Mesure de Lebesgue et repr´esentation de Riesz

(1)

Mesure de Lebesgue et repr´esentation de Riesz

On donne dans ce texte une d´ emonstration unifi´ ee et auto-contenue des th´ eor` emes d’extension de Caratheodory et de repr´ esentation de Riesz. Le premier permet en particulier d’´ etendre uniquement une probabilit´ e d´ efinie sur une alg` ebre de parties d’un ensemble ` a la σ-alg` ebre qu’il engendre. Il m` ene ` a une construction imm´ ediate de la mesure de Lebesgue sur r0, 1s et donc de la mesure de Lebesgue sur R

^d

. Tout ceci est expliqu´ e dans la section 2. L’unicit´ e dans le th´ eor` eme d’extension repose sur un ´ enonc´ e qui fait l’objet de la section 1, qui permet de v´ erifier que tous les ´ el´ ements d’une σ-alg` ebre ont une propri´ et´ e donn´ ee, caract´ eris´ ee par leur appartenance ` a une classe de parties. L’´ enonc´ e de repr´ esentation de Riesz affirme que la for- mule Epf q “ ş

f pxq Ppdxq , pour f P C

_c

pR

^d

q , d´ efinit une bijection entre l’espace des probabilit´ es sur R

^d

et l’espace des formes lin´ eaires continues de norme 1 sur l’espace C

_c

pR

^d

q des fonctions continues ` a support compact, muni de la norme du supremum. Ceci est expos´ e dans la section 3.

1 – Classe monotone

On fixe dans cette partie un ensemble Ω dont on consid` ere des familles de sous-ensembles.

Un λ-syst` eme (de Ω) est une famille de parties de Ω stable par compl´ ementation et r´ eunion finie ou d´ enombrable disjointes. Un π-syst` eme (de Ω) est une famille de parties de Ω stable par intersection finie. Une famille de parties de Ω qui est ` a la fois un λ-syst` eme et un π-syst` eme est donc une σ-alg` ebre (= une tribu). On note σp P q la plus petite σ-alg` ebre contenant une famille P de parties d’un ensemble donn´ e ; on parle de σ-alg` ebre engendr´ ee par P . Pensez ci-dessous ` a L comme la famille des parties de Ω ayant une certaine propri´ et´ e.

Lemme 1 . Soit L un λ-syst` eme et P un π-syst` eme. Si P Ă L alors σp P q Ă L.

Tous les ´ el´ ements de σpP q ont donc la propri´ et´ e caract´ erisant L si les ´ el´ ements de P ont cette propri´ et´ e.

D´ emonstration – Notons L p P q le plus petit λ-syst` eme contenant P. Il nous suffit de voir que c’est un π-syst` eme ; ce sera alors une σ-alg` ebre qui contiendra P donc σp P q . Pour montrer que A X B P L p P q pour tout A, B P L p P q , on montre d’abord que la famille

A; A X B P L p P q, @ B P P (

est un λ-syst` eme qui contient P – elle contient donc L p P q ; c’est ´ el´ ementaire. La famille B

¹

; A

¹

X B

¹

P L p P q, @ A

¹

P L p P q (

contient donc P , et forme un λ-syst` eme. Elle contient donc LpP q, ce qui est la conclusion recherch´ ee. B L’´ enonc´ e pr´ ec´ edent est dˆ u ` a Dynkin. On utilisera dans notre d´ emonstration du th´ eor` eme de repr´ esentation de Riesz la version ‘fonctionnelle’ suivante du lemme de Dynkin.

Th´ eor` eme 2 . ^Soit H un espace vectoriel de fonctions born´ ees d´ efinies sur Ω, contenant la fonction constante 1, et stable par convergence croissante born´ ee. Si H contient une famille G stable par multiplication alors H contient l’ensemble des fonctions born´ ees mesurables par rapport ` a la tribu engendr´ ee par G.

