Università cPaul Sabatier P. Bousquet Prà cpa Agreg 2019-2020
Analyse réelle de base
1 Limites
Quantificateurs
Exercice 1. Soita, b∈R.Montrer les implications suivantes : 1. Si pour toutε >0,on a|a|< ε,alorsa= 0.
2. Si pour toutε >0,on aa < b+ε,alorsa≤b.
3. Si pour toutε >0,on a|a−b|< ε,alorsa=b.
Exercice 2. Soienta ∈ Run point ou une extrémité deDetl ∈ R. Montrer que la fonctionf admet lcomme limite enasi et seulement si pour tout > 0, il existeη > 0tel que pour toutx ∈ D∩]a− η, a+η[, on a|f(x)−l|<2.
Exercice 3. Soienta, l ∈ Retf :R → Rune fonction. Ecrire à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes :
1. f ne tend pas verslquandxtend versa, 2. f ne tend pas verslquandxtend vers+∞, 3. f ne tend pas vers+∞ena,
4. f n’a pas de limite finie en+∞.
Exercice 4. Soitf :R→R.On suppose qu’il existeT >0tel que pour toutx∈R,on af(x+T) = f(x)(on dit alors quef est périodique de périodeT). On suppose de plus quef admet une limite finie en+∞.Montrer quef est une fonction constante.
Exercice 5. SoitDun intervalle deRetaun point ou une extrémité deD. On considère deux fonctions f, g:D→R.
1. On suppose quef ≤get quef tend vers+∞ena. Montrer quegtend vers+∞ena.
2. On suppose maintenant que f est bornée et quegtend vers0ena. Montrer que la fonctionf g tend vers0ena.
Borne Sup
Exercice 6. SoitAune partie non vide majorée deR.On note−Al’ensemble{−a;a∈ A}.Montrer que−Aest une partie non vide minorée deR.Comparerinf(−A)etsupA.
Exercice 7. SoientAetBdeux parties non vides deRtelles queA⊂B.On suppose queBest majorée.
Montrer queAest majorée et quesupA≤supB.Cette dernière inégalité est-elle nécessairement stricte si l’inclusion deAdansBest stricte ?
Exercice 8. SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR.On pose A+B ={a+b;a∈A, b∈B}.
Montrer queA+Best majorée et comparersup(A+B)avecsupA+ supB.
Exercice 9. Soit A une partie non vide deR qui n’est pas majorée. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’éléments deAqui converge vers+∞.
Exercice 10. Soitf : [0,1]→[0,1]une application croissante. On poseA={x∈[0,1] :f(x)≤x}.
Montrer que 1. A6=∅,
2. Six∈A,alorsf(x)∈A,
3. Apossède une borne inférieurea∈[0,1], 4. f(a) =a.
On a donc montré que toute application croissante de[0,1]dans[0,1]possède un point fixe.
Calcul de limites
Exercice 11. La limite en0des fonctions suivantes existe-t-elle et si oui, que vaut-elle ? 1. x∈]0,+∞[7→sin1x,
2. x∈]0,+∞[7→xsin1x
Exercice 12. Soientn, p∈N∗.On considère les fonctions polynômeP(x) =anxn+· · ·+a1x+a0 etQ(x) =bpxp+· · ·+b1x+b0avecanbp>0.Déterminer le domaine de définitionDde la fonction f :x7→ PQ(x)(x).En déduire que+∞est une extrémité deD.Discuter selonnetpla limite def en+∞.
Exercice 13. Montrer que les fonctions suivantes ont une limite en+∞et calculer ces limites.
1. x7→√ x−x, 2. x7→exp(√
x−x),
3. x7→2 ln(x+ 1)−ln(x2+ 1), 4. x7→ 1+expx1−expx,
5. x7→ ln(x+1)lnx , 6. x7→√
x2+a2−√
x2−a2,oùaest un réel strictement positif fixé, 7. x7→x(√
x2+a2−√
x2−a2),oùaest un réel strictement positif fixé, 8. x7→
√ 2x3+1
√ x3+2, 9. x7→tan(π+x)(1−πx)
(1−2x)2 , 10. x7→√
x+ sinx.
