L3 EURIA - Intégration
Contrôle continu N3 - 5/12/2016
I. a) Donner l'énoncé du théorème de convergence dominée.
b) Soit f intégrable pour la mesure de Lebesgue sur R. Montrer que l'applicationF(x) = Rx
−∞f(t)dt est continue.
II. On se place dans R muni de la mesure de Lebesgue. Soit (rn) une énumération des rationnels. On pose pour tout n,
un(x) = 1
√x−rn1]0,1[(x−rn), et f(x) = X
n
2−nun(x).
a) Soit I un intervalle d'intérieur non vide. Montrer que f n'est pas bornée surI (on pourra comparer à un pour unrn ∈I).
b) Montrer queR
Rundλ= 2.
c) Montrer que f est intégrable au sens de Lebesgue et que la série dénissant f est nie presque partout.
III. Soit f: R→Rune fonction borélienne positive et λ la mesure de Lebesgue sur R2.
a) Rappeler l'énoncé du théorème de Fubini.
b) Exprimer l'ensemble Af = {(x, y)∈ R2: 0 ≤ y ≤f(x)} à l'aide de la fonction g(x, y) = y−f(x). En déduire que Af est un borélien de R2 et calculer sa mesure de Lebesgue λ(Af)par des intégrales.
c) Même question pour le graphe Gf ={(x, f(x))∈R2: x∈R} def.
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