1. a) La fonction h est continue comme diff´erence de deux fonctions continues. Soit x ∈ R,

Universit´ e Denis Diderot (Paris VII) 2002-2003 MT231

Devoir ` a la maison sur les s´ eries de fonctions Correction

Probl` eme Soient q ∈] − 1, 1[ un r´eel fix´e dans toute la suite.

1. a) La fonction h est continue comme diff´erence de deux fonctions continues. Soit x ∈ R,

h(x) = f (x) − g(x) = (1 − qx)f (qx) − (1 − qx)g(qx) = (1 − qx)(f (qx) − g(qx)) = (1 − qx)h(qx).

Donc h est une solution de l’´equation (1). De plus,

n→+∞ lim h(q ⁿ x) = h(0) par continuit´e de h en 0 et car lim

n→+∞ q ⁿ x = 0

= f (0) − g(0) = 0 car par hypoth`eses, f(0) = g(0).

b) On fait une r´ecurrence sur n ∈ N ^∗ . Si n = 1, alors, ∀x ∈ R, h(x) = h(qx)(1 − qx) car h est une solution de (1). Supposons le r´esultat acquis au rang n et montrons le au rang n + 1 :

h(x) = h(qx)(1 − qx) car h est solution de (1)

= h(q ⁿ⁺¹ x) Y n

i=1

(1 − q ⁱ qx)(1 − qx) par hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee au r´eel qx

= h(q ⁿ⁺¹ x)

n+1 Y

i=1

(1 − q ⁱ x) en faisant le changement d’indice i ← i + 1.

Ceci conclut la preuve par r´ecurrence.

c) Soit x ∈ R. Si x ≤ 1 l’expression ln(1 − q ⁿ x) a un sens pour tout entier n (c’est clair si x ≤ 0, et si x ∈]0, 1[, alors q ⁿ x ∈]0, 1[, donc 1 − q ⁿ x > 0). Sinon, cette expression n’a de sens que quand 1 − q ⁿ x > 0, i.e., quand q ⁿ < _x ¹ , soit encore quand n > ₋ ^lnx _{ln q} . Dans tous les cas, on note N (x) le plus petit entier n pour lequel ln(1 − q ⁿ x) a un sens. On s’interesse `a la convergence de la s´erie de terme g´en´eral (ln(1 − qx)) <sub>n≥N(x)</sub> . Or ln(1 − q <sup>n</sup> x) = −q <sup>n</sup> x + q <sup>n</sup> ε(q <sup>n</sup> ), o` u ε(q ⁿ ) →

n→∞ 0. Or −q ⁿ x et q ⁿ sont les termes g´en´eraux de s´eries absolument convergentes (c’est −x fois, respectivement major´e (pour n assez grand) par 1 fois, le terme g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique de raison

| q |< 1). Donc on en d´eduit la convergence de la s´erie P

ln(1 − q ⁿ x).

Montrons que la suite (π _n ) _n∈N

est convergente. Quitte `a oublier les N (x) − 1 premiers termes, et `a diviser par ces N (x) − 1 premiers termes (ce qui change la valeur de la limite ´eventuelle mais pas la nature (convergente, divergente, sans limite) de la suite), il suffit de montrer que la suite ($ _n ) _{n≥N (x)} d´efinie par $ _n = Q _n

i=N (x) (1 − q ⁱ x) est convergente. Or ln($ _n ) = ln



 Y ⁿ

i=N(x)

(1 − q ⁱ x)



 = X n

i=N (x)

ln(1 − q ⁱ x)

Donc par le d´ebut de la question, on sait que (ln($ _n )) converge. En passant `a l’exponentielle, on en d´eduit que la suite ($ _n ) _n≥N(x) et donc la suite (π _n ) _n∈N

est convergente.

d) Soit x ∈ R. On sait par la question 1.b que : ∀n ∈ N ^∗ , h(x) = h(q ⁿ x) Q _n

i=1 (1 − q ⁱ x). Or par continuit´e de h en 0, et car | q |< 1, lim _n→+∞ h(q ⁿ x) = h(0) = 0. Par ailleurs, la question 1.c nous indique que la limite l(x) = lim _n→+∞ Q _n

i=1 (1 − q ⁱ x) existe et est finie. On peut ainsi ´ecrire h(x) = lim

n→+∞

à h(q ⁿ x)

Y n

i=1

(1 − q ⁱ x)

!

= 0 × l(x) = 0.