Exercice 14. Soitf :R→Rune fonction telle quex7→f(x)−xest bornée : il existeM >0tel que pour toutx∈R,|f(x)−x| ≤M.Montrer quex7→ f(x)x a une limite en+∞.
Exercice 15. Soienta, b∈Retf(x) =√
x3+ax+b−x√
x.Calculer la limite def en+∞.
Exercice 16. Montrer que la fonctionx7→ xx+23+8 a une limite finie en−2.
Exercice 17. Trouver une fonctionf :R→Rtelle quelimx→+∞f(x)
x = 1et telle que 1. limx→+∞(f(x)−x) = 0,
2. limx→+∞(f(x)−x) =π, 3. limx→+∞(f(x)−x) =−∞,
4. x7→f(x)−xn’ait pas de limite en+∞.
Exercice 18. La fonctionx7→xsinxa-t’elle une limite en+∞?
Limites à droite ou à gauche
Exercice 19. On considère la fonctionH :R→Rdéfinie par
H(x) =
−1six <0, 0six= 0, 1six >0.
Déterminer siHa une limite à gauche, à droite ou une limite tout court en0.
Exercice 20. Les fonctions suivantes, définies surR,admettent-elles des limites à gauche, à droite, ou des limites aux points indiqués ?
1. f1(x) =x+
√ x2
x pourx6= 0etf1(0) = 1,limites en0, 2. f2(x) = sin(
√ x2)
x pourx6= 0etf2(0) = 1,limites en0, 3. f3(x) =x−p
x−E(x)oùEest la fonction partie entière, limites enn∈Z.
Exercice 21. Les fonctions suivantes, définies sur ]0,1[,admettent-elles des limites à droite en0 et à gauche en1?
1. f1(x) =
√x3−3x+2 2x2−x−1 , 2. f2(x) =
√x+3−√
√ 4x+3 x+4−√
2x+4,
3. f3(x) = (1+x)x a oùa >0est un paramètre fixé, 4. f4(x) = (1 + sinx)1x.
1.1 Utilisation d’équivalents ou de développements limités Exercice 22. Montrer que la fonction
f :x7→ ex−1−x−x22 x3 a une limite quandxtend vers0et calculer cette limite.
Exercice 23. Soit0< α <1.Calculer la limite def(x) = (x+ 3)α−(x+ 1)αen+∞. Exercice 24. Calculer les limites suivantes :
x→+∞lim
px2+ 2x+ 2 +x , lim
x→−∞
px2+ 2x+ 2 +x.
2 Fonctions continues sur un intervalle
Prolongement par continuité
Exercice 25. On considère la fonction f : x 7→ x q
1 +x12.Donner le domaine de définition de f.
Montrer quef est continu sur son domaine de définition. Peut-on prolongerf par continuité àR? Exercice 26. Les fonctions suivantes peuvent-elle être prolongées par continuité surR?
1. x7→ xx−23−8, 2. x7→ x3−2x1−|x|2−x+2,
Exercice 27. Soienta < bdeux réels etf :]a, b[→ Rune application strictement croissante. On pose A = {f(x);x ∈]a, b[}, α = infA, β = supA(si Aest non minorée, on poseα =−∞, si A est non majorée, on poseβ = +∞).
1. Montrer quelimx→af(x) =α(on pourra distinguer les casα ∈ Retα =−∞). Montrer que limx→bf(x) =β.
2. Soitc ∈]a, b[.Montrer quef admet une limite à droite encnotéefd(c)et une limite à gauche enc,notéefg(c).Montrer quefg(c)≤f(c)≤fd(c).
3. On suppose quefg(c) =fd(c)pour toutc∈]a, b[.Montrer quef est continue sur]a, b[.
Continuité et développements limités
Exercice 28. Montrer que les fonctions suivantes, définies surR∗, se prolongent par continuité en0: 1. f :x7→ x12(1+x1 2 −cosx),
2. g:x7→ arctansinx−xx−x, 3. h:x7→ ex−cosx−sinx
x2 , 4. i:x7→ ex2−cosx2 x.
Exercice 29. On définitf sur]0,+∞[parf(x) =
qln(1+x)
x . Montrer quef se prolonge par continuité en0puis donner le développement limité à l’ordre3en0def.
