MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

Feuille 8 : Int´ egration des formes diff´ erentielles

On admet l’analogue suivant du th´ eor` eme de Fubini : Soient X et Y deux vari´ et´ es compactes orient´ ees, X × Y leur produit muni de l’orientation produit. Soient p : X × Y → X et q : X × Y → Y les projections canoniques. Alors si α ∈ Ω ^dim ^X (X) et β ∈ Ω ^dim ^Y (Y ),

Z

X ×Y

p ^∗ α ∧ q ^∗ β = Z

X

α Z

Y

β

.

Ce r´ esultat reste vrai pour des vari´ et´ es non compactes si l’on suppose α et ω de signe constant (dans ce cas le membre de gauche est fini si et seulement si celui de droite l’est, et sinon on a l’´ egalit´ e ±∞ = ±∞).

Exercice 0. Dans la situation ci-dessus, et plus g´ en´ eralement pour α ∈ Ω ^k (X) et β ∈ Ω ^l (Y ), on note abusivement α ∧β la (k+l)-forme p ^∗ α∧ q ^∗ β sur X ×Y . V´ erifier que si (u ₁ , . . . , u _k ) ∈ (T _x X) ^k et (v ₁ , . . . , v _l ) ∈ (T _y Y ) ^l ,

(α ∧ β) _(x,y) (u ₁ , . . . , u _k , v ₁ , . . . , v _l ) = α(u ₁ , . . . , u _k )β(v ₁ , . . . , v _l ).

Exercice 1. Volumes des sph` eres et boules unit´ e. Pour d´ eterminer ces volumes, nous allons calculer de deux fa¸cons diff´ erentes l’int´ egrale

I = Z

R

ⁿ⁺¹

e ^−kxk

²

dx 0 ∧ · · · ∧ dx n .

1. ` A l’aide du th´ eor` eme de Fubini, exprimer I en fonction de J =

Z +∞

−∞

e ^−t

²

dt.

2. On d´ efinit F : R ^∗ + × S ⁿ → R ⁿ⁺¹ par F (r, u) = ru. Montrer que F ^∗ (dx ₀ ∧ · · · ∧ dx _n ) = r ⁿ dr ∧ σ

o` u σ d´ esigne la forme volume canonique sur S ⁿ (on pourra par exemple ´ evaluer ces deux formes sur une base bien choisie). En d´ eduire que

I = vol( S ⁿ ) Z +∞

0 r ⁿ e ^−r

²

dr.

D´ eduire de cette ´ egalit´ e, dans le cas n = 1, la valeur de J, puis exprimer R +∞

0 r ⁿ e ^−r

²

dr en fonction de la fonction Γ d’Euler d´ efinie sur R ^∗ + par

Γ(x) = Z +∞

0 e ^−t t ^x−1 dt.

3. En d´ eduire que

vol( S ⁿ ) = 2 π

ⁿ⁺¹²

Γ( ⁿ⁺¹ ₂ ) . 4. Montrer que dσ = (n + 1)(dx 0 ∧ · · · ∧ dx n ) et en d´ eduire que

vol(B ⁿ⁺¹ (1)) = 1

n + 1 vol(S ⁿ ).

(2)

Exercice 2. Th´ eor` eme de la boule chevelue. On se propose de montrer que si n est pair, tout champ de vecteurs sur la sph` ere S ⁿ admet au moins un z´ ero. Supposons que X soit un champ sur S ⁿ qui ne s’annule pas. On identifie S ⁿ ` a la sph` ere unit´ e de R ⁿ⁺¹ muni du produit scalaire standard et donc X ` a une application de S ⁿ dans R ⁿ⁺¹ telle que X(x) et x soient orthogonaux pour tout x. Quitte ` a remplacer X par X/kXk, on peut supposer que kX(x)k = 1 pour tout x. Pour tout > 0, on introduit l’application Ψ de R ⁿ⁺¹ \ {0 _R

n+1

} dans R ⁿ⁺¹ d´ efinie par

Ψ (x) = x + X x

kxk

et on note ϕ sa restriction ` a S ⁿ .

1. Montrer que ϕ est injective lorsque est suffisamment petit.

2. Montrer que pour suffisamment petit d _x Ψ est inversible pour tout x ∈ S ⁿ . 3. En d´ eduire que ϕ est un plongement lorsque est suffisamment petit.

4. Montrer par un argument de connexit´ e que son image est la sph` ere de rayon r = √ 1 + ² . 5. Par cons´ equent, ϕ induit un diff´ eomorphisme χ de S ⁿ dans r S ⁿ . On suppose que S ⁿ et r S ⁿ sont orient´ ees comme bord des boules de rayon 1 et r respectivement. Pourquoi χ

pr´ eserve-t-il l’orientation ?

