ÉCS2
Chapitre 8 : Endomorphismes & matrices symétriques, projections orthogonales
–Exercice 1 Exemples d’endomorphismes définis à l’aide d’un produit scalaire SoitE un espace euclidien de dimension n> 3, dont on note h., .ile produit scalaire et||.|| la norme associée. Soit(a, b)une famille orthonormale de E et Fle sous-espace engendré par les vecteursaetb.
On dit qu’un endomorphismef deEest unendomorphisme symétriquesi
∀(u, v)∈E2, hf(u), vi=hu, f(v)i.
1. Dans cette question, on étudie l’endomorphisme pdeEdéfini par
∀u∈E, p(u) =hu, aia+hu, bib.
a)Vérifier que pest un endomorphisme deE.
b)Pour u∈F, calculerp(u).
c)Déterminer successivement Ker(p), rg(p)et Im(p).
d)Vérifier que pest un endomorphisme symétrique.
e)Vérifier quepest un projecteur surF. Que peut-on dire de la direction de projec- tion ? On parle de projection orthogonale.
2. Dans cette question, on étudie l’endomorphisme sdeEdéfini par
∀u∈E, s(u) =hu, aib+hu, bia.
a)Vérifier que sest un endomorphisme deE.
b)Déterminer successivement Ker(s), rg(s)et Im(s).
c)Vérifier que sest un endomorphisme symétrique.
d)sest-elle une symétrie ?
e)Calculers(a+b)ets(a−b), et en déduire quesest diagonalisable en précisant ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
f )Les sous-espaces propres dessont-ils deux à deux orthogonaux ? 3. Dans cette question, on étudie l’endomorphisme f deEdéfini par
∀u∈E, f(u) =hu, aib− hu, bia.
a)Vérifier que f est un endomorphisme deE.
b)Déterminer successivement Ker(f), rg(f)et Im(f).
c)À l’aide deaet b, montrer quef n’est pas un endomorphisme symétrique.
d)Montrer que : ∀(u, v)∈E2, hf(u), vi=− hu, f(v)i.
On dit quef est unendomorphisme antisymétrique.
e)Montrer queP = X3+ Xest un polynôme annulateur def.On pourra commencer par calculer(P(f))(u)pour les vecteursudeF, puis pour ceux deF⊥... et conclure.
f )f est-il diagonalisable ?
4. Dans cette question, on étudie l’endomorphisme gdéfini par g=f2(=f ◦f).
a)Étudier la restriction de gà Fet en déduire quegest diagonalisable.
b)Vérifier que gest symétrique.
Exercice 2 Projections et symétries orthogonales SoitEun espace euclidien.
1. Montrer que l’ensembleS(E)des endomorphismes symétriques deEest un sous-espace vectoriel de l’espaceL(E)des endomorphismes deE.
2. Fun sous-espace vectoriel deEetpla projection deEsurFparallèlement àF⊥(aussi appeléeprojection orthogonale deEsurF).
Montrer quepest un endomorphisme symétrique.
3. Que peut-on en déduire pour la symétrie s d’axe F et de direction F⊥, définie par s= 2p−idE(aussi appelée symétrie orthogonale d’axeF).
Exercice 3 Diagonalisation orthonormale de matrices symétriques
Donner une base orthonormée de vecteurs propres de chacune des matrices suivantes : A = −2 1
1 −2
!
; M =
0 1 0 1 0 0 0 0 1
et B = 1 2
−3 1 0 1 −3 0
0 0 2
.
Exercice 4 Application à l’étude d’une forme quadratique
Soitqlaforme quadratique(i.e. le polynôme dont tous les monômes sont de degré deux) q:R2−→R, (x1, x2)7−→ −2x21+ 2x1x2−2x22.
On note−→x = (x1, x2)et X = x1 x2
! .
1. Déterminer une matrice symétriqueAtelle que : q(−→x) =tX.A.X.
2. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, on notePune matrice deO2(R)telle queD = tPAP soit diagonale. On note aussiY = tPX = y1
y2
! . a)Montrer que∀−→x ∈R2, q(−→x)>0(qest positive).
b) Montrer queq(−→x) = 0si, et seulement si,−→u =−→
0 (q estdéfinie).
