Fractions rationnelles

Fractions rationnelles

Rédaction incomplète. Version 0.4

Plan

I. Dénitions . . . . 1

1. Dénition axiomatique . . . . 1

2. Propriétés . . . . 1

3. Exercice traité en classe . . . . 3

II. Étude locale - Décompositions . . . . 3

1. Parties polaires . . . . 3

2. Partie entière . . . . 4

3. Décomposition en éléments simples. . . . 4

4. Décomposition en éléments simples réels . . . . 5

III. Démonstrations . . . . 5

1. Supertildation . . . . 5

2. Parties polaires (algorithmique) . . . . 5

3. Partie entière . . . . 6

4. Parties polaires (arithmétique) . . . . 7

IV. Pratique - Compléments . . . . 7

1. Développements classiques . . . . 7

2. Méthode générale . . . . 7

3. Exemples de symétries . . . . 7

4. Calculer les coecients faciles . . . . 7

5. Former de nouvelles relations . . . . 7

6. Cas d'une multiplicité élevée . . . . 7

7. Éléments simples de deuxième espèce . . . . 7

Index

éléments simples, 4

éléments simples réels (deuxième espèce), 5 équation de Bezout, 7

astuce de la dérivée, 7 coecient facile, 4

corps des fractions d'un anneau intègre, 1 dérivée d'une fraction rationnelle, 3

dérivée du dénominateur pour un pôle simple, 7 degré d'une fraction rationnelle, 1

fonction rationnelle, 2

forme irréductible d'une fraction rationnelle, 1 pôle d'une fraction rationnelle, 2

partie entière d'une fraction rationnelle, 4 partie polaire d'une fraction rationnelle, 3 réprésentants d'une fraction, 1

résidu, 4

supertildation, 5

valuation d'une fraction rationnelle, 2 zéro d'une fraction rationnelle, 2

La partie du programme intitulée Polynômes et fractions rationnelles est présentée dans trois documents distincts Polynômes, Arithmétique polynomiale et Fractions rationnelles (ce document) .

Sauf mention explicite, toutes les fractions rationnelles sont à coecients complexes.

I. Dénitions

1. Dénition axiomatique

Le corps noté K est R ou C. Il existe un ensemble noté K(X ) appelé corps des fractions rationnelles à coecients dans K et vériant une présentation axiomatique.

Présentation axiomatique.

c'est plus gros que : K[X ] est un sous-anneau de K(X ) .

c'est bien : K(X) est un corps.

c'est pas trop gros : pour tout F ∈ K(X ) il existe A et B dans K[X ] , le polynôme B étant non nul tels que

F = AB

on notera F = A B

Comme d'habitude, on ne cherchera pas à construire K(X) c'est à dire à fabriquer un objet mathématique vériant ces propriétés.

D'après le premier axiome, tout polynôme est une fraction rationnelle et tout polynôme non nul est inversible dans K(X ) . Le corps K(X) doit contenir toutes les fractions

. Le troisième axiome indique justement qu'il ne contient que celles là.

Les règles de calcul usuelles (y compris les manipulations de fractions) sont valables dans un corps. On notera en particulier

A

B

= A

B

⇔ A

B

− A

B

= 0 ⇔ A

B

− B

A

B

B

= 0 ⇔ A

B

− B

A

= 0

Lorsque F =

avec A et B deux polynômes ( B non nul), on dit que (A, B) est un représentant de la fraction

2. Propriétés

Proposition (Forme irréductible d'une fraction rationnelle.). Pour toute F ∈ K(X) non nulle, il existe des polynômes non nuls et premiers entre eux A , B tels que F =

. On dit que (A, B) est un couple représentant irréductible de F . Tout autre couple représentant irréductible est de la forme (λA,

B ) avec λ ∈ K

.

Preuve. Soit (A

, B

) un couple représentant F et D = A

∧ B

. Il existe alors A et B premiers entre eux tels que A0 = DA , B

= DB . Alors :

F = A

B

= DA DB = A

B .

Si

et

sont deux représentants irréductibles d'une même fraction, alors AB

= A

B . Par le théorème de Gauss, A ∧ B = 1 entraine A divise A

et A

∧ B

= 1 entraine A

divise A . Les polynômes A et A

se divisent mutuellement donc ils sont égaux à la multiplication près par un élément non nul du corps.

Proposition (Dénition du degré.). Soit F ∈ K(X) . Pour tous les couples (A, B) représentant la fraction F , la valeur de deg(A) − deg(B) est la même. Cette valeur commune est appelée le degré de la fraction F .

