Fonctions de deux variables réelles

Chapitre 29

Fonctions de deux variables réelles

Dans ce chapitre, on note(e1, e2)désigne la base canonique deR². L'ensembleAdésigne une partie deR² etU désigne un ouvert deR². Le produit scalaire usuel surR² ouR³ sera notéh·,·i. I - Continuité

I.1 - Normes Définition 1 (Norme).

On appelle norme surR² toute applicationN telle que (i). N : R² →R+.

(ii). Séparation. ∀ x∈R²,[N(x) = 0 ⇒ x= 0].

(iii). Homogénéité.∀ (λ, x)∈R×R², N(λx) =|λ| ·N(x).

(iv). Inégalité triangulaire. ∀ (x, y)∈R², N(x+y)≤N(x) +N(y).

Théorème 1 (Exemples).

Soient k · k_∞ : R² → R+,(x₁, x₂) 7→ sup{|x₁|,|x₂|} etk · k₂ : R² → R+,(x₁, x₂) 7→

px²₁+x²₂.

(i). k · k∞ etk · k₂ sont des normes de R².

(ii). Il existe deux réels strictement positifs a, btels que pour tout x∈R², akxk_∞≤ kxk₂ ≤bkxk_∞.

On dit que ces deux normes sont équivalentes.

Remarque.Dans toute la suite, la notationk · k désigne indiéremment la norme2 ou la norme innie.

Définition 2 (Partie bornée, Boule). Soienta∈R², r >0 etA⊂R².

(i). On dit que A est bornée s'il existe un réel strictement positif M tel que pour tout vecteurx∈A,kxk ≤M.

(ii). On appelle boule ouverte de centreaet de rayonrl'ensembleB(a, r) ={x∈R² ; kx− ak< r}.

(iii). On dit que A est un ouvert de R² si A = ∅ ou si pour tout vecteur x ∈ A, il existe ε >0tel que B(x, ε)⊂A.

Exercice 1.Pour chacune des normesk · k_∞,k · k₁,k · k₂, représenter graphiquement la boule unité.

I.2 - Applications dénies sur R²

L'ensemble F(A,R) est naturellement muni d'une structure deR-espace vectoriel stable par multiplication interne.

Définition 3 (Applications partielles).

Soientf ∈F(A,R)et(α, β)∈A. On dénitI1(β) ={x∈R; (x, β)∈A}etI2(α) ={y∈ R ; (α, y)∈A}. Les fonctionsf₁ : I₁(β) →R, t7→f(t, β) etf₂ : I₂(α)→ R, t7→f(α, t) sont appellées applications partielles de f.

Définition 4 (Limite et Continuité).

SoientA⊂R² un ouvert, `∈R,f ∈F(A,R) eta∈A. (i). On dit que f a pour limite `en asi

∀ε >0,∃ η >0 ; ∀ u∈A, [ku−ak< η ⇒ |f(u)−`| ≤ε].

(ii). Si f admet une limite en a, celle-ci est égale àf(a). On dit que f est continue en a.

(iii). On dit que f est continue sur A si elle est continue en tout point de A. On notera C(A,R)l'ensemble des fonctions continues sur A.

Exercice 2.

1. Montrer que les projections p₁ : R² → R,(x, y) 7→ x et p₂ : R² → R,(x, y) 7→ y sont continues.

2. Montrer que sif est continues, ses applications partiellesf1 etf2 le sont également.

3. Soit f la fonction dénie sur R² par f(x, y) = _x2^xy+y², f(0,0) = 0. Montrer que f n'est pas continue en (0,0)alors que ses applications partielles le sont.

Théorème 2 (Structure).

Soientf, g∈C(A,R)etλ∈R.

(i). λf+g∈C(A,R). (ii). f g∈C(A,R).

(iii). Si g ne s'annule pas sur A, alors ^f_g est continue en A. I.3 - Extension aux fonctions à valeurs dans R²

Définition 5 (Limite et Continuité).

SoitA un ouvert de R²,f ∈F(A,R²), a∈A et`∈R<sup>2</sup>. (i). On dit que f admet pour limite `en asi

∀ ε >0,∃ η >0 ; ∀x∈A,[kx−ak< η ⇒ kf(x)−`k< ε].

(ii). Si f admet une limite en a, celle-ci est égale àf(a). On dit que f est continue en a. Théorème 3.

Soitf = (f1, f2)et`= (`1, `2). Alorslim

a f =`si et seulement silim

a1

f1 =`1etlim

a2

f2=`2. Théorème 4 (Structure).

Soient f : A → R^p et g : B → Rⁿ, où g(B) ⊂ A, B ⊂ R^q et p, q, n = 1 ou 2. La fonction f◦gest bien dénie surB. De plus, sigest continue en betf est continue eng(b), alorsf ◦g est continue enb.

L•ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš 157 A. C€a’m€a’n€eš

II - Calcul diérentiel II.1 - Dérivée directionnelle Définition 6 (Dérivée directionnelle).

