On note s n le nombre de permutations de {1, 2, · · · , n} ne transposant aucune paire. En particulier s 1 = 1 et par convention s 0 = 1 . On note aussi

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septembre 2019

Problème 1

Soit n un entier strictement positif et i , j des entiers tels que 1 ≤ i < j ≤ n . On dit que la permutation f de l'ensemble {1, 2, · · · , n} transpose la paire i, j si et seulement si f (i) = j et f (j) = i .

On note s n le nombre de permutations de {1, 2, · · · , n} ne transposant aucune paire. En particulier s 1 = 1 et par convention s 0 = 1 . On note aussi

u _n = s _n n!

1. Calculer u 0 , u 1 , u 2 , u 3

2. a. Pour n ≥ 2 , exprimer en fonction de s _n−2 le nombre de permutations de {1, 2, · · · , n} transposant une seule paire.

b. Montrer qu'il existe des permutations de {1, 2, · · · , n} transposant exactement k paires si et seulement si 0 ≤ k ≤ E( ⁿ ₂ )

c. Montrer que le nombre de ces permutations est alors C _n ^2k (2k − 1)(2k − 3) · · · 3.1 s _n−2k

3. a. Exprimer s n en fonction des s j pour j entre 0 et n . b. En déduire que, pour tout entier naturel n ,

u n = 1 −

E(

)

X

k=1

u n−2k

2 ^k k! (1)

4. a. Démontrer par récurrence à l'aide de la relation (1) que, pour tout entier naturel p , u 2p+1 = u 2p

b. Pour tout entier naturel p , on pose v _p = 2 ^p u _2p . Calculer v _p en fonction des v _j pour j ∈ {0, 1, · · · , p − 1} .

c. Calculer v 0 , v 1 , · · · , v 4 puis u 0 , u 1 , · · · , u 9 et enn s 0 , s 1 , · · · , s 9 . 5. a. Démontrer que pour tout p ≥ 1 ,

u _2p − u _2p−2 = (−1) ^p 2 ^p p!

b. En déduire que la suite (u n ) _n∈N converge vers un nombre de ]0, 1[ .

Problème 2

Dans ce problème

, n désigne un entier naturel. Pour toute matrice A ∈ M _n ( R ) , le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P A ) est le polynôme associé à la fonction x → det(xI n − A) de R dans R.

Partie I. Coecients du polynôme caractéristique

1. Calculer les polynômes caractéristiques des matrices suivantes :









0 0 0 −a 1 0 0 −b 0 1 0 −c 0 0 1 −d







 ,





0 a b

−a 0 c

−b −c 0





2. Soit A ∈ M n ( R ) , préciser le degré de P A , son coecient dominant, le coecient du terme de degré n − 1 et le coecient du terme de degré 0.

3. Pour i entre 1 et n , on note X i ∈ M n,1 ( R ) la colonne dont tous les coecients sont nuls sauf celui d'indice i qui vaut 1.

a. Montrer que pour B ∈ M _n ( R ) et h réel, le coecient de h dans le développement de det(hI n + B) est tr( ^t Com B) .

b. En déduire le coecient du terme de degré 1 dans P A .

Partie II. Théorème de Cayley-Hamilton

Dans cette partie et la suivante, A ∈ M n ( R ) est xée et on note P au lieu de P A avec

P = P A = X ⁿ + a 1 X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² + · · · + a _n−1 X + a n et a 0 = 1 On dénit aussi, pour tout x réel, la matrice C(x) par

C(x) = ^t Com(xI _n − A)

1. Soit B 0 , B 1 , · · · , B n des matrices dans M n ( R ) telles que, pour une innité de x réels, B 0 + xB 1 + · · · + x ⁿ B n = 0

₍

₎

Montrer que B 0 , B 1 , · · · , B n sont nulles. En déduire un principe d'identication à for- muler clairement.

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d'après Ec Sup d'Ingénieurs de Marseille Math 2 M 1990

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septembre 2019

2. Montrer qu'il existe des matrices C 0 , C 1 , · · · , C n−1 ∈ M n ( R ) telles que C(x) = C ₀ + xC ₁ + · · · + x ⁿ⁻¹ C _n−1

3. Montrer les relations suivantes

C _n−1 = I n

C _n−2 − C _n−1 A = a ₁ I _n C n−3 − C n−2 A = a 2 I n

...

C 0 − C 1 A = a _n−1 I n

−C 0 A = a _n I _n 4. a. Exprimer C _n−1 , C _n−2 , · · · , C 1 , C 0 en fonction de A .

b. Prouver le théorème de Cayley-Hamilton c'est à dire

A ⁿ + a 1 A ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 A + a n I n = 0

₍

₎

Partie III. Application aux matrices nilpotentes

1. a. Écrire le développement de P(x + h) suivant les puissances de h à l'aide de la formule de Taylor.

b. Montrer que P

(x) = tr(C(x)) .

2. Montrer que tr(C _j ) = (j + 1) a _n−j−1 pour tous les j entre 1 et n − 1 . 3. Montrer que tr(A) = tr(A ² ) = · · · = tr(A ⁿ ) = 0 implique A ⁿ = 0

₍

₎ .

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