Soit n un entier strictement positif et i , j des entiers tels que 1 ≤ i < j ≤ n . On dit que la permutation f de l'ensemble {1, 2, · · · , n} transpose la paire i, j si et seulement si f (i) = j et f (j) = i .

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Énoncé

Soit n un entier strictement positif et i , j des entiers tels que 1 ≤ i < j ≤ n . On dit que la permutation f de l'ensemble {1, 2, · · · , n} transpose la paire i, j si et seulement si f (i) = j et f (j) = i .

On note s

n

le nombre de permutations de {1, 2, · · · , n} ne transposant aucune paire. En particulier s

1

= 1 et par convention s

0

= 1 . On note aussi

u

n

= s

_n

n!

1. Calculer u

0

, u

1

, u

2

, u

3

2. a. Pour n ≥ 2 , exprimer en fonction de s

n−2

le nombre de permutations de {1, 2, · · · , n} transposant une seule paire.

b. Montrer qu'il existe des permutations de {1, 2, · · · , n} transposant exactement k paires si et seulement si 0 ≤ k ≤ E(

ⁿ₂

)

c. Montrer que le nombre de ces permutations est alors C

_n^2k

(2k − 1)(2k − 3) · · · 3.1 s

n−2k

3. a. Exprimer s

n

en fonction des s

j

pour j entre 0 et n . b. En déduire que, pour tout entier naturel n ,

u

n

= 1 −

E(ⁿ₂)

X

k=1

u

n−2k

2

^k

k! (1)

4. a. Démontrer par récurrence à l'aide de la relation (1) que, pour tout entier naturel p , u

_2p+1

= u

_2p

b. Pour tout entier naturel p , on pose v

_p

= 2

^p

u

_2p

. Calculer v

_p

en fonction des v

_j

pour j ∈ {0, 1, · · · , p − 1} .

c. Calculer v

₀

, v

₁

, · · · , v

₄

puis u

₀

, u

₁

, · · · , u

₉

et enn s

₀

, s

₁

, · · · , s

₉

. 5. a. Démontrer que pour tout p ≥ 1 ,

u

2p

− u

_2p−2

= (−1)

^p

2

^p

p!

b. En déduire que la suite (u

n

)

n∈N

converge vers un nombre de ]0, 1[ .

Corrigé

1. Par convention s

₀

= 1 . L'identité est la seule permutation d'un ensemble à un élément, elle ne transpose aucune paire donc s

1

= 1 . Un ensemble à deux éléments admet deux permutations : une transpose une paire l'autre non donc s

2

= 1 . Un ensemble à trois éléments admet six permutations : l'identité deux 3-cycles et deux transpositions. Les trois transpositions transposent chacune une paire, les trois autres permutations n'en transposent aucune donc s

3

= 3 . On en déduit

u

₀

= 1, u

₁

= 1, u

₂

= 1

2 , u

₃

= 1 2

2. a. Dans un ensemble à n éléments on peut former C

_n²

=

ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂

paires. Il existe donc

n(n−1)

2

s

_n−2

permutations qui transposent exactement une paire.

b. Si k n'est pas entre 0 et E(

ⁿ₂

) , on ne peut pas trouver k paires distinctes dans l'ensemble. Il ne peut donc pas exister de permutations xant k paires. En revanche, lorsque k est entre 0 et E(

ⁿ₂

) , on peut trouver k paires distinctes. La permutation composée des transpositions associées à ces paires les transpose évidemment.

c. Le nombre de permutations transposant exactement k paires est le nombre de parties à 2k éléments multiplié par le nombre de permutations transposant k paires dans un ensemble à 2k éléments.

Commençons par calculer le nombre x

k

de familles de k paires dont la réunion forme l'ensemble à 2k éléments. Il est clair que x

1

= 1 et que x

k

=

^2k(2k−1)₂

x

k−1

en considérant à part la première paire. On en déduit x

k

= k! (2k − 1)(2k − 3) · · · 1

Comme deux transpositions disjointes commutent, le nombre de permutations ainsi formées n'est pas le nombre de familles mais le nombre de partitions soit

^x_k!^k

. On en déduit que le nombre de parmutations transposant exactement k paires est

C

_n^2k

(2k − 1)(2k − 3) · · · 1 s

_n−2k

3. a. On peut classer toutes les permutations (il y en a n! ) suivant le nombre de paires qu'elles transposent. On en déduit

n! = s

_n

+

E(ⁿ₂)

X

k=1

nb de permut transposant k paires

= s

n

+

E(ⁿ₂)

X

k=1

C

_n^2k

(2k − 1)(2k − 3) · · · 1 s

_n−2k

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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b. En faisant passer la somme de l'autre côté de l'égalité et en divisant par n! , on obtient

u

_n

= 1 −

E(ⁿ₂)

X

k=1

(2k − 1)(2k − 3) · · · 1 (2k)!

s

_n−2k

(n − 2k)!

Dans

(2k−1)(2k−3)···1

(2k)!

, le produit de tous les impairs entre 1 et 2k se simplie laissant seulement le produit des puissances paires au dénominateur. On peut factoriser k fois le nombre 2 d'où

u

_n

= 1 −

E(ⁿ₂)

X

k=1

u

_n−2k

2

^k

k! (2)

4. a. On veut montrer que u

2p+1

= u

2p

. Remarquons que E(

^2p+1₂

) = E(

^2p₂

) = p . On en déduit que u

2p+1

et u

2p

sont égaux à des sommes ayant le même nombre de termes.

Les indices intervenant dans ces sommes sont de la forme 2p+1−2k = 2(p−k)+1 et 2p − 2k = 2(p − k) avec k ≥ 1 . Par conséquent, en raisonnant par récurrence sur p , les u correspondants sont égaux. On en déduit u

_2p+1

= u

_2p

.

b. On pose v

p

= 2

^p

u

2p

. Après multiplication par 2

^p

, la relation (1) devient

v

p

= 2

^p

−

p

X

k=1

2

^p−k

k! u

_2p−2k

= 2

^p

−

p−1

X

j=0

v

j

(p − j)!

en posant j = p − k .

c. Le calcul se fait récursivement à la machine à l'aide de la formule précédente. On obtient

v

0

= 1, v

1

= 1, v

2

= 5

2 , v

3

= 29

6 , v

4

= 233 24 u

0

= u

1

= 1, u

2

= u

3

= 1

2 , u

4

= u

5

= v

2

4 = 5 8 u

6

= u

7

= v

3

8 = 29

48 , u

8

= u

9

= v

4

16 = 233 384 s

0

= 1, s

1

= 1, s

2

= 1, s

3

= 3!u

3

= 3, s

₄

= 4! 5

8 = 15, s

₅

= 5! 5

8 = 75, s

₆

= 6! 29 48 = 435, s

₇

= 7! 29

48 = 3045, s

₈

= 8! 233

384 = 24465, s

₉

= 9! 233

384 = 220185

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