Soienta∈U eth∈R². Il existe un réel δ >0 tel que pour toutt∈]−δ, δ[,a+th∈U. On pose alors ϕ_h : ]−δ, δ[→ R, t 7→ f(a+ th). Si la fonction ϕ_h est dérivable en 0, on dit que f admet une dérivée directionnelle suivant le vecteur h au point a et on note

∂_hf(a) =ϕ⁰_h(0) = lim

t→0

f(a+th)−f(a)

t .

Notations.Généralement, la dérivée directionnelle au pointa, selon le vecteurhest notéeDhf(a).

∗ Lorsque h=e1, on note∂e1f(a) =∂1f(a) = _∂x^∂f

1(a) = ^∂f_∂x(a).

∗ Lorsque h=e₂, on note∂_e2f(a) =∂₂f(a) = _∂x^∂f

2(a) = ^∂f_∂y(a). Exercice 3.

1. Soient a, b, c trois réels et f : R² → R,(x, y) 7→ ax +by +c. Déterminer les dérivées directionnelles def selone1 ete2.

2. Soitf la fonction dénie sur R² parf(x, y) = _x^x4⁴+y^y44, f(0,0) = 0. Montrer que f est continue en (0,0)puis déterminer ses dérivées partielles selon tout vecteur h en(0,0).

3. Soit f la fonction dénie sur R² par f(x, y) = _x2^xy+y², f(0,0) = 0. Montrer que f n'est pas dérivable en (0,0).

4. Montrer que la fonction k · k₂ admet une dérivée partielle selon le vecteur h en tout point (x, y)6= (0,0). Qu'en est-il en(0,0)?

II.2 - Fonctions de classe C¹ sur un ouvert de R² Définition 7 (Fonctions de classeC¹).

Soitf une fonction dénie sur U. On dit quef est de classeC¹ surU si∂1f et∂2f sont dénies et continues sur U. On notera C¹(U,R) l'ensemble des fonctions de classe C¹ surU à valeurs réelles.

Théorème 5 (Développement limité d’ordre1).

Soitf une fonction de classeC¹ surU eta= (a1, a2)∈U. Alors, il existe une fonction ε telle que lim

a ε= 0 et pour tout u= (x, y)∈U,

f(u) =f(a) + (x−a1)∂1f(a) + (y−a2)∂2f(a) +ku−ak∞ε(u).

On dit que f admet un développement limité à l'ordre 1en a.

De plus, pour touth= (h1, h2)∈R²,∂hf(a) =h1∂1f(a) +h2∂2f(a). On a ainsi, dès que a+h∈U,

f(a+h) =f(a) +∂_hf(a) +khk_∞ε(h).

Définition 8 (Différentielle).

Soient f une fonction de classe C¹ sur U et a ∈ U. L'application h 7→ ∂_hf(a) est une application linéaire en h. On l'appelle la diérentielle de f enaet on la note df(a).

Exercice 4.Déterminer la matrice de la diérentielle de f ena dans la base canonique.

Définition 9 (Gradient).

Soitf ∈C¹(U,R) eta∈U. On note∇f(a) =

∂1f(a)

∂₂f(a)

. Propriété 1.

Soitf ∈C¹(U,R) eta∈U. Alors, pour touth∈R²,

II.3 - Fonctions composées Théorème 6 (Règle de la chaîne).

Soit f ∈ C¹(U,R) et g = (g1, g2) : I ⊂ R → U une fonction de classe C¹. Alors, la fonction f◦g est dérivable et pour toutt∈I

(f ◦g)⁰(t) =g⁰₁(t)∂1f(g(t)) +g⁰₂(t)∂2f(g(t)).

Corollaire 7.

Soitf ∈C¹(U,R). Pour tout a∈U,∇f(a) désigne la direction de la plus grande pente au pointa.

II.4 - Extrema

Définition 10 (Extremum local). Soitf ∈C¹(U,R) eta∈U.

(i). On dit quef présente un maximum local en as'il existe un ouvertV ⊂U contenanta tel que pour tout x∈V,f(x)≤f(a).

(ii). On dit que f présente un minimum local enas'il existe un ouvertV ⊂U contenanta tel que pour tout x∈V,f(x)≥f(a).

(iii). On dit quefprésente un extremum local enasif présente un maximum ou un minimum local ena.

Théorème 8 (Recherche d’extrema).

SoientU un ouvert de R² etf ∈C¹(U,R). Sif présente un extremum local ena, alors

∇f(a) = 0

0

.

Exercice 5.

1.En étudiant la fonctionf : R²→R,(x, y)7→x²−y², montrer que la réciproque du théorème précédent est fausse.

2. Déterminer les dérivées directionnelles de f : R² → R,(x, y)7→ y(y−x²). Déterminer leurs variations au voisinage de (0,0)puis étudier la fonction f au voisinage de(0,0).

3. Rechercher les extrema de la fonction f : D → R,(x, y) 7→ x²+xy+y², où D ={(x, y) ∈ R² ; x²+y² ≤1}.

II.5 - Dérivées secondes Définition 11 (Dérivées secondes).

