Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees
IFP Ann´ee 2003-2004
Fiche no4
Ex 1. Soit f une fonction mesurable positive de (Ω,F, µ) dans (R+,Bor(R+)). On suppose queµ({f = +∞})>0. Montrer que R
Ωf dµ = +∞.
Ex 2. Int´egration sur un sous-ensemble de Ω
Nous notons M+ l’ensemble des applicationsf : Ω→R+, mesurablesF-Bor(R+) et E+, l’ensemble des fonctions ´etag´ees mesurables positives. Soit f ∈ M+. Dans le cours, on appelle int´egrale sur Ω de f par rapport `a µ l’´el´ement de R+ not´e R
Ωfdµ et d´efini par
Z
Ω
fdµ:= sup Z
Ω
udµ; u∈E+, u≤f
. (1)
PourA∈F, f1A appartient encore `aM+ et on d´efinit aussi Z
A
fdµ:=
Z
Ω
f1Adµ. (2)
La d´efinition de R
Afdµ pose un probl`eme de coh´erence car on pourrait consid´erer A muni de la tribu trace de F et de la restriction de µ comme un espace mesur´e et lui appliquer la d´efinition (1). Le but de cet exercice est de clarifier cette question. On note FA:={A∩B; B ∈F}.
1) V´erifier queFA est une tribu surA(tribu trace). Par constructionFA⊂F, donc la restrictionµA deµ`aFAest bien d´efinie (noter queFA n’est pas unesous-tribu deF).
V´erifier que µA est une mesure sur (A,FA).
2) Montrer que pour toute f ∈M+(F), sa restrictionfA `aA appartient `aM+(FA) et que
Z
A
fAdµA= Z
Ω
f1Adµ,
la premi`ere int´egrale ´etant comprise au sens de (1), appliqu´ee `a l’espace mesur´e (A,FA, µA).
Ex 3. Calcul d’une int´egrale par les fonctions ´etag´ees
On munit l’espace Ω ={(x, y)∈R2; x+y ≤1, x≥0, y ≥0}de la tribu bor´elienne et de la mesure de Lebesgue λ2. On consid`ere la fonction bor´elienne d´efinie sur Ω par h(x, y) = (x+y)2.
1) Construire une suite croissante (hn) de fonctions ´etag´ees qui converge versh.
2) Calculer R
Ωhndλ2. 3) En d´eduire la valeur de R
Ωh dλ2.
Licence I.F.P. 2003–04
Ex 4. Un calcul de limite d’int´egrale
Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e et f une application Ω→R+, mesurableF-Bor(R+), telle queR
Ωfdµ >0. On pose pour tout ωinΩ, fn(ω) :=nsin2
f(ω) n1/3
. 1) Justifier la mesurabilit´e de fn.
2) Etudier la limite de fn(ω) quandn tend vers +∞.
3) Montrer que limn→+∞
R
Ωfndµ= +∞ (on pourra utiliser le lemme de Fatou).
Ex 5. Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e et (fn)n≥1 une suite d’applications Ω → R+, mesurables F-Bor(R+). On suppose que fn converge sur tout Ω vers une fonction f et que la suite des int´egrales R
Ωfndµconverge vers un r´eel c > 0.
1) Montrer queR
Ωfdµest bien d´efini et appartient `a [0, c], mais n’est pas forc´ement
´egal `ac.
2) Montrer par des exemples que toutb∈[0, c] est une valeur possible pour R fdµ.
Ex 6. Retour sur les densit´es (preuve de la Prop. 3.18 du cours)
1) Soit (Ω,F) un espace mesurable etf etg deux applications Ω→R+, mesurables F-Bor(R+). Montrer que{f < g} ∈F.
2) Justifier la d´ecomposition {f < g} = ∪n∈N∗An, o`u An := {f + 1/n < g}. Peut on remplacer l’in´egalit´e stricte par l’in´egalit´e large dans la d´efinition de An?
3) On suppose d´esormais que f et g v´erifient la condition
∀A∈F, Z
A
fdµ= Z
A
gdµ.
On suppose de plus que R
Ωfdµ < +∞. Montrer que µ(An) = 0 pour tout n ≥ 1. En d´eduire que f =g µ-presque partout, i.e. que µ({f 6=g}) = 0.
4) G´en´eraliser au cas o`u il existe dansF une suite croissante (Ωn)n≥1 de r´eunion Ω et telle que pour toutn ≥1, R
Ωnfdµ <+∞.
Ex 7. Un exemple `a m´editer
SoitX une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1] etY la variable al´eatoire d´efinie sur le mˆeme espace Ω par
Y(ω) :=
X(ω) si X(ω)∈[0,1/4]∪[3/4,1];
1−X(ω) si X(ω)∈]1/4,3/4[.
Quelle est la loi de Y ? Trouver la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire Z :=
X+Y et v´erifier que Z n’est ni discr`ete ni `a densit´e.
Ex 8. Identification de mesures finies
SoitCb l’ensemble des fonctions continues born´ees surR. Soient µetν deux mesures finies sur (R,Bor(R)). Montrer que si pour toute f de Cb, R
Rf dµ = R
Rf dν, alors µ=ν.Indication : interpr´eter la fonction indicatrice d’un intervalle ouvert ]a, b[ comme la limite d’une suite croissante de fonctions continues et born´ees sur R.
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