Exercice 30. On définitf :R∗ → Rparf(x) = exx−1. Montrer quef se prolonge par continuité en0 puis quef admet un développement limité en0à l’ordrenpour toutn∈N∗.
3 Calcul différentiel
Exercice 31. 1. Soitnun entier≥2eta∈R.Montrer que pour toutx∈R,on a xn−an= (x−a)(xn−1+xn−2a+· · ·+xan−2+an−1).
En déduire que la fonctionx7→xnest dérivable enaet calculer sa dérivée.
2. Même question lorsquenest un entier≤ −2.
Exercice 32. On considère la fonction :x7→
√x−1 x−1 . 1. Quel est son domaine de définition ?
2. Cette fonction admet-elle des limites aux extrémités de son domaine de définition ? Si oui, que valent ses limites ?
3. Cette fonction est-elle dérivable ?
Exercice 33. Soitf une fonction dérivable surR.Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables surRet calculer leur dérivée :
x7→expf(x) ; x7→(f(sinx))2 ; x7→(f(x))3.
Exercice 34. 1. Soientnetpdes entiers positifs. Calculer la limite dex7→ xnx−1−xp en1.
2. Soitf : R → Rune fonction dérivable en1et soit nun entier strictement positif. Calculer la limite dex7→ f(xnx−1)−f(x) quandxtend vers1.
3. Soit f : R → R une fonction dérivable en 0 et vérifiant f(0) = 0. Calculer la limite de
(f(2x))2−f(3x2)
x2 quandxtend vers0.
Applications du théorème des accroissements finis
Exercice 35. Soit f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose que pour tout x ∈]a, b[, f0(x) = 0.Montrer quef est une fonction constante.
Exercice 36. Soientx, y∈[−π4,π4].Montrer que l’on a|x−y| ≤ |tanx−tany| ≤2|x−y|.
Exercice 37. Etudier le sens des variations des fonctionsfetgdéfinies sur[0, π/2[parf(x) = tanx−x etg(x) = tanx−x−x33.En déduire que l’on atanx > x+ x33 six∈]0,π2[.
Exercice 38. 1. Montrer que l’on axcosx−sinx <0six∈]0, π[.
2. Etudier le sens de variation de la fonctionx 7→ sinxx sur l’intervalle]0, π].Soienta, b ∈ Rtels que0< a < b < π.Montrer que l’on a ab < sinasinb.
Exercice 39. Soitp∈N∗.
1. Montrer que la fonction f : [0,+∞[→ Rdéfinie parf(x) = (1+x)1+xpp a pour valeur maximale 2p−1.
2. Soienta, b∈R+.Montrer que l’on a
(a+b)p≤2p−1(ap+bp).
Exercice 40. Pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on définit fn : [0,1] → R en posant fn : x ∈ [0,1] 7→
(1−x)(1 +x)n.
1. Etudier les variations de la fonctionfn.
2. Montrer qu’il existe un unique nombrexn∈]0,1[tel quefn(xn) = 1.
3. Montrer quexnetxn+1appartiennent à un même intervalle sur lequel la fonctionfnest décrois- sante.
4. Montrer que l’on afn(xn+1) < fn(xn).En déduire que la suite(xn)n∈Nest croissante. Quelle est la limite de la suite(xn)n∈N?
Exercice 41. 1. Montrer que pour toutx >0, 1
x+ 1 <ln(x+ 1)−lnx < 1 x. 2. En déduire que pour toutn∈N∗,
ln(n+ 1)<1 +1
2 +· · ·+ 1
n <1 + lnn.
3. Posonsun= 1+12+· · ·+n1−lnn.Montrer que la suite(un)n∈Nest décroissante et convergente.
Exercice 42. SoientIun intervalle ouvert etf :I →Rune fonction dérivable. On suppose qu’il existe kréels distincts appartenant àI en lesquelsf s’annule,kétant un entier≥2.Démontrer qu’il existe au moinsk−1réels distincts appartenant àIen lesquelsf0s’annule.
Exercice 43. Soientn∈N, n≥2, a, b∈RetP le polynômeP(x) =xn+ax+b.
