2 Les fractions rationnelles 2.1 Définition:
On appelle fraction rationnelle une expression de la forme P x dans laquelle P(x) et Q x
( ) ( ) Q(x) sont des polynômes et où Q(x)≠0.
Une fraction rationnelle n’est pas définie pour les valeurs des variables qui annulent son dénominateur. L’utilisation d’une fraction rationnelle exige que l’on précise ses restrictions ou ses conditions d’existence.
Détermine les restrictions, s’il y a lieu.
+
− +
−
−
−
+ + +
2
2
2 2
3 45
#1
6
3 4
#2 5
#3 4
# 4 3x 5
#5 3
9
#6 3
3 5 15
exemple x
x exemple x
x
exemple
x
exemple
x x
exemple
x exemple y
xy y x
2.2 simplification de fractions rationnelles
Simplifier une fraction rationnelle consiste à éliminer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
= × =
×
− = − =
− + − +
+ +
= =
+ + + + +
+ − + + + −
= =
+ +
2 2
2
2 2
15 5 3 3
#1
35 5 7 7
3 3
#2
9 3 3 3
1 1
1 1
#3
3 2 2 1 2
4 16 4 4 4 4 1
#4
2 16 2 8 2
exemple
x x x x x
exemple
x x x x
x x exemple
x x x x x
x x x
exemple
x x x x
Exercices: p210 #1 à 9 et 14
2.3 addition et soustraction de fractions rationnelles
L’algorithme général de l’addition ou de la soustraction de fractions est:
a c ad bc b d bd
+ = +
Exemples
3 1 9 4 13
4 3 12 12
3 4 21 20 41
5 7 35 35
7 5 42 45 3 1
9 6 54 54 18
+ = + =
+ = + =
− − −
− = = =
Pour les fractions rationnelles nous aurons:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x R x P x S x Q x R x Q x S x Q x S x
+ = +
Exemples
( )
+ = + = +
− = −
− − 1) 5
2 3 6
1 2 2
2)
2 3 4 3
3) 2 2
2 3
2 3 2 3
a a a b a a b ab
m m m mn
n n
a y x
a a ay ax
En effectuant les calculs selon la même technique, détermine la somme ou la différence.
( + − ) ( − )
+ − − = = + − + = +
+ + − =
+ + − =
− + =
− =
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
− =
− −
+ − + =
− −
+ + + =
− −
+ − + =
− −
4 1 3 1
1 1 4 4 3 3 7
1) 3 4 12 12 12
2 1 3 2
2) 4 5
1 3 5
3) 3 2
5 3 5
4) 3 2
1 2
5) 1 1
1 3
6) 2 1 2
4 6
7) 2 5 3 2
4 6
8) 3 3
1 2
9) 1 3
2 1 2
10) 3 1 3
2 3 4 2
11) 5 1 10 3
x x
x x x x x
x x
n n
a a
x x
a a
n n
x x
a a
a a
b a
b a
x x
x x
Ce n’est généralement pas une bonne idée d’effectuer la multiplication des binômes au dénominateur. La plupart du temps, il est plus avantageux de laisser le dénominateur sous la forme d’un produit, parce qu’ainsi, on peut plus facilement effectuer d’autres simplifications par la suite.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
+ − −
+ − − = = + − + = +
+ + −
+ + − = = + + − = −
+ + −
+ + − = = + + − = −
− +
+ − − −
− = = =
− − +
− =
+ − − +
4 1 3 1
1 1 4 4 3 3 7
1) 3 4 12 12 12
5 2 1 4 3 2
2 1 3 2 10 5 12 8 22 3
2) 4 5 20 20 20
2 1 3 3 5
1 3 5 2 2 9 15 11 13
3) 3 2 6 6 6
10 3 3 5
5 3 5 10 9 15 15
4) 3 2 6 6 6
1 1 2 1
1 2
5) 1 1 1 1
x x
x x x x x
x x
x x x x x
n n
n n n n n
a a
a a a a a
x x
x x x x ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
− − − − −
= =
− + − +
− + + − + + +
+ == = =
+ − + − + − + −
− − + − − − −
− = = =
+ − + − + − + −
− − − − − +
− = = =
− − − − − −
1 2 2 3
1 1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 2 6 3 7 1
6) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
4 3 2 6 2 5
4 6 12 8 12 30 38
7) 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2
4 3 6 3
4 6 4 12 18 6 10
8) 3 3 3 3 3 3
x x x
x x x x
a a a a a
a a a a a a a a
n n n n
