I. Une famille de matrices symétriques

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/21

Centrale Maths 2 PC 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Antoine Gloria (École Polytechnique) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet, assez long, est composé de cinq parties largement indépendantes. Toutes les questions délicates contiennent suffisamment d’indications et l’énoncé correct de la formule de Taylor avec reste intégral est fort gentiment rappelé. Par ailleurs, certaines parties (la deuxième notamment) sont des « hors-programme classiques » : ils ont été vus par un grand nombre d’élèves en exercice, problème ou séance de TD.

Ainsi, la plus grande difficulté de ce problème est sa longueur ; pour cela, pas de miracle : seule une connaissance du cours ne laissant pas de place à l’hésitation et un entraînement intensif aux diverses techniques d’algèbre et d’analyse permettent d’être rapide et de s’en tirer un jour d’écrit.

Plusieurs questions d’algorithmique (ne nécessitant aucune connaissance spéci- fique mais seulement un peu de bon sens mathématique) et d’applications numériques sont présentes ; les bons candidats, à l’aise dans les calculs, doivent se jeter dessus car elles rapportent d’autant plus de points qu’elles sont souvent mal traitées !

Voyons le contenu des cinq parties :

• Une première partie d’algèbre linéaire, sans surprise, propose d’étudier une famille de matrices paramétrées.

• Une deuxième partie établit quelques propriétés « classiques » (c’est-à-dire hors programme, mais qui devraient être sues par tous les candidats) des matrices symétriques et définies positives (qui sont au programme en filière MP mais pas en PC).

• La troisième partie démontre un théorème de décomposition M = L^tL d’une matrice définie positive M en un produit d’une matrice triangulaire inférieureLet de sa transposée (c’est lafactorisation de Choleski). La preuve, par récurrence, est par ailleurs constructive, c’est-à-dire qu’elle se transpose sous la forme d’un algorithme simple que l’on demande de décrire en dernière question.

• La courte partie IV spécialise les résultats précédents au cas des matrices

« tridiagonales » de la partie I. La dernière question propose de dénombrer les opérations nécessaires pour résoudre un système linéaire.

• Enfin, la cinquième partie montre comment utiliser les résultats précédents pour résoudre numériquement (de manière approchée) une équation différentielle linéaire simple. Des applications numériques y sont demandées.

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Indications

I.A.2 Développer selon la première colonne pour obtenir le premier terme, puis selon la première ligne pour le terme restant.

I.A.3 Employer la même méthode qu’à la question précédente.

I.A.4 Raisonner par récurrence.

I.B.3 Penser à une récurrence finie.

I.B.4 La valeur de x1 fixe toutes les autres composantes. Remarquer que A est diagonalisable car symétrique et réelle.

II.B.2 Le déterminant de Aest égal au produit de ses valeurs propres.

II.D.3 Utiliser les deux questions précédentes.

II.E.2 Écrire lai0e ligne du système.

II.E.3 Montrer que, dans tous les cas,|1−λ|<1et en déduire queλ >0.

III.B.1 Remarquer queM1 est symétrique et définie positive.

III.B.2 Observer que ^tw w= ^txM⁻1¹x.

III.C.1 Faire un calcul explicite pourn= 3, puis conjecturer le résultat général.

III.C.2.b Utiliser la question III.C.1 pour calculer le premier déterminant.

IV.A.1 Montrer quewest de la formew= ^t( 0, . . . ,0, wn−1).

IV.B.1 Utiliser la formule de la question III.A pour calculer L2, puis mettre en œuvre l’algorithme de la partie III pour calculer L3.

IV.B.2.c Remarquer que les seuls coefficients non nuls de Ln sont ceux situés sur la diagonale et ceux situés immédiatement en dessous.

V.A.1 Majorer le reste intégral grâce à une inégalité triangulaire. Siθ <0, poser θ^′=−θet effectuer le changement de variablet^′ =−tpour se ramener au cas précédent.

V.B.2 Trouver une base de l’espace vectoriel des solutions deE ; montrer que siu est solution du problème (4), alors ses coordonnées dans cette base sont entièrement déterminées.

V.B.3 Montrer que u^′′ est de classeC².

V.C.1 Exprimer l’équation(5)pour k∈[[ 2 ;n−1 ]]et en déduire la valeur deα.

V.C.2 Montrer que α < 1 2.

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I. Une famille de matrices symétriques

I.A.1 Calculons directement

P2(X) = X²−2X + 1−α²

Le discriminant réduit de ce polynôme est∆ =α²et, commeα >0, ses racines sont λ₋ = 1−αetλ+= 1 +α.

sp (A2) ={1−α; 1 +α}

Cherchons maintenant les vecteurs propres associés à la valeur propre 1−α.

On doit résoudre le système

1 −α

−α 1 x y

= (1−α) x

y

c’est-à-dire

α(x−y) = 0 α(x−y) = 0

d’où, puisqueα6= 0 x=y

De même, les vecteurs propres associés à la valeur propre1 +αvérifient, avec les mêmes notations,x=−y.

Les sous-espaces propres sontE1−α= Vect 1

1

et E1+α= Vect 1

−1

. Le calcul deP3est lui aussi immédiat : on développe par exemple sur la première colonne pour obtenir

P3(X) = (1−X) P2(X) +α(−α)(1−X)

= (1−X)(X²−2X + 1−2α²) soit P3(X) =−X³+ 3X²+ (2α²−3)X + 1−2α²

Comme nous l’avons vu avant développement complet du polynôme, 1 est racine deP3; on calcule ensuite les racines du polynômeX²−2X + 1−2α²et on obtient

sp (A3) ={1 ; 1−√

2α; 1 +√ 2α}

Enfin, un calcul mené de la même manière que pourA2 montre que les sous-espaces propres associés àA3 sont respectivement

E1= Vect





−1 0 1



 E1−α= Vect





√1 2 1



 et E1+α= Vect



 1

−√ 2 1





I.A.2 Développons le déterminantP4(X)selon la première colonne P4(X) = (1−X) P3(X) +α

−α 0 0

−α 1−X −α 0 −α 1−X

Le développement de ce déterminant selon la première ligne donne le résultat P4(X) = (1−X) P3(X)−α²P2(X)

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/21 I.A.3 On peut utiliser la même tactique : on développe le déterminant selon la première colonne, ce qui mène à

Pn+2= (1−X) Pn+1(X) +α

−α 0 0 · · · 0

−α 1−X −α ... ... 0 −α 1−X ... 0 ... . .. ... ... −α 0 · · · 0 −α 1−X

puis l’on développe le dernier déterminant selon la première ligne, ce qui donne immédiatement

∀n>2 Pn+2(X) = (1−X) Pn+1(X)−α²Pn(X)

I.A.4 Remarquons que, pour toutn>2,

Pn+2(1) =−α²Pn(1) avec α²6= 0.

Par conséquent, puisque P2(1) = −α² 6= 0 et P3(1) = 0 et par une récurrence immédiate

(Pⁿ(1)6= 0 sinest pair Pn(1) = 0 sinest impair Conclusion : 1∈sp (An) ⇐⇒ nest impair.

I.B.1 La première ligne du système linéaireAnx=λx s’écrit x1−αx2=λx1

d’où x2= 1−λ

α x1

I.B.2 Écrivons de même la deuxième ligne du système linéaireAⁿx=λx:

−αx1+x2−αx3=λx2

soit x3=−x1+1−λ

α x2

En remplaçant dans cette expression x2 par sa valeur précédemment établie, on obtient

x3=(1−λ)²−α² α² x1

c’est-à-dire x3=P2(λ)

α² x1