Soitf une fonction de classe C¹ surU eta∈U. Si _∂x^∂f₁ admet une dérivée partielle en a par rapport à la première variable, alors on dit quef admet une dérivée partielle seconde par rapport àx1 puisx1. On la note ^∂_∂x^2f2

1

(a). On dénit de manière analogue _∂x^∂₁²_∂x^f ₂(a) = ^∂

∂f

∂x2

∂x1 (a),

∂²f

∂x²₂(a) = ^∂

∂f

∂x2

∂x2 (a)et _∂x^∂₂²_∂x^f ₁(a) = ^∂

∂f

∂x1

∂x2 (a).

Si ces quatres dérivées partielles secondes sont dénies et continues sur U, alors _∂x^∂f₁ et _∂x^∂f₂ sont de classeC¹ sur U. On dit quef est de classe C² surU.

Théorème 9 (Théorème de Schwarz).

SoitU un ouvert de R² etf une fonction de classeC² surU. Alors, _∂x^∂₁²_∂x^f₂ = _∂x^∂2f

2∂x1.

L•ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš 159 A. C€a’m€a’n€eš

Exercice 6.Calculer _∂x^∂₁²_∂x^f ₂ et _∂x^∂₂²_∂x^f ₁ en (0,0) de la fonctionf dénie sur R² par f(x, y) =

xy³

x²+y², f(0,0) = 0.

Exercice 7. (Équation des cordes vibrantes)Donner la forme des solutions de l'équation ^∂_∂t^2y2 = c^2∂_∂x^2y2

1, où c= qT0

µ ∈R+.

III - Une brève extension à R³ - Champs de vecteurs

Dans cette partie, U désigne un ouvert de R³, muni d'un repère orthonormé direct (O,−→e₁,−→e₂,−→e₃).

III.1 - Dénitions

Définition 12 (Champ de vecteurs).

SoientP, Q, R trois fonctions deU dansRetV = (P, Q, R). On dit queV est un champ de vecteurs.

Notations.On étend la notion de dérivée directionnelle que l'on notera _∂x^∂P₁, _∂x^∂P

2 et _∂x^∂P₃. On dit queV est de classeC¹ (resp. C²) si P, QetR sont de classeC¹ (resp.C²).

Remarque.Le théorème de Schwarz s'étend aux fonctions de R³, avec les mêmes restrictions.

Définition 13 (Différentielle).

On appelle diérentielle deV en a, notée dV(a) l'application linéaire dénie deR³ dans R³ dont la matrice dans la base canonique est







∂P

∂x1

∂P

∂x2

∂P

∂x3

∂Q

∂x1

∂Q

∂x2

∂Q

∂x3

∂R

∂x1

∂R

∂x2

∂R

∂x3







Théorème 10 (Développement limité d’ordre1).

SoitV un champ de vecteurs de classeC¹ surU. Alors,

V(a+h) =V(a) +dV(a)(h) +khk∞ε(h),

où lim

(0,0,0)ε(h) = (0,0,0).

Définition 14 (Jacobien, Divergence, Trace).

(i). On appelle Jacobien de V au pointala quantitéJac_a(V) = det(dV(a)).

(ii). On appelle divergence de V au point a la quantité diva(V) = Tr(dV(a)) = _∂x^∂P

1(a) +

∂Q

∂x2(a) +_∂x^∂R

3(a).

(iii). On appelle rotationnel de V au pointale vecteurrota(V) =







∂R

∂x2 −_∂x^∂Q

∂P 3

∂x3 −_∂x^∂R

∂Q 1

∂x1 −_∂x^∂P

2





.

Définition 15 (Gradient, Laplacien).

(i). Soit f ∈C¹(U,R). On appelle gradient def le vecteur∇f =







∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3





. (ii). Soit f ∈C²(U,R). On appelle laplacien def la quantité∆f = ^∂_∂x^2f2

1 +^∂_∂x^2f2 2 +^∂_∂x^2f2

3. Propriétés 2.

Soientf, g : U →RetV : U →R³ des fonctions de classeC¹. (i). ∇(f ·g) =f · ∇g+g· ∇f.

(ii). div(f·V) =h∇f,·Vi+f·divV. (iii). rot(f ·V) =f ·rotV +∇f∧V.

(iv). Si f etg sont de classeC²,∆(f g) =f∆g+g∆f+ 2h∇f,∇gi.

Exercice 8.Soient f une fonction etV un champ de vecteurs de classeC². Calculerrot(∇f) puis div(rot(V)).

Définition 16 (Potentiel scalaire).

SoitU ⊂R³ un ouvert et V : U →R³ un champ de vecteurs. On dit queV dérive d'un potentiel scalaire s'il existe une fonction f ∈C¹(U,R) telle queV =∇f.

Exercice 9.SoitV un champ de vecteur de classeC¹ dérivant d'un potentiel scalaire. Calculer rotV.

Définition 17 (Ouvert étoilé).

On dit que U est un ouvert étoilé s'il existe un point Ω ∈ U tel que pour tout point M ∈U, le segment[ΩM]est inclus dans U.

Théorème 11 (Caractérisation des potentiels scalaires).

SiU est un ouvert étoilé, tout champ de vecteurs de classe C¹ à rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire.

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