Preuve. Soit (A

, B

) et (A

, B

) deux couples représentant la fraction. Alors A

B

− B

A

= 0 ⇒ A

B

= B

A

⇒ deg(A

) + deg(B

) = deg(B

) + deg(A

)

⇒ deg(A

) − deg(B

) = deg(A

) − deg(B

)

Remarque. La fraction

est de degré 0 . Il est inutile de prendre la forme irréductible pour évaluer le degré d'une fraction.

Dénition (Dénition de la valuation en X − a ). Soit F ∈ K(X ) non nulle et a ∈ K . Il existe m ∈ Z et A , B dans K[X ] non nuls tels que F = (X − a)

avec A(a) e 6= 0 et B(a) e 6= 0 . Cet entier m est appelé la valuation de F en X − a , il est noté v

(F ) .

Proposition. Soit F et G dans K(X) non nulles et a ∈ K .

deg(F G) = deg(F) + deg(G) deg(F + G) ≤ max(deg(F ), deg(G)) ( égalité si deg(F ) 6= deg(G)) . v

(F G) = v

(F) + v

(G) v

(F + G) ≥ min(v

(F), v

(G)) ( égalité si v

(F ) 6= v

(G))) . Preuve. Introduisons A

, B

, A

, B

dans C [X ] avec B

, B

6= 0 tels que F =

F

, G =

G

. F G = A

A

B

B

⇒ deg(F G) = deg(A

A

) − deg(B

B

)

= deg(A

) − deg(B

) + deg(A

) − deg(B

) = deg(F) + deg(G).

F + G = A

B

+ B

A

B

B

⇒ deg(F + G) = deg(A

B

+ B

A

) − deg(B

B

)

≤ max (deg(A

B

), deg(B

A

)) − deg(B

B

)

= max (deg(A

B

) − deg(B

B

), deg(B

A

) − deg(B

B

))

= max (deg(A

) − deg(B

), deg(A

) − deg(B

)) = max (deg(F ), deg(G)) L'égalité avec le max des degrés se produit lorsque

deg(A

B

) = deg(B

A

) ⇔ deg(A

) − deg(B

) = deg(A

) − deg(B

) ⇔ deg(F ) = deg(G).

Pour la valuation en a , introduisons F

et G

dans C (X ) pour lesquelles a n'est ni un pôle ni un zéro telles que F = (X − a)

F

, G = (X − a)

G

.

Alors F G = (X − a)

F

G

où a n'est ni un pôle ni un zéro de F

G

donc v

(F G) = v

(F ) + v

(G) . Supposons v

(F ) ≤ v

(G) ( F et G jouent des rôles symétriques).

F + G = (X − a)



F

+ (X − a)

G

| {z }

=H





Comme a n'est un pôle ni de F

ni de G

, il n'est pas non plus un pôle de H donc v

(F + G) ≥ v

(F ) ≥ min(v

(F), v

(G)).

Si v

(F ) < v

(G) alors v

(G) − v

(F ) > 0 donc H(a) = e f F

(a) 6= 0 donc v

(F + G) = v

(F ) = min(v

(F ), v

(G)) .

Dénition (Pôle, zéro, multiplicité). Soit F ∈ K(X) non nulle et a ∈ K .

On dit que a est un zéro de F si et seulement si v

(F ) > 0 . La multiplicité de a comme zéro de F est alors v

(F) . On dit que a est un pôle de F si et seulement si v

(F) < 0 . La multiplicité de a comme zéro de F est alors −v

(F) .

Si F ∈ C (X) et a ∈ C n'est pas un pôle de F , on peut substituer a à X dans F .

Dénition (fonction rationnelle). Soit F =

∈ C (X ) avec A, B ∈ C [X ] , B 6= 0 et P l'ensemble des pôles de F . La fonction rationnelle attachée à F est la fonction de C \ P dans C notée F e dénie par :

∀a ∈ C \ P , F(a) = e A(a) e B(a) e .

Remarque. Dans n'importe quelle F ∈ K(X) , on peut substituer à X n'importe quelle G ∈ K(X ) . La fraction obtenue est notée F(G) b ou F ◦ G .

F = X + 1

X

− 1 , G = 1 X , F b ( 1

X ) = (1 + X)X 1 − X

.

3. Exercice traité en classe

On veut étendre l'opérateur de dérivation de K[X] à K(X) par :

∀(A, B) ∈ K[X ]

, B 6= 0 , A

B

= A

B − AB

B

.

