Soit ϕ la fonction d´ efinie sur ]0, +∞[ par ϕ(x) =

Ch. Menini - 2014/2015 N1MA5012 - Int´ egration Sujets d’expos´ es

Sujet 1

En admettant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, d´ emontrer le th´ eor` eme de d´ erivation des int´ egrales ` a param` etre. Appliquer ce th´ eor` eme ` a la r´ esolution de l’exercice :

Soit ϕ la fonction d´ efinie sur ]0, +∞[ par ϕ(x) =

Z +∞

0

e ^−tx 1 − cos t t dt.

1. Montrer que la fonction ϕ est d´ erivable sur ]0, +∞[ et calculer explicitement sa d´ eriv´ ee.

2. Calculer la limite de ϕ(t) lorsque t tend vers +∞. En d´ eduire une expression de ϕ(t) pour tout t > 0.

Sujet 2

En admettant le lemme de Fatou, donner une d´ emonstration du th´ eor` eme de convergence domin´ ee. Appliquer ce th´ eor` eme ` a la r´ esolution de l’exercice :

On suppose que la s´ erie trigonom´ etrique a 0 /2 + P ∞

n=1 [a n cos(nx) + b n sin(nx)] (a n , b n ∈ R ) converge simplement sur un intervalle [a, b] (a < b). On veut montrer que cela implique que a _n et b _n tendent vers 0. Autrement dit, ´ ecrivant a _n cos(nx) + b _n sin(nx) = r _n cos(nx + ϕ _n ) avec r n = p

a ² _n + b ² _n , on veut montrer que r n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

1. Que pouvez-vous dire de la suite (r _n cos(nx + ϕ _n )) ?

2. Montrer que si [a, b] = [−π, π] et que la convergence est uniforme, alors les coefficients a _n et b _n tendent vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

3. On revient au cas g´ en´ eral et on suppose que (r n ) ne tend pas vers 0. Justifier qu’il existe alors un η > 0 et une sous-suite (r _n

) telle que pour k, r _n

> η.

4. En utilisant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, prouver que lim

k→∞

R b

a cos ² (n _k x+ϕ _n

) dx = 0.

5. Expliciter cette derni` ere int´ egrale et conclure.

Sujet 3

Donner des exemples d’application du th´ eor` eme de Fubini et des contre-exemples lorsque toutes les hypoth` eses ne sont pas satisfaites.

En utilisant le th´ eor` eme de Fubini r´ esoudre l’exercice :

1. En appliquant le th´ eor` eme de Fubini, calculer de deux fa¸cons diff´ erentes RR

[0,T ]×]0,+∞[ sin(x)e ^−xy dx dy (ind : pour y fix´ e, une primitive de e ^−xy sin x est de la forme e ^−xy (a cos x + b sin x) avec a et b fonctions de y ` a d´ eterminer).

2. En d´ eduire que lim

T →+∞

R

[0,T ]

sinx x dx = ^π ₂ .

Caract´ eriser les p ≥ 1 pour lesquels l’application x 7→ ^sin x ^x est dans L ^p (]0, +∞[) ? Sujet 4

Enoncer le th´ ´ eor` eme de changement de variables. Expliciter les changements de coordonn´ ees polaires et sph´ eriques en ayant soin de v´ erifier que les hypoth` eses du th´ eor` eme son bien rem- plies. Appliquer ceci ` a la r´ esolution de l’exercice :

Soit B n la boule unit´ e euclidienne ouverte, c’est-` a-dire B n = {x ∈ R ⁿ : kxk < 1}. On note λ n la mesure de Lebesgue sur R ⁿ et v n = λ n (B n ). Montrer que pour tout entier n ≥ 3

v n = v n−2

Z

B

1 − kxk ²

dλ 2 (x)

puis retrouver ainsi la formule donnant v _n en fonction de n.