Ex**otætwI : ( Gyoints )
Soit ABC un triangle rectangte en A tetque : fffiÂÔ:I lZnl
I = 5116;(A) et D = Slac;(l) l r z a . o n n o t e
1) Montrer que le triangle OAB est équilatéral. Donner la nature du quadrilatère ABIO . 2) Montrer qu'il existe une unique rotation R tel que R(A)=C et R(B)=O . Caractériser R . 3 ) a ) M o n t r e r q u e le point I appartient a u c e r c l e ( circonscrit a u t r i a n g l e
b) Prouver que l'image de la droite (AC) par R est la tangente à ( en
4 ) O n p o s e f = S1ecl " R , h : S 6 c ) " R o S ( * D e t g - X-I"5çec1))fi f ( A ) e t Montrer que f est une symétrie glissante dont-on précisera l'
Ey-e*olcewf ( ayoints )
et (BfË 1=
S o i t d a n s C l ' é q u a t i o n ( E o ) , 22 - i(2sinc + 1)e-i"z - 2sinse-izo = 1-) Résoudre dans C l'équation (E" ) . Mettre les solutions sous forme 2) Soit un repère orthonormé direct du plan et M' et M" d'
a ) Quel est l'ensemble d e s p o i n t s M " l o r s q u e a v a r i e d a n s b)Soit |4/= (2sin2a * sino) * i(sin2a *
c ) C a l c u l e r { . C o m m e n t s o n t le s p o i n t s M ' ,
ttæ,rc,Læt w 3 : ( a yoints )
Soit / la fonction définie sur [0, i I prr. : f (x)
tériser
étant d e 1 0 , n [ .
i e l l e .
te et z" = 2isinoe--iq
n t i e l l e . D é d u i r e l e m i l i e u d e [M'M"] . p o u r q u e O soit le milieu de [M'M"]?
cos
1) Montrer que / est une bijection de sur [1, sa fonction réciproque .
2 ) C a l c u l e r g ( 2 ) . Etudier l a d é r i v a L , rminer g'(x) pour )c el7, *-[ . 3) Pour tout n € N* , on considère sur [0, TLr"r: fr(x) = f (x) * xn - 2
Montrer que l'é t f " ( u n e s o l u t i o n u n i q u e a ' d a n s ] 0 , ; [ .
M o n t r e r q u e , fn+t ) . En déduire que la suite (arr) est convergente .
Soit nctio le repère I de l'annexe ,Co est la courbe d'une primitive F de / et C1 est la
courbe I R . o n a d m e t q u e v x < - - 7 : f(x)<F(x)etque f G)=aH
a)Calcu F I A t u d i e r la p a r i t é d e / puis dresser s o n ta b l e a u d e v a r i a t i o n . que Ntion /(x) = 0 admet dans [0, aæ[ une solution unique a e ]0,1[ . q u e l'éQNion /(x) = x admet dans ]-oo,0] une solution unique É € ]-1,0[ . r q u e a + p > 0 e t q u e d.B<-;.
2 ) a ) r q u e l a r e s t r i c t i o n d e / à [-1,0] admet une fonction réciproque g puis résoudre sur le graphique d u : g ' ( x ) = - i
a ) b)
b ) C o n s t r u i r e ( C ) l a c o u r b e d e / e t ( C ' ) l a c o u r b e d e g d a n s l e r e . p è r e t 2 . o n d e s s i n e r a l a t a n g e n t e à ( C ) a u p o i n t d'abscisse ( - 1 ) .
3) Soit tt(x) =/ t#] et (f)sa courbe dans un repère orthonormé . a) Montrer que h est dérivable sur ]0, n] puis résoudre dans ]0, rl: h'(x) = 0 .
b) Dresser le tableau de variation de h sur ]0, n] et construire la partie de (f) sur l-Zn,Zrc]
Re+ère/2:
t
U:X
o ù ' t
