(R) une matrice antisym´etrique. Montrer qu’il existe S

L3 – Alg` ebre 2 2011–2012 : TD 12

Groupe orthogonal et quadriques

Exercice 1. (´ Echauffement)

1. Soit A ∈ M

(R) une matrice antisym´etrique. Montrer qu’il existe S

et S

∈ M

(R) sym´etriques telles que A = [S

, S

].

2. Montrer que pour tout n ≥ 1, le groupe SO

(R) (muni de la topologie induite par la topologie d’espace vectoriel norm´e de M

(R)) est connexe par arcs.

3. Soit n et m deux entiers ≥ 1 diff´erents. Montrer que les groupes O

(R) et O

(R) ne sont pas isomorphes. ( Indication : on pourra d´enombrer les classes de conjugaison d’´el´ements d’ordre 2.)

Exercice 2. (Exponentielle)

Montrer que l’exponentielle induit une application surjective exp : so

(R) → SO

(R),

o` u so

(R) d´esigne l’ensemble des matrices antisym´etriques dans M

(R).

Exercice 3. (Morphismes vers Z/2Z) Soit n ≥ 2.

1. D´eterminer les morphismes O

(R) → Z/2Z.

2. Si A ⊂ R

est un sous-espace vectoriel de dimension n − 2, on appelle retournement d’axe A l’unique endomorphisme de R

co¨ıncidant avec id sur A et avec − id sur l’or- thogonal de A (pour le produit scalaire canonique).

Montrer que si n ≥ 3, les retournements engendrent SO

(R).

3. D´eterminer les morphismes SO

(R) → Z/2Z.

Exercice 4. (Structure de SO

(R)) A. Simplicit´ e de SO

(R).

1. D´eterminer le centre de O

(R) et celui de SO

(R). On note PSO

(R) le quotient de SO

(R) par son centre.

2. Soit N ⊳ SO

(R) un sous-groupe distingu´e de SO

(R) non r´eduit ` a {id}. D´emontrer qu’il contient un ´el´ement u tel que −1 ≤ tr u < 3.

3. En consid´erant les commutateurs de u et d’un ´el´ement de SO

(R), montrer qu’il existe t

< 3 tel que pour tout t ∈ [t

, 3], N contienne un ´el´ement de trace t.

4. En d´eduire que N contient un ´el´ement d’ordre (fini) pair, puis que N contient un re- tournement.

5. Conclure.

B. Simplicit´ e de PSO

(R), n ≥ 5.

Dans la suite de l’exercice, n ≥ 5.

1. Pour tout sous-espace vectoriel F ⊂ R

, on consid`ere G

= n

u ∈ SO

(R)

u

= id

o . A quoi est isomorphe G `

?

2. Soit u ∈ SO

(R) diff´erent de ± id. Montrer qu’il existe un ´el´ement v ∈ SO

(R) tel que le commutateur c = [u, v] soit diff´erent de ± id mais fixe un vecteur unitaire.

3. D´emontrer qu’il existe w ∈ SO

(R) tel que le commutateur [c, w] soit diff´erent de ± id mais fixe un sous-espace vectoriel de codimension ≤ 2.

4. En d´eduire la liste des sous-groupes distingu´es de SO

(R) et la simplicit´e de PSO

(R).

Remarque. Le groupe PSO

(R) n’est pas simple : il est isomorphe ` a SO

(R) × SO

(R).

Exercice 5. (Classes de similitude dans M

(R))

Soit M ∈ M

(R) une matrice ayant deux valeurs propres complexes diff´erentes. Montrer que

la classe de similitude de M est une quadrique affine d’un hyperplan affine de M

(R), que

l’on d´eterminera suivant la diagonalisabilit´e de M sur R.