1 M 304 : Int´egration et Probabilit´es 1
Devoir 1, `a rendre dans la semaine du 8 au 13 novembre 2004
Nous rappelons l’importance de chercher et de r´ediger seul(e) des devoirs. Il n’est bien sˆur pas n´ecessaire d’avoir r´epondu `a toutes les questions pour rendre votre copie.
Probl`eme 1
Nous allons dans ce probl`eme identifier l’image de la mesure de Lebesgue λ2 de R2 par une transformation affine inversibleϕ,R2 ´etant identifi´e au plan muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,−→
i ,−→
j ) extrait d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,−→ i ,−→
j ,−→ k) dans l’espace.k k d´esignera la norme euclidienne deR2.
On rappelle que si (Ω,A, m) d´esigne un espace mesur´e quelconque, sif d´esigne une application de Ω dans lui-mˆeme, (A,A)-mesurable, on appelle mesure-image de m par f la mesure mf d´efinie sur l’espace mesurable image par
∀A∈ A, mf(A) = m(f−1(A))
et que l’on dit que la mesure m est invariante par f si mf = m. On admettra que l’aire λ2(D) de toute droite D du plan est nulle.
1 -D´emontrer queλ2 est invariante par la sym´etrie par rapport `a l’axe des abscisses (on pourra utiliser l’unicit´e du prolongement d’une mesure d´efinie sur le semi-anneau
S = ]a, b]×]c, d], a, b, c, d∈R, a≤b, c≤d
`
a la tribu engendr´ee par ce semi-anneau, qui est B(R2)).
2 - Calculer l’aire λ2(T) de tout triangle ferm´e T dont deux cˆot´es sont parall`eles aux axes. En d´eduire l’aire de tout triangle rectangle ferm´e.
3.a - Calculer l’aire de tout rectangle ferm´e.
3.b - D´emontrer que si P = [A, B, C, D] d´esigne un parall´elogramme du plan, λ2(P) =k−→
AB∧−−→
CD k.
4.a -En d´eduire l’image de la mesure de Lebesgueλ2deR2par toute transformation affine inversibleϕ, not´ee matriciellement
x7→ϕ(x) =A.x+a,
2
o`u A est une matrice r´eelle (2,2) inversible et a un vecteur donn´es.
4.b - En d´eduire que λ2 est invariante par toute isom´erie deR2.
4.c -Soit A un point du plan, r un r´eel, h l’homoth´etie de centreA et de rapport r. Quelle est la mesure-image de λ2 par cette homoth´etie ?
Probl`eme 2
Dans ce qui suit, λ d´esigne la restriction de la mesure de Lebesgue sur R `a la tribu B([0,1[).
1 -Pour tout entier n ≥1, on pose An =
2n−1−1
[
k=0
[2k
2n ,2k+ 1 2n [
et on consid`ere les variables al´eatoires Xn etSn d´efinies sur l’espace de probabilit´e [0,1[,B([0,1[), λ
par
X1 =1A1, . . . , Xn =1An et Sn=X1+· · ·+Xn.
Pourquoi la variable al´eatoire Xn repr´esente-t-elle bien le lancer d’une pi`ece `a pile ou face, pile et face ´etant identifi´es respectivement `a 1 et `a 0 ?
2.a -Soit un entier n≥2 et a1, . . . , an une suite den z´eros ou uns. D´emontrer que λ(X1 =a1, . . . , Xn =an) =
n
Y
k=1
λ(Xk =ak) = 1 2k·
On admettra que cela prouve que la suite (Xn, n ≥ 1) repr´esente bien toute suite infinie de lancers de la pi`ece.
2.b - En d´eduire que, quels que soient les entiers n et m tels que 1≤ n ≤m et la suite (an, . . . , am) de z´eros ou uns,
λ(Xn =an, . . . , Xm =am) = 1 2m−n+1·
3 - Exprimer, `a l’aide des variables al´eatoires Xn ou Sn, n ≥ 1, les ´ev´enements suivants et calculer leurs probabilit´es :
A : au cours des 10 premiers lancers, pile sort autant de fois que face, B : `a partir d’un certain moment, face sort tout le temps,
C : pile sort une infinit´e de fois, D : pile sort plus souvent que face.
On remarquera que la d´efinition de D n’est pas claire. Il faudra donc d’abord la compl´eter (`a votre choix) avant de calculer P(D).