n n n n n n n n
x x x x x
x x x x x x ( )( )
( )
( )( )
− =
− −
= − =
− − −
30
3 3
10 3 10
3 3 3
x x x
x x x
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − + − +
+ + + = =
− − − −
− + − + + − −
= =
− −
= −
− −
+ − − − +
+ − + = =
− − − −
2 1 3 3 1 2
2 1 2
10) 3 1 3 3 1 3
2 6 3 3 6 2
3 1 3
5 5
3 1 3
2 3 10 3 5 1 4 2
2 3 4 2
11) 5 1 10 3 5 1 10 3
b a b a
b a
b a b a
ab b a ab b a
b a
ab
b a
x x x x
x x
x x x x
( ) ( )
( )( )
( )( )
− + − − + − −
= =
− −
= −
− −
2 2
20 6 30 9 20 10 4 2
5 1 10 3
18 7
5 1 10 3
x x x x x x
x x
x
x x
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
7 2 1 3
7 1 7 1 17
1) 12 8 4 3 4 2 4 3 2 24
5 7
2) 3 5 21 3 3) 4 2
1 1
4) 2
1 1
5) 2 4
2 1
6) 1 1
2 2 1
7) 1 1
1 3
8) 2 1 4 3
2 3
9) 3 4 3 2
× + ×
+ = + = =
× × × ×
+ = + = + + − = + − − = + + = + +
− + + = +
− + − + = + + + +
− − −
− + + + x x
ab a
x x
x x
b b
ab ab
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
La technique du plus petit dénominateur commun s’applique également à l’addition et à la soustraction de fractions rationnelles.
Exemples:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
× + ×
+ = + = =
× × × ×
+ = + =
+ +
+ = + = =
×
+ + −
+ − +
+ = =
+ − −
+ − +
− = =
+ + + +
+ = =
+ + + +
2 2 2
7 2 1 3
7 1 7 1 17
1)12 8 4 3 4 2 4 3 2 24
5 7 25 21 46
2)3 5 15 15
21 3 2
21 3 21 3 21 6
3)4 2 2 2 2 4 4
2 1 1
1 1 3 1
4) 2 2 2
2 1 1
1 1 3
5) 2 4 4 4
2 1 2 1 1
6) 1 1 1 1
x x x x
b b
ab a ab a ab ab
x x
x x x
x x x x
b b
b b b
ab ab ab ab
x x x x x
x x x x
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
= +
− + + −
− + + = − + + = =
− + + − + + −
− + − + − −
= =
+ − + −
+ + − + +
+ − + = + − + = =
+ + + + + + + + + + +
−
2
2 2
2 2
2
1
2 2 1 1
2 2 1 2 2 1
7) 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 2 3
1 1 1 1
1 3 3 1
1 3 1 3
8) 0
2 1 4 3 1 1 3 1 1 1 3
9) 2
x
x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x
x
x
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
− − −
− = −
− + + + − + + +
− + + − − − +
= − + + +
+ + − − − − − + −
=
2 2
2 2
2
3 2 2 3 2
3 2 3
3 4 3 2 3 4 2 1
2 3 2 3 3 4
3 4 2 1
3 2 2 6 4 3 4
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
( ) ( )( )
( ) ( )( )
+ −
− + + +
− +
= − + + +
2 2
2 2
3 9 12
3 4 2 1
7 17 8
3 4 2 1
x x
x x x x
x x
x x x x
2.4 multiplication et division de fractions rationnelles
Pour multiplier deux fractions rationnelles, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs après avoir simplifié.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x R x P x R x Q x S x Q x S x
× = ×
×
Pour diviser deux fractions rationnelles, on multiplie la première par l’inverse de la seconde.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x R x P x S x P x S x Q x S x Q x R x Q x R x
÷ = × = ×
×
Exemples:
Avant d’effectuer la multiplication, si c’est possible, on factorise et on simplifie les facteurs qui peuvent l’être.
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
− × = − × =
− −
− + +
− − ÷ + = − − × + = × =
− + − + − + +
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3
1) 16 3 16 3 16
3 1 3
2 3 2 3 3
2) 1
9 3 9 3 3 1
a a a a a a a
a a
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
Exercices: page 222 #1 à 3 et 5 page 227 #16, 20 et 32 page 230 capsule
Feuilles: Opérations sur les fractions rationnelles