2. Soit x ∈ R. On a X +∞

n=0

a _n x ⁿ = f (x) = (1 − qx)f (qx) =

+∞ X

n=0

a _n (qx) ⁿ − X +∞

n=0

a _n qx(qx) ⁿ car f est solution de (1)

=

+∞ X

n=0

q ⁿ a _n x ⁿ − X +∞

n=0

q ⁿ⁺¹ a _n x ⁿ⁺¹

=

+∞ X

n=0

q ⁿ a _n x ⁿ − X +∞

n=1

q ⁿ a _n−1 x ⁿ en faisant i ← i + 1 dans le second terme

= a ₀ + X +∞

n=1

(q ⁿ a _n − q ⁿ a _n−1 ) x ⁿ .

En utilisant le th´eor`eme d’unicit´e du d´eveloppement en s´erie enti`ere pour des s´eries enti`eres de rayon de convergence R > 0, on en d´eduit : ∀n ≥ 1, a _n = q ⁿ a _n −q ⁿ a _n−1 , soit a _n (q ⁿ −1) = q ⁿ a _n−1 . On peut r´e´ecrire ceci sous la forme : ∀n ≥ 0, a _n+1 = _q

^q

−1 a _n .

3. a) On va appliquer le crit`ere de D’Alembert pour les s´eries enti`eres. Pour cela on calcule a _n+1

a _n = q ⁿ⁺¹

q ⁿ⁺¹ − 1 −→

n→+∞ 0, car | q |< 1.

Le crit`ere de D’Alembert nous dit alors exactement que la s´erie enti`ere P

a _n x ⁿ est de rayon de convergence infini. Par ailleurs, si q = 0, g(x) = a ₀ = (1 − 0 × x)a ₀ = (1 − 0x)g(0x), sinon on reprend le calcul de la question 2. : si x est un r´eel,

(1 − qx)g(qx) = a ₀ + X +∞

n=1

(q ⁿ a _n − q ⁿ a _n−1 ) x ⁿ

= a ₀ + X +∞

n=1

µ

q ⁿ a _n − q ⁿ q ⁿ − 1 q ⁿ a _n

¶

x ⁿ par construction des a _n

= a ₀ + X +∞

n=1

(q ⁿ − (q ⁿ − 1))a _n x ⁿ en simplifiant

= a ₀ + X +∞

n=1

a _n x ⁿ = g(x).

Ainsi la fonction g d´efinie par g(x) = P _+∞

n=0 a _n x ⁿ est bien une solution de l’´equation (1).

b) Par d´efinition de la fonction g, g(0) = a ₀ = f (0). De plus, f et g sont toutes deux continues sur R (f par hypoth`eses, et g car c’est une s´erie enti`ere de rayon de convergence infini). Ainsi, la question 1.d) nous dit que la fonction h = f − g est la fonction nulle.

4. Soit f une fonction continue de R dans R, solution de l’´equation fonctionnelle (1). On lui as-

socie la s´erie enti`ere de rayon de convergence infini g construite `a la question 3.a). La question

pr´ec´edente nous dit alors que f = g, autrement dit f est d´eveloppable en s´erie enti`ere de rayon

de convergence infini.

Exercice

1. On a I _n = I _n − M ^r = (I _n − M) ³P _r−1

k=0 M ^k

´

. De mˆeme, I _n = ³P _r−1

k=0 M ^k

´

(I _n − M ). Ainsi, I _n − M est inversible d’inverse P _r−1

k=0 M ^k . 2. Soit a ∈ R.

M =



 

 

 

1 −a 0 . ..

0 1 . .. 0 .. . . .. −a 0 . . . 0 1



 

 

 

= I _n − aN o` u N =



 

 

 

0 1 0 . ..

0 0 . .. 0 .. . . .. 1 0 . . . 0 0



 

 

 

∈ M _n (R).

Un calcul facile montre que

N ² =



 

 

 

 

0 0 1 0 . ..

0 0 . .. ... 0 .. . . .. 0 1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0



 

 

 

 

∈ M _n (R).

En it´erant on constate alors que

N ⁿ⁻¹ =



 

 



0 0 0 1

0 0 . .. 0 .. . . .. 0 0 . . . 0 0



 

 

 et que N ⁿ = 0.

Ainsi, N, et donc aN est nilpotente. Par la question 1. on en d´eduit que la matrice M = I _n − aN est inversible, et que son inverse est

M ⁻¹ =

n−1 X

k=0

a ^k N ^k =



 

 

 

 

1 a . . . a ⁿ⁻² a ⁿ⁻¹ 0 1 . .. ... a ⁿ⁻²

.. . 0 . .. ... .. .

0 0 . .. 1 a

0 . . . 0 0 1



 

 

 

 

.