V´erifier que l’origine est un point singulier, et que les hypoth`eses du th´eor`eme d’Hartman-Grobman sont v´erifi´ees

ENS Lyon Syst`emes Dynamiques

M1 2007-2008

TD 3 : Th´eor`eme de Hartman-Grobman

Exercice 1

Soit l’´equation diff´erentielle suivante dans R² :

x⁰ =x³+xy y⁰ = 3y²−2xy .

1. D´eterminer l’ensemble des points o`u le champ de vecteurs est vertical (resp.

horizontal).

2. Quels sont les points singuliers ? Etudier l’allure des trajectoires au voisinage du point singulier autre que l’origine.

Exercice 2

Consid´erons l’application φ : C → C d´efinie par z 7→ e^iαz(1− |z|²). Montrer qu’il n’existe pas d’hom´eomorphisme d´efini dans un voisinage de 0 transformant les so- lutions de z⁰ =φ(z) en celles dez⁰ =dφ₀z.

Exercice 3

On consid`ere l’´equation

x⁰ =−x

y⁰ =y+x² . 1. D´eterminer le flot φ^t.

2. V´erifier que l’origine est un point singulier, et que les hypoth`eses du th´eor`eme d’Hartman-Grobman sont v´erifi´ees. On note L^t le flot du syst`eme lin´earis´e `a l’origine.

3. En utilisant la m´ethode it´erative introduite dans la d´emonstration du th´eor`eme d’Hartman-Grobman, donner explicitement un hom´eomorphismeH₁ deR² tel que H₁◦φ¹ =L¹◦H₁.

4. En d´eduire un hom´eomorphismeH de R² tel que ∀t, H◦φ^t=L^t◦H.

5. Tracer l’allure des trajectoires au voisinage de l’origine. Quelle est l’image par H⁻¹ des axes x= 0 et y= 0 ?

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