1. Montrer que

=

2

⇒

A1

B1

=

A2

B2

.

Justier que l'on a bien déni une fonction de dérivation sur l'ensemble des fractions rationnelles.

2. Vérier les formules suivantes

∀(F, G) ∈ K(X )

, (F + G)

= F

+ G

, (F G)

= F

G + F G

. On vérie aussi la formule de Leibniz.

3. Étude du degré de la dérivée.

a. Montrer que si F est une fraction rationnelle de degré non nul alors deg(F

) = deg(F) − 1 .

b. Montrer que si F est une fraction rationnelle de degré 0 qui n'est pas un complexe, alors deg(F

) ≤ 2 . c. Montrer qu'une fraction de degré −1 n'est pas la dérivée d'une fraction rationnelle.

Détaillons seulement une preuve du premier point. Notons

T = A

B

− B

A

, M = (A

B

− A

B

)B

− (A

B

− A

B

)B

. Il s'agit de montrer que T = 0 ⇒ M = 0 . Supposons T = 0 et réarrangeons M .

M = (A

B

)(B

B

) − (A

B

)

| {z }

=B₁A₂

(B

B

) − (B

A

)(B

B

) + (B

A

)

| {z }

=A₁B₂

(B

B

)

= (B

B

) (A

B

− A

B

− B

A

+ A

B

) = (B

B

)M

= 0.

II. Étude locale - Décompositions

Le corps de base est C. Comme tout polynôme non constant admet au moins une racine, une fraction rationnelle est un polynôme si et seulement si elle n'a aucun pôle.

1. Parties polaires

La partie polaire en a d'une fraction rationnelle dont a est un pôle est une fraction rationnelle qui concentre tout ce qui fait que a est un pôle.

Proposition (Existence et unicité des parties polaires). Soit F ∈ C (X), F 6= 0 et a un de ses pôles de multiplicité m . Il existe une unique fraction rationnelle notée Π

(appelée partie polaire en a ) telle que :

a est le seul pôle de Π

sa multiplicité est m, deg(Π

) < 0, a n'est pas un pôle de F − Π

Il existe des nombres complexes λ

, · · · λ

tels que Π

= λ

(X − a)

+ λ

(X − a)

+ · · · + λ

(X − a)

+ · · · + λ

(X − a) . Preuve. Cette proposition est démontrée en III.2..

Remarques. Si a n'est pas un pôle de F , sa partie polaire est nulle.

J'appelle λ

le coecient facile (attention cette dénomination n'est pas utilisée en dehors de la classe).

Le coecient λ

est appelé résidu (dénomination universelle). En général c'est le plus dicile à calculer.

Dénition. Un éléments simple (de première espèce) est une fraction rationnelle de la forme λ

(X − a)

où λ ∈ C , a ∈ C , m ∈ N

.

2. Partie entière

Proposition. Soit F ∈ C (X ), F 6= 0 . Il existe un unique polynôme noté Π

(appelée partie entière) tel que deg(F − Π

) < 0

De plus, Π

est le quotient de la division euclidienne du numérateur de F par son dénominateur. Il est nul lorsque deg(F ) < 0 , sinon son degré est égal à celui de F .

Preuve. Cette proposition est démontrée en III.3..

La partie entière (privée de son terme de degré 0 ) peut être regardée comme une partie polaire en l'inni.

En eet elle rassemble tout ce qui diverge à l'inni comme la partie polaire en a rassemble tout ce qui

diverge en a .

3. Décomposition en éléments simples

Proposition. Toute fraction rationnelle est la somme de sa partie entière et de ses parties polaires.

Preuve. Notons G la somme des parties polaires et de la partie entière de F et H = F − G . Pour tout pôle a , H = (F − Π

) + R

où R

est la somme des parties polaires pour les pôles autres que a (y compris ∞ ). D'après les propriétés des parties polaires, a n'est un pôle ni de F − Π

ni de R

. Comme ceci est valable pour tous les pôles de F et que les autres nombres complexes ne sont évidemment pas non plus des pôles, on en déduit que H n'admet aucun pôle.

Si H est non nulle, elle ne peut être qu'un polynôme. Mais ceci aussi lui est refusé. en eet : H = (F − Π

) + R

D'après la dénition de la partie entière et des parties polaires, F − Π

et R

sont des fractions rationnelles de degré strictement négatif. Leur somme ne peut être un polynôme que si celui ci est nul.

