Exercice 1. Coordonn´ ees polaires. Soit I un intervalle ouvert de R de longueur inf´ erieure ` a 2π et ϕ le diff´ eomorphisme de R

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2016–2017

Feuille 6 : formes diff´ erentielles, int´ egration

Exercice 1. Coordonn´ ees polaires. Soit I un intervalle ouvert de R de longueur inf´ erieure ` a 2π et ϕ le diff´ eomorphisme de R

^∗₊

× I dans ϕ( R

^∗₊

× I) d´ efini par ϕ(ρ, t) = (ρ cos t, ρ sin t). Soit (r, θ) le syst` eme de coordonn´ ees sur ϕ( R

^∗+

× I ) d´ efini par ϕ

⁻¹_I

= (r, θ). Montrer que les formes dr et dθ s’´ etendent ` a R

²

\ {0

_R2

} en des formes ind´ ependantes de I .

Exercice 2. Formes diff´ erentielles et projection st´ er´ eographique. Rappelons que l’on d´ efinit sur la sph` ere par projection st´ er´ eographique deux syst` emes de coordonn´ ees (U

_N

= S

²

\ {N }, x

_N

, y

N

) et (U

S

= S

²

\ {S}, x

_S

, y

S

). L’on a

(x

S

, y

S

) =

^(x^N_ρ^,y^N⁾

N

avec ρ

N

= x

²_N

+ y

_N²

.

1. Exprimer dx

_S

, dy

_S

, dx

_S

∧ dy

_S

en fonction de dx

_N

, dy

_N

et dx

_N

∧ dy

_N

. 2. V´ erifier que la 2-forme ω donn´ ee sur U

S

et U

N

par

ω|

_U_N

= −4

^dx^N^∧dy^N

(1+ρN)²

, ω|

_U_S

= 4

^dx_(1+ρ^S^∧dy^S

S)²

est bien d´ efinie sur la sph` ere.

Produit int´ erieur. Etant donn´ ´ es un champ de vecteurs X et une forme diff´ erentielle ω de degr´ e k + 1 sur une vari´ et´ e M, on appelle produit int´ erieur de ω par X et on note ι

_X

ω la k-forme diff´ erentielle sur M d´ efinie par :

∀x ∈ M, ∀(v

₁

, . . . , v

k

) ∈ (T

x

M)

^k

, (ι

X

ω)

x

(v

1

, . . . , v

k

) = ω

x

(X(x), v

1

, . . . , v

k

).

Exercice 3. Volume d’une hypersurface orient´ ee de R

ⁿ⁺¹

. Soit M une hypersurface orient´ ee de R

ⁿ⁺¹

, i l’inclusion de M dans R

ⁿ⁺¹

et ν : M → S

ⁿ

le champ normal unitaire orient´ e de M (i.e. tel que pour tout x ∈ M et toute base directe (v

₁

, . . . , v

_n

) de T

_x

M , (ν(x), v

₁

, . . . , v

_n

) forme une base directe de R

ⁿ⁺¹

). Soit ˜ ν un champ de vecteurs au voisinage de M prolongeant ν. On d´ efinit :

σ = i

^∗

(ι

_ν_˜

dx

₁

∧ · · · ∧ dx

_n+1

).

1. Montrer que σ ne d´ epend pas du choix de ˜ ν , et que c’est l’unique forme volume sur M satisfaisant σ

_x

(v

₁

, . . . , v

_n

) = 1 pour toute base orthonorm´ ee directe (v

₁

, . . . , v

_n

) de T

_x

M , pour tout x ∈ M . On dit que c’est la forme volume canonique de l’hypersurface orient´ ee M de R

ⁿ⁺¹

. On d´ efinit alors le volume de M comme :

Vol(M ) = Z

M

σ.

2. Soit f : U ⊂ R

ⁿ

→ R une fonction lisse d´ efinie sur un ouvert U de R

ⁿ

. Son graphe G est une hypersurface de R

ⁿ⁺¹

, que l’on peut munir d’une orientation naturelle. Soit σ la forme volume associ´ ee et ϕ l’application x ∈ R

ⁿ

7→ (x, f(x)) ∈ R

ⁿ⁺¹

. D´ eterminer le champ normal unitaire orient´ e ν de G et montrer que

ϕ

^∗

σ =

1 +

∂f

∂x1

2

+ · · · +

∂f

∂xn

2

1/2

dx

₁

∧ · · · ∧ dx

_n

et r´ ecup´ erer les formules de calcul des aires et longueurs d´ ej` a connues (?).