D´ emonstration – On montre sans mal que la famille L :“ tA ; 1

_A

P Hu est un λ-syst` eme en cons´ equences de hypoth` eses faites sur H. Notons P la famille des parties de Ω de la forme

f

1

P I

1

, . . . , f

n

P I

n

( , pour n ě 1, des fonctions r´ eelles f

i

P G, et I

i

des intervalles de R. C’est un π-syst` eme. ´ Etant donn´ e un ´ el´ ement de P , d´ esignons par c un majorant com- mun ` a f

1

, . . . , f

n

, et notons avec Weierstrass pP

_kⁱ

q

kě0

une suite de polynˆ omes convergeant ponctuellement et de facon born´ ee sur l’intervalle r´c, cs vers l’indicatrice 1

_I_i

, pour chaque 1 ď i ď n. Les f

_i

´ etant dans la famille ‘multiplicative’ G, on d´ efinit un ´ el´ ement de G, donc de H, en posant g

_k

pωq :“ P

_k¹

pf

₁

pωqq ¨ ¨ ¨ P

_kⁿ

pf

_n

pωqq. Ces derni` eres convergent ponctuelle- ment de facon croissante et born´ ee vers l’indicatrice de l’ensemble f

1

P I

1

, . . . , f

n

P I

n

( , qui est donc un ´ el´ ement de L puisque la famille H est stable par convergence born´ ee. Le lemme de Dynkin nous assure alors que σp P q Ă L. On a par d´ efinition σpGq :“ σp P q . On conclut en rappelant que toute fonction f born´ ee mesurable par rapport ` a σpP q est limite

1

(2)

2 croissante born´ ee des fonctions ř

k

k2

^´n

1

_k2^´n_ăfďpk`1q2^´n

, lorsque n croit ind´ efiniment, en utilisant ` a nouveau que la famille H est stable par convergence born´ ee. B

2 – Mesure de Lebesgue

Je rappelle qu’une fonction additive r´ eelle µ sur une alg` ebre de parties de Ω est une fonction µ sur A telle que µpAYBq “ µpAq`µpBq lorsque A et B sont des ´ el´ ements disjoints de l’alg` ebre.

Th´ eor` eme 3 . Soit pΩ, F q un espace mesurable, A Ă F une alg` ebre et µ : A Ñ r0, 1s une fonction additive telle que µpHq “ 0 et µpΩq “ 1, et pour toute suite pA

n

q

ně0

d’´ el´ ements de A d´ ecroissant vers l’ensemble vide on a µpA

_n

q Ñ 0. Alors µ s’´ etend de facon unique en une probabilit´ e sur σp A q .

Cet ´ enonc´ e est dˆ u ` a Caratheodory. Notez que la propri´ et´ e satisfaite par µ ´ equivaut ` a avoir µpY

_ně0

A

_n

q “ ř

ně0

µpA

_n

q , pour toute suite d’´ el´ ements A

_n

de A disjoints deux ` a deux, de r´ eunion Y

ně0

A

n

un ´ el´ ement de A. On dit que µ est σ-additive sur A. Je rappelle qu’une pseudo-m´ etrique v´ erifie tous les axiomes d’une m´ etrique hormis le fait que deux ´ el´ ements ` a distance nulle co¨ıncident. Je rappelle aussi la notation B∆C :“ pB Y CqzpB X Cq .

D´ emonstration – Unicit´ e. La collection des ´ el´ ements de σpAq sur lesquels deux extensions possibles co¨ıncident ´ etant un λ-syst` eme, deux mesures sont ´ egales sur σpAq si elles co¨ıncident sur A d’apr` es le lemme de Dynkin, lemme 1 – une alg` ebre est en particulier un π-syst` eme.

Existence. Notons PpΩq la famille des sous ensembles de Ω. On d´ efinit sur PpΩq la mesure ext´ erieure µ associ´ ee ` a µ par la formule

µpBq :“ inf

"

ÿ

ně0

µpA

n

q ; B Ă ď

ně0

A

n

, A

n

P A

*

, @ B P PpΩq.

