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Déf : Matrices symétriques — Déf : Matrices hermitiennes — Prop :dim(Sn(R) =n(n+1)/2 etdim(An) =n(n−1)/2 — Prop :Mn(R) =An(R)⊕Sn(R

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Leçon 158-Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

I. Généralités.

1. Définitions et premières propriétés [1]p.228 et [2]

— Déf : Matrices symétriques

— Déf : Matrices hermitiennes

— Prop :dim(Sn(R) =n(n+1)/2 etdim(An) =n(n−1)/2

— Prop :Mn(R) =An(R)⊕Sn(R)

— Prop : Matrice hermitiennes = (Matrice symétrique)+ i(Matrice antisymétrique)

— Prop : Matrices hermitiennes =R-ev de dimn2 2. Lien avec les formes bilinéaires et hermitiennes [2]

— Déf : Forme bilinéaire

— Prop : La matrice d’une forme bilinéaire est symétrique

— Déf : Forme quadratique + forme polaire

— Prop : Bijection entreQ(E)→Sn(R)

— Déf : Forme Hermitienne + forme polaire

II. Réduction

1. Thm généraux [2] et [3]

— Thm spectral + corollaire

— Orthogonalisation simultanée 2. Signature[3]

— Déf : Signature

— Thm de Sylvester

— Déf + prop : action par congruence

III. Applications 1. Topologie [3]

— Prop :Sn(R)est un ouvert deMn(R)

— Dev 1 : Décomposition polaire

— Application :k|A|k=p

ρ(ATA) 2. Calcul différentiel [4]

— Prop : Extremum et Hessienne

— Dev 2 : Lemme de Morse

Bibliographie :

— 1- Gourdon : Algèbre

— 2-Grifone : Algèbre linéaire

— 3-Caldero Germoni : Nouvelles histoires hédonistes d’algébre et géométrie

— 4-Rouvière

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