6. Soit j l’inclusion de r S ⁿ dans R ⁿ⁺¹ , ω la forme volume dx ₀ ∧ · · · ∧ dx _n , X le champ d’Euler (d´ efini par X(x ₀ , . . . , x _n ) = x ₀ ∂ _x

₀

+ · · · + x _n ∂ _x

_n

) et β = ι _X ω. Montrer que

Z

r S

ⁿ

j ^∗ β

d´ epend de mani` ere polynomiale de . On pourra utiliser que j ◦ χ = ϕ = Ψ ◦ j ₀ . 7. En utilisant que l’homoth´ etie de rapport r induit un diff´ eomorphisme de S ⁿ dans r S ⁿ ,

montrer que

Z

r S

²

j ^∗ β = r ⁿ⁺¹ Z

S

²

j ₀ ^∗ β.

En d´ eduire que n ne peut ˆ etre pair.

Exercice 3. Th´ eor` eme de Brouwer. On veut montrer le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme du point fixe de Brouwer. Toute application continue d’une boule ferm´ ee de l’espace euclidien dans elle-mˆ eme admet un point fixe.

On commence par d´ emontrer le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme. Soit U un ouvert de R ⁿ contenant la boule unit´ e ferm´ ee B ⁿ . Alors il n’existe pas d’application lisse de U dans ∂B ⁿ = S ⁿ⁻¹ dont la restriction ` a S ⁿ⁻¹ soit l’identit´ e.

On proc` ede par l’absurde. Supposons qu’il existe une telle application F = (f 1 , . . . , f n ). Soit α la 1-forme x ₁ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx _n sur R ⁿ .

1. Comparer R

S

ⁿ⁻¹

α et R

S

ⁿ⁻¹

F ^∗ α.

2. Montrer ` a l’aide de la formule de Stokes que R

S

ⁿ⁻¹

α est non nulle.

3. En utilisant l’hypoth` ese P n

i=1 (f _i ) ² = 1, montrer que les 1-formes df ₁ ,..., df _n forment une famille li´ ee en tout point. En d´ eduire, en utilisant ` a nouveau Stokes, que R

S

ⁿ⁻¹

F ^∗ α = 0.

Conclure.

(3)

On admet le r´ esultat d’approximation suivant :

Lemme. Pour toute application continue f de la boule unit´ e ferm´ ee dans elle-mˆ eme et tout > 0, il existe des nombres r ₁ < 1 < r ₂ et une application lisse g de la boule ouverte B (r ₂ ) dans la boule ouverte B(r ₁ ) telle que

∀x ∈ B ⁿ , kf(x) − g(x)k < .

Supposons maintenant qu’il existe une application continue sans point fixe de la boule unit´ e ferm´ ee dans elle-mˆ eme.

4. D´ eduire du lemme ci-dessus l’existence d’une application lisse g sans point fixe de B(r 2 ) dans B (r ₁ ) avec r ₁ < 1 < r ₂ .

5. Pour tout x ∈ B(r 2 ), on d´ efinit h(x) comme le point d’intersection de la demi-droite [g(x), x) avec S ⁿ⁻¹ . Justifier que cette application est lisse et aboutir ` a une contradiction.

Exercice 4. Cas particuliers de la formule de Stokes.

1. Formule de Green-Riemann. Soit D un domaine r´ egulier de R ² et P, Q de fonctions lisses d´ efinies au voisinage de D. Montrer que

Z

∂D

P dx + Qdy = Z

D

(∂ x Q − ∂ y P)dxdy.

2. Formule d’Ostrogradski. Soit D un domaine r´ egulier de R ³ , ω = dx ∧ dy ∧ dz et X un champ de vecteurs sur R ³ . Montrer que

Z

∂D

ι _X ω = Z

D

(divX)ω.

Que devient cette ´ egalit´ e pour X = P ∂ x + Q∂ y + R∂ z ? On d´ efinit en outre le flux de X ` a travers S = ∂D, not´ e R

S X, comme Z

S

hX, N iσ

o` u N d´ esigne le champ normal sortant et σ = ι N ω la forme volume canonique sur S.

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

Feuille 8 : Int´ egration des formes diff´ erentielles

On admet l’analogue suivant du th´ eor` eme de Fubini : Soient X et Y deux vari´ et´ es compactes orient´ ees, X × Y leur produit muni de l’orientation produit. Soient p : X × Y → X et q : X × Y → Y les projections canoniques. Alors si α ∈ Ω dim X (X) et β ∈ Ω dim Y (Y ),

Z

X ×Y

p ∗ α ∧ q ∗ β = Z

X

α Z

Y

β

.