Replacant les A

n

par A

n

z Ť

n

k“0

A

k

si n´ ecessaire, on peut toujours supposer les A

n

disjoints dans cette d´ efinition. On voit que la fonction µ est croissante et telle que µ `Ť

ně0

B

_n

˘ ď ř

ně0

µpB

_n

q, pour toute suite pB

n

q

ně0

d’ensembles de Ω – on dit que µ est σ-sous additive. Pour A P A, l’infimum d´ efinissant µpAq co¨ıncide avec l’infimum portant sur des partitions pA

_n

q

ně0

de A. Il s’ensuit que µpAq ď µpAq, et donc µpAq “ µpAq, pour A P A, puisque µ est σ-additive sur A. On v´ erifie qu’on d´ efinit une pseudo-m´ etrique sur l’ensemble PpΩq de toutes les parties de Ω en posant

dpB, C q “ µpB ∆Cq.

Puisque µ est sous additive et B Ă ` B∆C ˘

Y C pour tous sous ensembles B, C de Ω, on a ˇ ˇµpBq ´ µpCq ˇ

ˇ ď µpB ∆Cq “ dpB, C q,

si bien que µpBq “ µpCq si dpB, C q “ 0. On d´ efinit A

^µ

comme la famille des sous ensembles de Ω qui peuvent ˆ etre approch´ e arbitrairement bien par des ´ el´ ements of A pour la pseudo-distance d.

En d’autres termes, A

^µ

est le compl´ et´ e de A pour la pseudo-distance d. On a bien sˆ ur A Ă A

^µ

. L’application 1-Lipschitz µ admet donc un prolongement unique ` a A

^µ

.

Lemme 4 . ^{La famille} A

^µ

est une σ-alg` ebre sur laquelle µ est additive.

Si l’on admet un instant ce r´ esultat, on a donc σpAq Ă A

^µ

, et on dispose sur A

^µ

d’une application µ croissante, additive et σ-sous additive. Elle v´ erifie donc pour tout r´ eunion disjointe pA

_n

q

ně0

d’´ el´ ements de A

^µ

et tout N ě 0 l’in´ egalit´ e ř

N

n“0

µpA

_n

q ď µpY

_ně0

A

_n

q ď ř

ně0

µpA

_n

q. On en d´ eduit que µ est σ-additive sur A

^µ

. Sa restriction ` a σpAq est une probabilit´ e ´ etendant µ. On d´ emontre maintenant le lemme.

‚ On commence par d´ emontrer le caract` ere additif de µ sur A

^µ

. Prenons deux ´ el´ ements dis- joints B et C de A

^µ

, une constante ε ą 0, et notons A

B

et A

C

des ´ el´ ements de A tels que d `

B, A

_B

˘ , d `

C, A

_C

˘

ď ε. Comme ils satisfont l’in´ egalit´ e µpA

_B

X A

_C

q ď 2ε, la sous additivit´ e de µ nous donne

max

´ d `

B, A

B

zpA

B

X A

C

q ˘ , d `

C, A

C

zpA

B

X A

C

q ˘ ¯

ď 3ε.

(3)

3 Il s’ensuit que

µpBq ` µpCq ě µpB Y Cq ě µ `

AzpA

_B

X A

_C

q Y AzpA

_B

X A

_C

q ˘

´ 3ε ě µpB q ` µpCq ´ 5ε,

ce dont on tire la conclusion puisque ε ą 0 est arbitraire.