Toute fraction est la somme d'un polynôme et d'éléments simples. Soit F ∈ C (X), F 6= 0 . Ses pôles sont a

, · · · , a

avec les multiplicités m

, · · · m

. Alors

F = Π

+ λ

(X − a

)

+ λ

(X − a

)

+ · · · + λ

(X − a

) + λ

(X − a

)

+ λ

(X − a

)

+ · · · + λ

(X − a

) + · · ·

+ λ

(X − a

)

+ λ

(X − a

)

+ · · · + λ

(X − a

) . où les λ

∈ C.

4. Décomposition en éléments simples réels

Dénition. Un éléments simple réel de deuxième espèce est une fraction rationnelle de la forme uX + v

A

avec u ∈ R , v ∈ R , A ∈ R [X] de degré 2 sans racine réelle , m ∈ N

.

Proposition. Soit F ∈ R (X ), F 6= 0 , soit a

, · · · , a

ses pôles réels de multiplicités m

, · · · , m

, soit z

, · · · , z

ses pôles complexes non réels de multiplicités n

, · · · , n

. Alors

F = Π

+

λ

(X − a

)

+ · · · + λ

(X − a

)

+ · · · +

λ

(X − a

)

+ · · · + λ

(X − a

)

+

u

+ v

X

(X

− 2 Re(z

)X + |z

|)

+ · · · + u

+ v

X (X

− 2 Re(z

)X + |z

|)

+ · · · +

u

+ v

X

(X

− 2 Re(z

)X + |z

|)

+ · · · + u

+ v

X (X

− 2 Re(z

)X + |z

|)

.

avec les λ

, u

, v

réels.

Preuve. On peut démontrer ce résultat en commençant par regrouper les éléments simples complexes conjugués ou par une voie plus arithmétique. Cette démonstration n'est pas détaillée ici. Ce résultat est admis.

III. Démonstrations

1. Supertildation

Soit a un pôle de multiplicité m d'une fraction rationnelle F . On ne peut pas prendre la valeur de F en a mais

il est possible de dénir une opération qui associe un complexe au triplet (F, a, m) . Il sut de multiplier F par

(X − a)

avant de substituer a à X car a n'est plus alors un pôle de la fraction obtenue. J'appelle supertildation cette opération

e e

F (a) = (X ^ − a)

F(a)

Attention, le m est la multiplicité du pôle a dans la fraction. Il dépend donc des deux à la fois. Cette supertildation est un outil fondamental aussi bien théorique que pratique de la décomposition des fractions de C (X) .

2. Parties polaires (algorithmique)

Soit a ∈ C un pôle de F de multiplicité m . Démontrons l'existence, l'unicité et la forme de la partie polaire relative à a par analyse-synthèse.

Analyse.

Supposons qu'il existe une fraction Π

vériant les conditions. Alors deg(Π

) < 0 et a est son seul pôle. Il existe donc Λ ∈ C [X] tel que

Π

= Λ

(X − a)

avec deg(Λ) ≤ m − 1 et Λ(a) e 6= 0.

En écrivant Λ à l'aide de la formule de Taylor en a puis en divisant par (X − a)

, on obtient la formule annoncée :

Λ = Λ(a) + e Λ e

(a)

1! (X − a) + · · · + Λ ^

(a)

(m − 1)! (X − a)

⇒ Π

= Λ(a) e

(X − a)

+ Λ e

(a)

1!(X − a)

+ · · · + Λ ^

(a) (m − 1)!(X − a)

= λ

(X − a)

+ λ

(X − a)

+ · · · + λ

(X − a)

+ · · · + λ

(X − a) . On peut remarquer que le coecient facile est λ

= Λ(a) e 6= 0 .

En fait, comme a n'est pas un pôle de F − Π

, on a λ

= F(a) e e . Posons alors

F

= F − λ

(X − a)

et montrons que la multiplicité de a comme pôle de F

est ≤ m − 1 .

Par dénition de la multiplicité, il existe A et B dans C [X ] tels que F =

avec A(a) e 6= 0 , B(a) e 6= 0 . Donc

λ

= A(a) e

B(a) e ⇒ F

= B(a)A e − A(a)B e

B(a)(X e − a)

B = (X − a)A

B(a)(X e − a)

B = A

B(a)(X e − a)

B

avec A

∈ C [X ] car a est clairement racine du numérateur. On en déduit que la multiplicité de a comme pôle de F

est inférieure ou égale à m − 1 .

On peut recommencer la supertildation.