Ce r´ esultat reste vrai pour des vari´ et´ es non compactes si l’on suppose α et ω de signe constant (dans ce cas le membre de gauche est fini si et seulement si celui de droite l’est, et sinon on a l’´ egalit´ e ±∞ = ±∞).

Exercice 0. Dans la situation ci-dessus, et plus g´ en´ eralement pour α ∈ Ω k (X) et β ∈ Ω l (Y ), on note abusivement α ∧β la (k+l)-forme p ∗ α∧ q ∗ β sur X ×Y . V´ erifier que si (u 1 , . . . , u k ) ∈ (T x X) k et (v 1 , . . . , v l ) ∈ (T y Y ) l ,

(α ∧ β) (x,y) (u 1 , . . . , u k , v 1 , . . . , v l ) = α(u 1 , . . . , u k )β(v 1 , . . . , v l ).

Exercice 1. Volumes des sph` eres et boules unit´ e. Pour d´ eterminer ces volumes, nous allons calculer de deux fa¸cons diff´ erentes l’int´ egrale

I = Z

R

e −kxk

dx 0 ∧ · · · ∧ dx n .

1. ` A l’aide du th´ eor` eme de Fubini, exprimer I en fonction de J =

Z +∞

−∞

e −t

dt.

2. On d´ efinit F : R ∗ + × S n → R n+1 par F (r, u) = ru. Montrer que F ∗ (dx 0 ∧ · · · ∧ dx n ) = r n dr ∧ σ

o` u σ d´ esigne la forme volume canonique sur S n (on pourra par exemple ´ evaluer ces deux formes sur une base bien choisie). En d´ eduire que

I = vol( S n ) Z +∞

0

r n e −r

dr.

D´ eduire de cette ´ egalit´ e, dans le cas n = 1, la valeur de J, puis exprimer R +∞

0 r n e −r

dr en fonction de la fonction Γ d’Euler d´ efinie sur R ∗ + par

Γ(x) = Z +∞

0

e −t t x−1 dt.

3. En d´ eduire que

vol( S n ) = 2 π

Γ( n+1 2 ) . 4. Montrer que dσ = (n + 1)(dx 0 ∧ · · · ∧ dx n ) et en d´ eduire que

vol(B n+1 (1)) = 1

n + 1 vol(S n ).

} dans R n+1 d´ efinie par

Ψ (x) = x + X x

kxk

et on note ϕ sa restriction ` a S n .

1. Montrer que ϕ est injective lorsque est suffisamment petit.

2. Montrer que pour suffisamment petit d x Ψ est inversible pour tout x ∈ S n . 3. En d´ eduire que ϕ est un plongement lorsque est suffisamment petit.

4. Montrer par un argument de connexit´ e que son image est la sph` ere de rayon r = √ 1 + 2 . 5. Par cons´ equent, ϕ induit un diff´ eomorphisme χ de S n dans r S n . On suppose que S n et r S n sont orient´ ees comme bord des boules de rayon 1 et r respectivement. Pourquoi χ

pr´ eserve-t-il l’orientation ?

6. Soit j l’inclusion de r S n dans R n+1 , ω la forme volume dx 0 ∧ · · · ∧ dx n , X le champ d’Euler (d´ efini par X(x 0 , . . . , x n ) = x 0 ∂ x

+ · · · + x n ∂ x

) et β = ι X ω. Montrer que

Z

r S

j ∗ β

d´ epend de mani` ere polynomiale de . On pourra utiliser que j ◦ χ = ϕ = Ψ ◦ j 0 . 7. En utilisant que l’homoth´ etie de rapport r induit un diff´ eomorphisme de S n dans r S n ,

montrer que

Z

r S

j ∗ β = r n+1 Z

S

j 0 ∗ β.

En d´ eduire que n ne peut ˆ etre pair.

Exercice 3. Th´ eor` eme de Brouwer. On veut montrer le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme du point fixe de Brouwer. Toute application continue d’une boule ferm´ ee de l’espace euclidien dans elle-mˆ eme admet un point fixe.

On commence par d´ emontrer le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme. Soit U un ouvert de R n contenant la boule unit´ e ferm´ ee B n . Alors il n’existe pas d’application lisse de U dans ∂B n = S n−1 dont la restriction ` a S n−1 soit l’identit´ e.

On proc` ede par l’absurde. Supposons qu’il existe une telle application F = (f 1 , . . . , f n ). Soit α la 1-forme x 1 dx 1 ∧ · · · ∧ dx n sur R n .

1. Comparer R

S

α et R

S

F ∗ α.

2. Montrer ` a l’aide de la formule de Stokes que R

S

α est non nulle.