Exercice 5 Une forme quadratique de signe variable Soitq la forme quadratique définie par
q:R3−→R, (x1, x2, x3)7−→x21+ 2x22+x23+ 2x1x2+ 4x1x3+ 2x2x3. On note−→x = (x1, x2, x3)et X =
x1
x2
x3
.
1. Déterminer une matrice symétriqueCtelle que :q(−→x) = tX.C.X.
2. Calculer(C−4I3)(C2−I3)et en déduire les valeurs propres deC.
3. À l’aide des valeurs propres deC(et sans chercher ses vecteurs propres), montrer que qest de signe variable, et s’annule pour une infinité de vecteurs.
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Chapitre 8 : Endomorphismes & matrices symétriques, projections orthogonales
–* Exercice 6 Endomorphisme orthogonal ; endomorphisme antisymétrique
Soitf un endomorphisme d’un espace euclidienEetMsa matrice dans une base ortho- normale deE.
On dit quef est orthogonal si Mest orthogonale et on dit quef est antisymétrique si Mest antisymétrique (c’est-à-dire si tM =−M).
1. Montrer que deux des propriétes suivantes entraînent la troisième : (i)f est orthogonal ;
(ii)f ◦f =−IdE; (iii) f est antisymétrique.
2. Montrer qu’il y a équivalence entre : (i)f est antisymétrique ;
(ii)∀x∈E, hf(x), xi=− hx, f(x)i (iii) ∀x∈E, hf(x), xi= 0.
* Exercice 7 Endomorphisme adjoint
Soitn>2 etE =Rn muni de son produit scalaire canonique.
On noteB la base canonique deEet, pour tout vecteur−→x deE, on convient de noter Xla colonne deMn,1(R)représentant−→x :X =MB(−→x).
Pour tout endomorphisme f de E, on appelle adjoint de f et on note f∗ l’endomor- phisme de E dont la matrice représentative dans la base B est la transposée de la matrice représentative def :
MB f∗
= t MB(f) . 1. Soitf ∈L(E). Montrer que :∀(−→x ,−→y)∈E2,
f −→x ,−→y
=−→x , f∗ −→y . 2. Soient f etg deux endomorphismes deEetλun scalaire.
Justifier les relations : a)(λf+g)∗=λf∗+g∗; b)(f◦g)∗=g∗◦f∗;
c)(f∗)∗=f.
3. Soitf un endomorphisme deE. Montrer que : a)Ker(f∗) = (Imf)⊥;
b)Im(f∗) = (Kerf)⊥; c)Ker(f ◦f∗) =Ker(f∗); d)Im(f◦f∗) =Im(f).
** Exercice 8 Quotient de Rayleigh
SoitE =Mn,1(R)avecn∈N∗, muni du produit scalaire canonique h., .i: E2→R,(X,Y)7→ tXY
et de la norme associée
||.||: E→R,X7→√
tXX.
Pour toute matriceAdeMn(R)et tout vecteur non nulXdeMn,1(R), on noteR(A,X) lequotient de Rayleigh, défini par
R(A,X)déf.=
tXAX
||X||2
1. SoitM∈ Mn(R),λune valeur propre réelle deMetXun vecteur propre deMassocié àλ. Montrer que :
R(M,X) =λ.
2. SoitS une matricesymétrique deMn(R).
On noteλ1, . . . , λp les valeurs propres deSrangées dans l’ordre croissant, et on note respectivementE1, . . . ,Ep les sous-espaces propres deSassociés.
a)SoitX∈ M1,n(R)non nul.
i – Justifier l’existence et l’unicité depvecteursX1, . . . ,Xp appartenant respecti- vement à E1, . . . ,Ep tels queX =
p
X
i=1
Xi. ii – Montrer que :
tXSX =
p
X
i=1
λi||Xi||2 et ||X||2=
p
X
i=1
||Xi||2. iii – En déduire :
∀X∈ M1,n(R)\ {0}, λ16R(S,X)6λp. b) Donner une condition nécessaire et suffisante surXpour que :
(i)R(S,X) =λ1, puis pour que(ii)R(S,X) =λp.
** Exercice 9 Encadrement des v.p. réelles d’une matrice SoitMune matrice deMn(R), avecn∈N∗.
1. Montrer qu’il existe une unique matrice symétriqueS et une unique matrice antisy- métriqueA (i.e. tA =−A) telles queM = S + A.
