UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2010-2011 Examen du 14 d´ecembre 2010
Dur´ee : 2h00. Tous documents interdits.
1. Suites r´ecurrentes et s´eries formelles. On consid`ere la suite de nombres (sn)n≥0 d´efinie par la r`egle de r´ecurrence
s0= 1, s1= 0, sn =1
2(sn−1+sn−2), n≥2.
On poses(X) =P
n≥0snXn∈C[[X]].
1.a. D´eterminer sn pourn= 2,3,4,5,6.
1.b. Montrer ques(X) = X2X−2+X−2 dansC[[X]].
1.c. D´ecomposer X2X−2+X−2 en ´el´ements simples dansC[[X]].
1.d. En d´eduire une formule explicite poursn, ainsi que la limite limn→∞sn. 2. Equations diff´erentielles du second ordre.
2.a. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley00(x) +y0(x)−6y(x) =xe−3x. 2.b. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→R : x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley00(x) + 4y(x) = 0.
2.c. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley00(x) + 4y(x) = sin(2x).
3. Exponentielle de matrice et ´equation diff´erentielle lin´eaire. On consid`ere la matriceA=
2 1 2
1 1 −1
2 −1 2
∈M3(R).
3.a. D´eterminer les valeurs propres deA. En d´eduire une matrice de change- ment de baseP∈Gln(R) telle queP−1AP soit diagonale.
3.b. CalculerP−1.
3.c. Calculerexp(tA) pour t∈R.
3.d. Trouver l’unique fonction d´erivableφ:R→R3:t7→
x(t) y(t) z(t)
qui v´erifie
φ(0) =
1 1 1
et
x0(t) = 2x(t) +y(t) + 2z(t) y0(t) =x(t) +y(t)−z(t) z0(t) = 2x(t)−y(t) + 2z(t).
Que peut-on dire de la trajectoiret7→φ(t) quandt→ ±∞? Barˆeme indicatif : 7 + 6 + 7 = 20 pts