1. Combien le polynômeP0 a-t’il de racines réelles ?
2. Montrer que le polynômeP a au plus deux racines réelles sinest pair et au plus trois racines réelles sinest impair.
Exercice 44. Soitf une fonction dérivable. On suppose que la fonctionf0 est bornée. Montrer que la fonctionx7→ 1+|x|f(x) est bornée.
Exercice 45. Soitf : R → Rune fonction continue, dérivable sur]− ∞,0[et]0,+∞[.On suppose quef0 :R∗ →Radmet une limite en0notéel.Montrer quef est dérivable en0et quef0(0) =l.
Exercice 46. Soient a, b ∈ R tels que a < b et soientf, g : [a, b] → R.On suppose quef, g sont continues sur[a, b],dérivables sur]a, b[,et queg0(x)6= 0quel que soitx∈]a, b[.
1. Montrer que pour toutx∈]a, b],on ag(x)−g(a)6= 0.
2. On note p = f(b)−fg(b)−g(a)(a).Soit u : [a, b]→ Rla fonction définie par u(x) = f(x)−pg(x), x ∈ [a, b].Montrer queu(a) =u(b).en déduire qu’il existec∈]a, b[tel que
f(b)−f(a)
g(b)−g(a) = f0(c) g0(c).
3. On suppose quelimx→af0(x)
g0(x) existe. On notelcette limite. Montrer que
x→alim
f(x)−f(a) g(x)−g(a) =l.
Exercice 47. Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur[a, b]et dérivable sur]a, b[.De plus, on suppose quef0 :]a, b[→Rtend vers+∞à droite ena.Montrer quef n’est pas dérivable à droite ena.
Exercice 48. Soient a ∈ R etf : [a,+∞[→ Rune fonction continue. On suppose que f(a) = 0, limx→+∞f(x) = 0etf est dérivable sur l’intervalle]a,+∞[.Posonsb= exp(−a).
1. Soitg: [0, b]→Rla fonction définie parg(0) = 0etg(x) =f(−lnx)six6= 0.Montrer que gest continue.
2. Calculerg(b).Montrer quegest dérivable sur l’intervalle]0, b[et calculerg0(x).
3. Montrer qu’il existec∈]a,+∞[tel quef0(c) = 0.Commentaire ? Formules de Taylor et développements limités
Exercice 49. 1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction exponentielle entre un point xet le point0et à l’ordren.
2. Montrer que pour touta∈R,la suite(an!n)n∈Ntend vers0.
3. En déduire que pour toutx∈R,on a ex= lim
n→+∞(1 + x 1!+x2
2! +· · ·+xn n!).
Exercice 50. Montrer que pour toutx∈R, 1. |cosx−1| ≤ x22
2. |cosx−1 +x22| ≤ x4!4 3. |cosx−1 +x22 −x4!4| ≤ x6!6
Exercice 51. Montrer que sif ∈ Cn(I),alorsf admet un développement limité à l’ordren en tout point deI.Quels sont les coefficients de ce développement limité ?
Exercice 52. 1. Montrer quef admet un développement limité à l’ordre0enx0si et seulement si f est continue enx0.
2. Montrer quefadmet un développement limité à l’ordre1enx0si et seulement sifest dérivable enx0.
3. Soitf :R→Rla fonction définie par f(x) =
0six= 0, x3sinx1 six6= 0.
Montrer quef admet un développement limité à l’ordre 2 en0et que pourtantf n’est pas deux fois dérivable en0.
Exercice 53. Soita >0etf :R→Rdéfinie parf(x) =|x|asix6= 0etf(0) = 0.
1. Pour quelles valeurs deala fonctionf est-elle de classeC1? 2. Pour quelles valeurs deala fonctionf est-elle de classeC2? Exercice 54. Montrer que pour toutx >0,on a
3 2
√x+ 3 8√
x+ 1 ≤(x+ 1)32 −x32 ≤ 3 2
√x+ 3 8√
x.
Exercice 55. 1. Développement limité dex 7→ exp(x−1)à l’ordre3 au point0. En déduire le développement limité dex7→expxà l’ordre3au point−1.
2. Développement limité dex7→√
xà l’ordre2au point4.