2. On note respectivement α et β la plus petite et la plus grande valeur propre de S.
Soitλune valeur propre réelle deM. Montrer que : α6λ6β.
Indication : en prenant un vecteur propreXdeMassocié à λet une matrice ortho- gonalePtelle que tPSPsoit diagonale, montrer que tXSX =λ||X||2 d’une part, et
tXSX = P
isiy2i où Y = tPX et les si sont les valeurs propres de S d’autre part.
Conclure en montrant queP
ix2i =P
iyi2...
Exercice 10 Matrice d’une projection orthogonale
DansE =R4muni de sa structure euclidienne canonique, on considère : F =Vect((1; 0; 1; 1); (1;−1; 0; 0)).
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Chapitre 8 : Endomorphismes & matrices symétriques, projections orthogonales
–1. Déterminer une base orthonormale de F.
2. Déterminer la matrice représentant la projection orthogonale sur Fdans la base ca- nonique deE.
* Exercice 11 Une caractérisation des projections orthogonales
1. SoitE l’espace euclidien canoniqueRn et f l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice MdeMn(R)dont tous les coefficients valent 1
n.
a)Soitx= (x1, ..., xn)un vecteur deE. Montrer que :||f(x)||6||x||.
b)Montrer quef est un projecteur orthogonal.
2. Soit maintenantEun espace euclidien quelconque etpun projecteur deE.
a)Supposons Kerpet Importhogonaux. Montrer que :
∀x∈E,||p(x)||6||x||.
b)Supposons Kerpet Impnon orthogonaux. Montrer que :
∃x∈E,||p(x)||>||x||.
c)Quelle caractérisation des projections orthogonales peut-on en déduire ? Exercice 12 Recherche de minima
Déterminer : 1. min
(x,y)∈R2 (x−y+ 1)2+ (y−1)2
(se fait de tête !) ; 2. min
(x,y)∈R2 (x−y+ 1)2+ (y−1)2+ (x+y)2 . 3. min
(x,y)∈R2 (2−x−y)2+ (1−x)2+ (1−2x−y)2 .
* Exercice 13 Distance d’un vecteur à un sous-espace Soitnun entier naturel non nul etE =R2[X].
1. Montrer que, pour tout polynômeP deR[X], l’intégrale Z +∞
0
P(t)e−tdt existe.
2. Montrer que h., .i : E×E −→ R, (P,Q) 7−→
Z +∞
0
P(t)Q(t)e−tdt est un produit scalaire sur E.
3. Que vaut, pour tout(j, k)∈[[0 ; 2]]2, Xj,Xk
? 4. Déterminer une base orthonormale BdeE.
5. Calculer la matriceMreprésentant la projection orthogonale deEsurR1[X]dans la base B.
6. Déterminer min
(u,v)∈R2
Z +∞
0
t2−ut−v2
e−tdt.
Exercice 14 Reconnaître une projection orthogonale
Dans E =R3 muni du produit scalaire canonique, soit f l’endomorphisme représenté par la matrice
Mdéf.= 1 6
5 2 1
2 2 −2 1 −2 5
dans la base canonique.
Justifier quef est un projecteur orthogonal et préciser le sous-espace deEsur lequel a lieu cette projection.
Exercice 15 Détermination de la matrice d’une projection orthogonale
DansE =R3muni du produit scalaire canonique, soitFle plan d’équationx−y−z= 0.
Déterminer la matrice représentant la projection orthogonale deE sur Fdans la base canoniqueBdeE.
* Exercice 16 Meilleure approximation dans un espace de matrice DansE =M3(R), on considère le produit scalaireh., .idéfini par :
∀A,B∈E, hA,Bi=tr(tAB).
1. a) Vérifier queh., .iest bien une forme bilinéaire et symétrique.
b) Vérifier que, pour toutes matricesA = (ai,j)∈Eet B = (bi,j)∈E, hA,Bi=
3
X
i=1 3
X
j=1
ai,jbi,j. c) En déduire queh., .iest bien positive et définie.
2. On considère la matriceU =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
et le sous-espace F =Vect(I3,U,U2).
a)Vérifier que(I3,U,U2)est une base orthogonale deF.
b) Donner une base orthonormale deF.
c) SoitV =
1 1 1 0 0 0 0 0 0
. Déterminer la distance deV àF, définie par d(V,F) = min
W∈F||V−W||.
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