λ

= f

f F

(a), F

= F

− λ

(X − a)

, multiplicité de a comme pôle de F

≤ m − 1 λ

= f

f F

(a), F

= F

− λ

(X − a)

, multiplicité de a comme pôle de F

≤ m − 3 ...

λ

= ^

F ^

(a), F

= F

− λ

(X − a) , multiplicité de a comme pôle de F

≤ 0 Cette suite de relations est justiée par le fait que la multiplicité de a comme pôle de F

décroît à chaque étape exactement comme pour la première.

1attention cette notation et ce vocabulaire sont spéciques à ce cours.

Synthèse.

Dénissons des complexes λ

par les relations précédentes.

λ

= F(a) e e 6= 0, F

= F − λ

(X − a)

, multiplicité de a comme pôle de F

≤ m − 1 λ

= f

f F

(a), F

= F

− λ

(X − a)

, multiplicité de a comme pôle de F

≤ m − 2 ...

λ

= F ^ ^

(a), F

= F

− λ

(X − a) , multiplicité de a comme pôle de F

≤ 0 et dénissons Π

par

Π

= λ

(X − a)

+ λ

(X − a)

+ · · · + λ

(X − a)

+ · · · + λ

(X − a) .

Alors deg(Π

) < 0 et a est bien le seul pôle de Π

. Sa multiplicité est m et a n'est pas un pôle de F − Π

= F

puisque la multiplicité de a comme pôle de F

est négative ou nulle.

Remarque. Cette méthode est un moyen pratique de calculer une décomposition en éléments simples.

3. Partie entière

Analyse.

Soit Π

∈ C [X ] tel que deg(F − Π

) < 0 . Il existe alors A et B dans C [X] , B 6= 0 tels que

F = A

B ⇒ F − Π

= A − BΠ

B . deg(F − Π

) < 0 ⇒ deg(A − BΠ

) < deg(B).

Si R = A − BΠ

, alors A = BΠ

+ R est la division euclidienne de A par B car deg(R) < deg(B) . On en déduit que Π

est le quotient de la division euclidienne de A par B ce qui assure l'unicité de la partie entière.

Synthèse.

Soit F =

, Π

le quotient de la division euclidienne de A par B et R son reste. Alors

F = BΠ

+ R

B = Π

+ R

B avec deg( R

B ) = deg(R) − deg(B) < 0.

Ce qui assure que Π

est la partie entière.

Remarque. La partie entière d'une fraction rationnelle se calcule en général par cette méthode comme le quotient dans la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

4. Parties polaires (arithmétique)

Démonstration de l'existence et de l'unicité de la partie polaire.

Preuve. La fraction F est de la forme F =

. D'après les conditions imposées, Π

doit être de la forme

U

(X−a)^m

avec U un polynôme de degré strictement inférieur à m tel que U e (a) 6= 0 . Alors, le reste R = F − Π

doit vérier

R = A

(X − a)

Q − U

(X − a)

= W (X − a)

Q

et (X − a)

doit diviser W car a n'est pas un pôle du reste. Il existe donc un polynôme V tel que A = U Q + V (X − a)

avec deg(U ) < m

On reconnait une équation de Bezout aux inconnues U et V avec Q et (X − a)

premiers entre eux car Q(a) e 6= 0 .

Elle admet un unique couple solution tel que deg(U ) < m = deg(X − a)

. Ceci démontre l'existence et l'unicité

de la partie polaire.

IV. Pratique - Compléments

1. Développements classiques

Décomposition de

.

Si les racines de P sont z

, · · · , z

avec les multiplicités m

, · · · , m

, P

P = m

X − z

+ · · · + m

X − z

.

2. Méthode générale

La fraction doit être donnée sous une forme factorisée. Tous les pôles et leurs multiplicités sont connus.

1. Écrire la décomposition avec des coecients indéterminés.

2. Exploiter l'unicité avec des symétries.

3. Calculer les coecients faciles

4. S'il reste des coecients à calculer, former de nouvelles relationset résoudre un système d'équations.

3. Exemples de symétries

4. Calculer les coecients faciles

Supertildation

Proposition (astuce de la dérivée). Si a est un pôle simple de F =

, le coecient dans la partie polaire de F en a est

Bf⁰(a)

.

5. Former de nouvelles relations

Multiplier par X et tilder à l'inni. Prendre une valeur qui n'est pas un pôle.

6. Cas d'une multiplicité élevée

Utilisation d'un développement limité.

7. Éléments simples de deuxième espèce

Supertider en un pôle complexe, les coecients sont réels.