‚ Il est clair que A

^µ

est stable par compl´ ementation. On v´ erifie que A

^µ

est stable par r´ eunion d´ enombrable disjointe ; cela implique que A

^µ

est stable par r´ eunion ou intersection d´ enombrable, et qu’il s’agit donc d’une σ-alg` ebre. ´ Etant donn´ e ε ą 0 et une suite pB

n

q

ně0

d’´ el´ ements de A

^µ

disjoints deux ` a deux, associons ` a chaque B

n

un A

n

P A tel que dpA

n

, B

n

q ď 2

^´n´1

ε. Comme µ est additive sur A

^µ

on a ř

N

n“0

µpB

_n

q “ µ ´ Ť

N

n“0

B

_n

¯

ď 1, pour tout N ě 0, si bien que ř

něN`1

µpB

n

q ď ε, pour N assez grand. Pour un tel choix de N on a d

ˆ ď

ně0

B

n

, ď

n“0..N

A

n

˙ ď d

ˆ ď

ně0

B

n

, ď

n“0..N

B

n

˙

` d ˆ

ď

n“0..N

B

n

, ď

n“0..N

A

n

˙

ď µ ˆ

ď

něN`1

B

n

˙

` µ ˆ ! ď

n“0..N

B

n

)

∆

! ď

n“0..N

A

n

) ˙

ď ε ` µ ˆ

ď

n“0..N

pB

n

∆A

n

q

˙ ď ε `

N

ÿ

n“0

2

^´n´1

ε ď 2ε.

L’arbitraire sur ε ą 0 montre que Ť

ně0

B

n

est un ´ el´ ement de A

^µ

. B

A titre d’exemple, regardons l’espace ` Ω “ t0, 1u

^N

et son alg` ebre A des parties ‘cylindriques’

ω “ pω

_n

q

ně0

; ω

_i

“ a

_i

, @ i P I (

, o` u I est un sous ensemble fini de N et les a

_i

P t0, 1u fix´ es.

Cette alg` ebre est d´ enombrable. Chaque partie cylindrique est ` a la fois ouverte et ferm´ ee, donc compacte, pour la topologie produit. Une intersection d´ ecroissante de parties cylindrique d’intersection vide est donc vide ` a partir d’un certain rang, si bien qu’une fonction additive d´ efinie sur A v´ erifie automatiquement la condition µpA

_n

q Ñ 0, du th´ eor` eme d’extension. La σ-alg` ebre engendr´ ee par les ouverts ´ el´ ementaires donn´ es par les parties cylindriques s’appelle la tribu borelienne.

Th´ eor` eme 5 . Toute fonction additive sur A d´ efinit une unique probabilit´ e sur la tribu bore- lienne de t0, 1u

^N

.

On d´ efinit une fonction additive sur A en posant

µpAq :“ 2

^´|I|

, pour A “ ω “ pω

_n

q

ně0

; ω

_i

“ a

_i

, @ i P I (

On note µ

^bN

la probabilit´ e associ´ ee d´ efinie sur la tribu borelienne de t0, 1u

^N

. La mesure image de µ

^bN

par l’application pω

_n

q

ně0

Ñ ř

ω

_n

2

^´n´1

P r0, 1s , est la mesure de Lebsegue sur l’intervalle r0, 1s . (Elle attribue ` a chaque segment dyadique la mesure attendue, et ces derniers forment une alg` ebre engendrant la tribu borelienne de r0, 1s, engendr´ ee en permier lieu par les ouverts de r0, 1s .) Il est ´ el´ ementaire de construire ` a partir de l` a la mesure de Lebesgue sur R et R

^d

.

3 – Repr´ esentation de Riesz

Notons C

_c

pR

^d

q l’ensemble des fonctions r´ eelles continues ` a support compact, d´ efinies sur R

^d

, muni de la norme du supremum. Notez que la σ-alg` ebre sur R

^d

engendr´ ee par C

_c

pR

^d

q co¨ıncide avec la tribu borelienne de R

^d

.

Th´ eor` eme 6 . ^Soit E : C

_c

pR

^d

q Ñ R une forme lin´ eaire positive de norme 1. Il existe une unique probabilit´ e P sur la tribu borelienne de R

^d

telle que Epf q “ ş

fpxq Ppdxq , pour toute f P C

_c

pR

^d

q .

