Equations du second degré

SORBONNE UNIVERSITÉ FOS Sciences - Semestre 1

DU RESPE Année 2018-2019

Équations du second degré

1 Vocabulaire

• Une équation du second degréest une équation de degré 2.

• On peut toujours écrire une équation de degré 2 sous la forme : P(x) =ax²+bx+c= 0

ex : 2x²+ 3x= 7x−2 ⇔ 2x²−4x+ 2 = 0⇔x²−2x+ 1 = 0

• Résoudre une équation du second degré revient donc à trouver les racinesdu polynôme P(x) =ax²+bx+c

• Les racines du polynôme du second degré P(x) = ax²+bx+c sont les zéros de P. Ce sont les valeurs de x telles queP(x) = 0.

ex : Quelles sont les racines de P(x) = (x−1)²? De Q(x) = (x−2)(3−x)?

• Pour trouver les racines du polynôme P, on va calculer son discriminant, noté ∆.

∆ =b²−4ac

• On a trois cas possibles :

. Si ∆ = 0, alors il existe une unique racineque l’on note x₀ : x0 = −b

2a

. Si ∆>0, alors il existe deux racinesque l’on note x1 etx2 : x₁ = −b+√

∆

2a , x₂= −b−√

∆ 2a NB :Le cas où ∆ = 0 est un cas particulier de ∆>0...

•Si ∆<0, alors ... Que peut-on faire ? On ne peut pas définir √

∆... Pour ce cas, on introduit lenombre complexe itel quei=√

−1 !

Le nombre complexe ia été introduit par le mathématicien italien Rafael Bombelli au XVI^ème siècle. Grâce à ce nombre i, on peut définir tout un nouvel ensemble de nombres C, appelé l’ensemble des nombres complexes. On a l’inclusion suivante,très importante:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

On se penchera sur les nombres complexes au cours suivant...

. Si ∆<0, alors il existe deux solutions complexes z₁ etz₂ : z1 = −b+i^p|∆|

2a , z2 = −b−i^p|∆|

2a

Maurin Lise 1

SORBONNE UNIVERSITÉ FOS Sciences - Semestre 1

DU RESPE Année 2018-2019

Figure 1 – Différents cas possibles

NB :|∆|représente lavaleur absolue de ∆. Si ∆<0,|∆|=−∆. Si ∆≥0, |∆|= ∆.

• Une équation de degré 2 décrit une courbe dans le plan, appelée parabole.

• L’axe de symétrie de la parabole est défini par l’axe d’équationx= ^−b_2a.

•Sia >0, alors la parabole est convexe: elle est "tournée vers le haut". Sia <0, la parabole est concave: elle est "tournée vers le bas".

• Une parabole convexe admet un minimum, tandis qu’une parabole concave admet un maximum.

• On peut bien entendu représenter une parabole par sontableau de signe.

Maurin Lise 2

SORBONNE UNIVERSITÉ FOS Sciences - Semestre 1

DU RESPE Année 2018-2019

2 Exercice

Jean Le Rond d’Alembert

et le théorème fondamental de l’algèbre

Figure2 –"Il n’y a que la liberté d’agir, de penser, qui soit capable de produire de grandes choses."

D’Alembert, Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers (1751-1772)

Jean Le Rond D’Alembert est né orphelin le 16 novembre 1717 à Paris, où il est mort le 29 octobre 1783. Mathématicien, physicien, philosophe et homme de lettres, il fait partie des figures du siècle des Lumières. Entre 1751 et 1772, il dirige, aux côtés de Denis Diderot, l’élaboration d’un des plus grands ouvrages du XVII^ème siècle, L’Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers.

Jean Le Rond D’Alembert est connu pour avoir été le premier à résoudre l’équation différen- tielle qui régit la propagation des ondes sonores sur les cordes vibrantes : il se disputera avec Euler et Bernoulli à ce sujet. Il est l’auteur de la règle de d’Alembert sur la convergence des séries, du principe de d’Alembert sur la quantité de mouvement, etc...

Il est surtout connu en mathématiques pour lethéorème de d’Alembert, outhéorème fon- damental de l’algèbre. Il ne le démontrera pas rigoureusement, et c’est Karl Friedrich Gauss qui la terminera correctement.

[Théorème fondamental de l’algèbre]

Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

[Q1] :Que veux dire "polynôme non constant" ? Comment écrit-on un polynôme non constant ? [Q2] :Un polynôme non constant à coefficients réels est-il un polynôme non constant à coef- ficients complexes ?

[Q3] : Une racine complexe peut-elle être réelle ? Inversement, une racine réelle peut-elle être complexe ?

Maurin Lise 3

SORBONNE UNIVERSITÉ FOS Sciences - Semestre 1

DU RESPE Année 2018-2019

[Q4] : a) Écrire le polynôme de degré 2 associé à l’équation de degré 2 : (x−√

5)(x+√ 5) =√

2x b) Trouver les racines du polynôme.

[Q5] : a) Écrire le polynôme de degré 2 associé à l’équation de degré 2 : x²

3 = 2x−3 b) Trouver les racines du polynôme.

[Q6] : a) Écrire le polynôme de degré 2 associé à l’équation de degré 2 : 3(x²+ 1) = 2x(x+ 2)−4

b) Trouver les racines du polynôme.

[Q7] : a)Même question pourx²+ 1 = 0.

b)Même question pourx²+ 3 = 0.

c)Connaissez-vous le nom des nombres de la formey=ix où x∈R?

Maurin Lise 4