On consid`ere la suite de nombres (sn)n≥0 d´efinie par la r`egle de r´ecurrence s0= 1, s1= 0, sn =1 2(sn−1+sn−2), n≥2

UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2010-2011 Examen du 14 d´ecembre 2010

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1. Suites r´ecurrentes et s´eries formelles. On consid`ere la suite de nombres (s<sub>n</sub>)<sub>n≥0</sub> d´efinie par la r`egle de r´ecurrence

s0= 1, s1= 0, sn =1

2(s_n−1+s_n−2), n≥2.

On poses(X) =P

n≥0snXⁿ∈C[[X]].

1.a. D´eterminer s_n pourn= 2,3,4,5,6.

1.b. Montrer ques(X) = _X2^X−2+X−2 dansC[[X]].

1.c. D´ecomposer _X2^X−2+X−2 en ´el´ements simples dansC[[X]].

1.d. En d´eduire une formule explicite pours_n, ainsi que la limite lim_n→∞s_n. 2. Equations diff´erentielles du second ordre.

2.a. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) +y⁰(x)−6y(x) =xe^−3x. 2.b. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→R : x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) + 4y(x) = 0.

2.c. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) + 4y(x) = sin(2x).

3. Exponentielle de matrice et ´equation diff´erentielle lin´eaire. On consid`ere la matriceA=





2 1 2

1 1 −1

2 −1 2



∈M₃(R).

3.a. D´eterminer les valeurs propres deA. En d´eduire une matrice de change- ment de baseP∈Gln(R) telle queP⁻¹AP soit diagonale.

3.b. CalculerP⁻1.

3.c. Calculerexp(tA) pour t∈R.

3.d. Trouver l’unique fonction d´erivableφ:R→R³:t7→



 x(t) y(t) z(t)



qui v´erifie

φ(0) =



 1 1 1



 et







x⁰(t) = 2x(t) +y(t) + 2z(t) y⁰(t) =x(t) +y(t)−z(t) z⁰(t) = 2x(t)−y(t) + 2z(t).

Que peut-on dire de la trajectoiret7→φ(t) quandt→ ±∞? Barˆeme indicatif : 7 + 6 + 7 = 20 pts