Montrer que s(X) s’identifie `a une fraction rationnelle qu’on explicitera

UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2011-2012 Examen du 10 janvier 2012

Dur´ee : 2h00. Tous documents interdits.

Barˆeme indicatif : 7 + 6 + 7 = 20 pts

1. S´eries formelles et s´eries num´eriques. On pose

s(X) =

∞

X

n=0

snXⁿ poursn=

((−1)^m sin= 2m (m∈N);

(−1)^m sin= 2m+ 1 (m∈N).

1.a. Montrer que s(X) s’identifie `a une fraction rationnelle qu’on explicitera.

Indication: On pourra ´ecrires(X) =a(X) +b(X) avec a(X) = X

m≥0

(−1)^mX^2m et b(X) = X

m≥0

(−1)^mX^2m+1,

et ´etudiera(X) etb(X) s´epar´ement.

1.b. D´eterminer la primitiveS(X) des(X) qui v´erifieS(0) = 0. Expliciter une fonction r´eelle dont le d´eveloppement de Taylor `a l’origine s’identifie `a S(X).

D´eduire de ce qui pr´ec`ede la somme de la s´erie num´erique

∞

X

n=0

s_n

n+ 1 = 1 +1 2 −1

3−1 4 +1

5 +1 6−1

7 −1 8 ± · · ·

= 1 + 1 2·3− 1

4·5 + 1 6·7− 1

8·9 ± · · ·.

1.c. Expliciter les coefficients du d´eveloppement en s´erie formelle de _1+X¹ 3. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie formelle P

n≥0

u_nXⁿ de la fraction ra- tionnelleu(X) = ^1−X+4X_1+X3 ².

1.d. D´ecomposer la fraction rationnelleu(X) de1.csous la forme u(X) = α

1 +X + β+γX 1−X+X²

avec des coefficients α, β, γ ∈ R `a d´eterminer. En d´eduire une primitive de u(X), puis la somme de la s´erie num´erique P

n≥0 u_n n+1.

2. Equations diff´erentielles du second ordre.

2.a. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) +y⁰(x)−6y(x) =xe^2x. 2.b. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→R : x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) + 4y(x) = 0.

2.c. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) + 4y(x) = cos(2x).

3. Exponentielle de matrice et ´equation diff´erentielle lin´eaire. On consid`ere la matriceA=





2 1 2

1 1 −1

2 −1 2



∈M₃(R).

3.a. D´eterminer les valeurs propres deA. En d´eduire une matrice de change- ment de baseP∈Gln(R) telle queP⁻¹AP soit diagonale.

3.b. CalculerP⁻¹.

3.c. Calculerexp(tA) pour t∈R.

3.d. Trouver l’unique fonction d´erivableφ:R→R³:t7→



 x(t) y(t) z(t)



qui v´erifie

φ(0) =



 1 1 1



 et







x⁰(t) = 2x(t) +y(t) + 2z(t) y⁰(t) =x(t) +y(t)−z(t) z⁰(t) = 2x(t)−y(t) + 2z(t).

Que peut-on dire de la trajectoiret7→φ(t) quandt→ ±∞?