Exercice 4. Volume de la sph` ere. On note X = x∂

x

+ y∂

y

+ z∂

z

le champ d’Euler de R

³

, ω la forme volume dx ∧ dy ∧ dz de R

³

et i le plongement de S

²

dans R

³

.

1. Montrer que X, ω et β = ι

_X

ω sont invariants par rotation.

(2)

2. V´ erifier que la restriction ` a S

²

de β est une forme volume.

3. Comparer i

^∗

β avec la forme ω de l’exercice 2. On pourra commencer par les comparer sur U

S

, o` u (U

S

, φ

S

, R

²

) est la carte de S

²

obtenue par projection st´ er´ eographique par rapport au pˆ ole sud, satisfaisant :

φ

⁻¹_S

(u, v) =

2u

1+u²+v²

,

_1+u^2v2+v²

,

^1−(u_1+u²2^+v+v²²⁾

. 4. Calculer le volume de la sph` ere.

Th´ eor` eme de Fubini. On admet l’analogue suivant du th´ eor` eme de Fubini : Soient X et Y deux vari´ et´ es compactes orient´ ees, X × Y leur produit muni de l’orientation produit. Soient p : X × Y → X et q : X × Y → Y les projections canoniques. Alors si α ∈ Ω

^dim^X

(X) et β ∈ Ω

^dim^Y

(Y ),

Z

X×Y

p

^∗

α ∧ q

^∗

β = Z

X

α Z

Y

β

.

Ce r´ esultat reste vrai pour des vari´ et´ es non compactes si l’on suppose α et β de signe constant (dans ce cas le membre de gauche est fini si et seulement si celui de droite l’est, et sinon on a l’´ egalit´ e ±∞ = ±∞).

Exercice 5. Dans la situation ci-dessus, et plus g´ en´ eralement pour α ∈ Ω

^k

(X) et β ∈ Ω

^l

(Y ), on note abusivement α ∧β la (k+l)-forme p

^∗

α∧ q

^∗

β sur X ×Y . V´ erifier que si (u

1

, . . . , u

_k

) ∈ (T

x

X)

^k

et (v

₁

, . . . , v

_l

) ∈ (T

_y

Y )

^l

,

(α ∧ β)

_(x,y)

(u

1

, . . . , u

k

, v

1

, . . . , v

l

) = α(u

1

, . . . , u

k

)β(v

1

, . . . , v

l

).

Exercice 6. Volumes des sph` eres et boules unit´ e. Pour d´ eterminer ces volumes, nous allons calculer de deux fa¸cons diff´ erentes l’int´ egrale

I = Z

Rⁿ⁺¹

e

^−kxk²

dx

₀

∧ · · · ∧ dx

_n

.

1. ` A l’aide du th´ eor` eme de Fubini, exprimer I en fonction de J =

Z

+∞

−∞

e

^−t²

dt.

2. On d´ efinit F : R

^∗₊

× S

ⁿ

→ R

ⁿ⁺¹

par F (r, u) = ru. Montrer que F

^∗

(dx

0

∧ · · · ∧ dx

n

) = r

ⁿ

dr ∧ σ

o` u σ d´ esigne la forme volume canonique sur S

ⁿ

(on pourra par exemple ´ evaluer ces deux formes sur une base bien choisie). En d´ eduire que

I = Vol( S

ⁿ

) Z

+∞

0

r

ⁿ

e

^−r²

dr.

D´ eduire de cette ´ egalit´ e, dans le cas n = 1, la valeur de J, puis exprimer R

+∞

0

r

ⁿ

e

^−r²

dr en fonction de la fonction Γ d’Euler d´ efinie sur R

^∗₊

par

Γ(x) = Z

+∞

0

e

^−t

t

^x−1

dt.

3. En d´ eduire que

Vol( S

ⁿ

) = 2 π

ⁿ⁺¹²

Γ(

ⁿ⁺¹₂

) . 4. Montrer que dσ = (n + 1)(dx

0

∧ · · · ∧ dx

n

) et en d´ eduire que

Vol(B

ⁿ⁺¹

(1)) = 1

n + 1 Vol( S

ⁿ

).