3. Développement limité à l’ordre2dex7→lnxau pointe.
4. Développement limité à l’ordre3dex7→arctan1−x1 au point0.
5. Développement limité à l’ordre7dex7→x4−1au point0puis au point−1.
6. Développement limité à l’ordre3dex7→sinx−cosx+ tanx+1−x1 au point0.
7. Développement limité à l’ordre3dex7→ln sinxau point π2. 8. Développement limité à l’ordre4dex7→(1 +√
1 +x2)12 au point0.
9. Développement limité à l’ordre4dex7→ecosxau point0.
Exercice 56. Soitn≥1etf(x) =P(x) +xnε(x)le développement limité def à l’ordrenen0(donc Pest un polynôme de degrénet la fonctionεtend vers0en0). Montrer que sifest paire (resp. impair), alorsP est pair (resp. impair).
Exercice 57. Soitf :R→Rune fonction de classeC2telle quef(0) = 0.Calculer la limite de f(x) +f(−x)
x2 quandxtend vers0.
Exercice 58. Soit f une fonction qui admet un développement limité en 0 à l’ordre n: il existe un polynômeP de degrénet une fonctionεqui tend vers0en0telle que pour toutx ∈I,on af(x) = P(x) +xnε(x).On suppose quef admet une primitiveF.Le but de cet exercice est de montrer queF admet un développement limité à l’ordren+ 1en0.
1. Montrer qu’il existe un unique polynômeQde degrén+ 1tel queQ0 =P etQ(0) =F(0).
2. Appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction F −Qentre un point x 6= 0et0 puis conclure.
Exercice 59. Soientf :I → Rune fonction de classeC2 eta∈ I.On dit quef admet un minimum local enas’il existeη >0tel que pour toutx∈]a−η, a+η[∩I,on af(x)≥f(a).
1. Montrer que sif admet un minimum local ena,alorsf0(a) = 0etf00(a)≥0.
2. Montrer que sif vérifie :f0(a) = 0etf00(a)>0,alorsf admet un minimum local ena.
3. Donner un exemple de fonctionf :I →Reta∈Itels quef0(a) = 0 =f00(a)et f n’admet pas un minimum local ena.
Exercice 60. Soita∈R. On considère la fonctionf :R∗ →Rdéfinie par f(x) =a(1 +x2)1x −cosx.
1. Calculer en fonction deala limite def en0. En déduire quef peut être prolongée par continuité surR.
Dans la suite, on note de nouveauf ce prolongement àR. On noteCf le graphe def. 2. Montrer quef est de classeC1surR∗.
3. Montrer quef est de classeC1surRet préciser en fonction deala dérivée def en0.
4. Donner la tangente à Cf en(0, f(0))et préciser en fonction de ala position locale deCf par rapport à cette tangente.
FonctionsC∞
Exercice 61. Soitf :R→Rla fonction définie par f(x) =
( 0six≤0, e−1x six >0.
Montrer quef estC∞(R)et calculer son développement limité à tout ordre en0.Conclusion ? Exercice 62. On définitf :R→Rpar
f(x) =
0six≤ −1, e
1
x2−1 si −1< x <1, 0six≥1.
1. Montrer quef est continue en tout point deR, 2. (a) Montrer quef est de classeC∞sur]−1,1[,
(b) Soitn∈N∗. Montrer qu’il existe deux polynômespnetqntels que pour toutx∈]−1,1[
f(n)(x) = pn(x) qn(x)e
1 x2−1
On ne demande pas de calculerpnetqnmais seulement de montrer leur existence.
(c) Soitn∈N∗. Montrer quelimx→1
x<1 f(n)(x) = 0.
3. Montrer quef est de classeC∞surR. (Penser au théorème de prolongement dérivable !) 4. Soitn∈N∗. Donner le développement limité def à l’ordrenau point1.
Exercice 63. On définit pour toutx∈]0,+∞[,
f(x) =e−x2.
1. Montrer quef se prolonge par continuité à0.On note encoref le prolongement.
2. Montrer quef est dérivable sur[0,+∞[.Est-ce quef ∈C1([0,+∞[)?
3. Montrer que pour toutn∈N,il existe une fonction polynomialePn:R→Rtelle que pour tout x >0,
f(n)(x) =Pn(x)e−x2. En déduire quef ∈C∞([0,+∞[).
4. On prolongef par parité àR.On note encoref le prolongement. A-t’onf ∈C∞(R)?