D´ emonstration – On v´ erifie d’abord que des conditions analogues ` a celles du th´ eor` eme de

Caratheodory sont satisfaites ici. On a bien Ep0q “ 0, et on ´ etend E ` a l’ensemble R

(4)

4 des fonctions constantes en posant Ep1q “ 1. Cette extension ` a C

_c

pR

^d

q ‘ R est toujours lin´ eaire positive et de norme 1. La σ-additivit´ e de E sur C

_c

pR

^d

q est automatique ! Toute suite d´ ecroissante de C

_c

pR

^d

q convergeant vers 0 ponctuellement vers 0 converge en fait uniform´ ement - c’est un ´ enonc´ e ´ el´ ementaire dˆ u ` a Dini. Comme E est positive et born´ ee en tant qu’op´ erateur, il s’ensuit que les Epf

_n

q d´ ecroissent vers 0. La σ-additivit´ e de E sur C

_c

pR

^d

q ‘ R s’ensuit.

On peut alors copier mot ` a mot la d´ emonstration du th´ eor` eme d’extension de Caratheodory, avec C

_c^`

pR

^d

q Y R dans le rˆ ole de l’alg` ebre A, l’ensemble des fonctions r´ eelles positives sur R

^d

dans le rˆ ole de P pΩq , et l’op´ eration f ∆g :“ f ` g ´ 2f ^ g dans le rˆ ole de A∆B . On d´ efinit pour f ě 0

Epf q :“ inf

"

ÿ

ně0

Epf

n

q ; f ď ÿ

ně0

f

n

, f

n

P C

_c

pR

^d

q

* .

On ´ etend E ` a l’ensemble des fonctions born´ ees en d´ ecomposant f “ f

`

´f

´

, avec f

`

“ f _0 et f

_´

“ f ^ 0, et en posant Epf q :“ Epf

_`

q ´ Epf

_´

q . On v´ erifie que |Epf q| ď sup |f | , et que µ “ µ sur C

_c

pR

^d

q ‘ R. La pseudo-distance d est d´ efinie par dpf, gq :“ Epf ∆gq , pour f, g r´ eelles born´ ees. L’analogue B

^µ

de la classe A

^µ

est alors d´ efini comme la famille des fonctions born´ ees de R

^d

qui peuvent ˆ etre approch´ e arbitrairement bien par des ´ el´ ements de C

_c

pR

^d

q ‘ R pour la pseudo-distance d ; c’est un espace vectoriel qui contient C

_c

pR

^d

q ‘ R.

Le lemme 4 devient alors l’assertion selon laquelle B

^µ

est un espace vectoriel de fonctions born´ ees sur R

^d

, contenant la constante 1, et stable par convergence croissante born´ ee, sur lequel on dispose d’une extension de E qui est additive et donn´ ee par E. C’est donc une application lin´ eaire sur B

^µ

, de norme 1 pour la norme sup. La famille G “ `

C

_c

pR

^d

q ‘ R ˘ Ă B

^µ

´ etant stable par multiplication, le th´ eor` eme 2 nous assure que B

^µ

contient la classe des fonctions boreliennes born´ ees, engendr´ ee par G. Si E

¹

d´ esigne une autre extension de E en une forme lin´ eaire sur de norme 1 d´ efinie sur l’espace des applications boreliennes born´ ees, il est ´ el´ ementaire de voir que la classe H des fonctions boreliennes born´ ees o` u E et E

¹

co¨ıncident est un espace vectoriel contenant la constante 1, stable par convergence born´ ee. Le th´ eor` eme 2 s’applique donc et montre que les deux extensions co¨ıncident sur l’ensemble des fonctions boreliennes born´ ees. La restriction P de E aux indicatrices d’ensembles boreliens est une probabilit´ e. (Notez que la σ-additivit´ e de P est cons´ equence du fait que E est un op´ erateur lin´ eaire born´ e.) On a par construction Epf q “ ş

f pxq Ppdxq pour les fonctions ´ el´ ementaires f “ ř

a

i

1

Ai

, et puisque toute fonction f P C

_c

pR

^d