁰ P

1 X +P⁰

P

. P⁰

P =P 1 X−ai

, donc les expressions : x+P⁰(x) P(x) et 1

x+P⁰(x)

P(x) changent de signe entreai et ai+1. Cela fait au moins 2n−3 racines distinctes (2n−2 si 1 n’est pas racine), plus encore une racine pour

1

x+P⁰(x)

P(x) entre 0 eta1. Exercice 17.

P Q =Pn

k=0

P(k) (X−k)Q

i6=k(k−i) doncPn k=0

P(k) Q

i6=k(k−i) = lim_x→∞xP(x) Q(x) = 1.

Si l’on suppose |P(k)| < n!

2ⁿ pour tout k∈[[0, n]] alors

Pn k=0

P(k) Q

i6=k(k−i)

< 1 2ⁿ

Pn

k=0 n!

k! (n−k)= 1, contradiction.

Exercice 18.

3) ssi∃G∈K(X) tel que G◦F =X ⇒P◦F =X(Q◦F). F = A

B, A∧B = 1⇒A|(p0−Xq0) et B|(pn−Xqn)⇒F est homographique.

4) F=ϕ(X).

Exercice 20.

F = P

Q. SiP =λQ: ImF ={λ}. SiP =λQ+µ: ImF =C\ {λ}. Sinon, ImF =C. Exercice 21.

1) G= cste.

2) F a un seul pôlea⇒F = P

(X−a)^k etG=a+ 1

Q avec degP6k.

3) F∈C[X]⇒G∈C[X].

Exercice 22.

2) n Xⁿ+ 1 Xⁿ−1. Exercice 23.

1) ⇒P(X)

Q(X)= P(1/X)

Q(1/X) = P(X) +P(1/X) Q(X) +Q(1/X). Exercice 26.

I_k={F tels que degF6−k}.