3. En utilisant l’hypoth` ese P n

i=1 (f i ) 2 = 1, montrer que les 1-formes df 1 ,..., df n forment une famille li´ ee en tout point. En d´ eduire, en utilisant ` a nouveau Stokes, que R

S

p ^∗ α ∧ q ^∗ β = Z

Exercice 0. Dans la situation ci-dessus, et plus g´ en´ eralement pour α ∈ Ω ^k (X) et β ∈ Ω ^l (Y ), on note abusivement α ∧β la (k+l)-forme p ^∗ α∧ q ^∗ β sur X ×Y . V´ erifier que si (u ₁ , . . . , u _k ) ∈ (T _x X) ^k et (v ₁ , . . . , v _l ) ∈ (T _y Y ) ^l ,

(α ∧ β) _(x,y) (u ₁ , . . . , u _k , v ₁ , . . . , v _l ) = α(u ₁ , . . . , u _k )β(v ₁ , . . . , v _l ).

e ^−kxk

e ^−t

2. On d´ efinit F : R ^∗ + × S ⁿ → R ⁿ⁺¹ par F (r, u) = ru. Montrer que F ^∗ (dx ₀ ∧ · · · ∧ dx _n ) = r ⁿ dr ∧ σ

o` u σ d´ esigne la forme volume canonique sur S ⁿ (on pourra par exemple ´ evaluer ces deux formes sur une base bien choisie). En d´ eduire que

I = vol( S ⁿ ) Z +∞

r ⁿ e ^−r

0 r ⁿ e ^−r

dr en fonction de la fonction Γ d’Euler d´ efinie sur R ^∗ + par

e ^−t t ^x−1 dt.

vol( S ⁿ ) = 2 π

Γ( ⁿ⁺¹ ₂ ) . 4. Montrer que dσ = (n + 1)(dx 0 ∧ · · · ∧ dx n ) et en d´ eduire que

vol(B ⁿ⁺¹ (1)) = 1

n + 1 vol(S ⁿ ).

} dans R ⁿ⁺¹ d´ efinie par

et on note ϕ sa restriction ` a S ⁿ .

2. Montrer que pour suffisamment petit d _x Ψ est inversible pour tout x ∈ S ⁿ . 3. En d´ eduire que ϕ est un plongement lorsque est suffisamment petit.

4. Montrer par un argument de connexit´ e que son image est la sph` ere de rayon r = √ 1 + ² . 5. Par cons´ equent, ϕ induit un diff´ eomorphisme χ de S ⁿ dans r S ⁿ . On suppose que S ⁿ et r S ⁿ sont orient´ ees comme bord des boules de rayon 1 et r respectivement. Pourquoi χ

6. Soit j l’inclusion de r S ⁿ dans R ⁿ⁺¹ , ω la forme volume dx ₀ ∧ · · · ∧ dx _n , X le champ d’Euler (d´ efini par X(x ₀ , . . . , x _n ) = x ₀ ∂ _x

+ · · · + x _n ∂ _x

) et β = ι _X ω. Montrer que

j ^∗ β

d´ epend de mani` ere polynomiale de . On pourra utiliser que j ◦ χ = ϕ = Ψ ◦ j ₀ . 7. En utilisant que l’homoth´ etie de rapport r induit un diff´ eomorphisme de S ⁿ dans r S ⁿ ,

j ^∗ β = r ⁿ⁺¹ Z

j ₀ ^∗ β.

Th´ eor` eme. Soit U un ouvert de R ⁿ contenant la boule unit´ e ferm´ ee B ⁿ . Alors il n’existe pas d’application lisse de U dans ∂B ⁿ = S ⁿ⁻¹ dont la restriction ` a S ⁿ⁻¹ soit l’identit´ e.

On proc` ede par l’absurde. Supposons qu’il existe une telle application F = (f 1 , . . . , f n ). Soit α la 1-forme x ₁ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx _n sur R ⁿ .

F ^∗ α.

i=1 (f _i ) ² = 1, montrer que les 1-formes df ₁ ,..., df _n forment une famille li´ ee en tout point. En d´ eduire, en utilisant ` a nouveau Stokes, que R

F ^∗ α = 0.

Lemme. Pour toute application continue f de la boule unit´ e ferm´ ee dans elle-mˆ eme et tout > 0, il existe des nombres r ₁ < 1 < r ₂ et une application lisse g de la boule ouverte B (r ₂ ) dans la boule ouverte B(r ₁ ) telle que

∀x ∈ B ⁿ , kf(x) − g(x)k < .

4. D´ eduire du lemme ci-dessus l’existence d’une application lisse g sans point fixe de B(r 2 ) dans B (r ₁ ) avec r ₁ < 1 < r ₂ .

5. Pour tout x ∈ B(r 2 ), on d´ efinit h(x) comme le point d’intersection de la demi-droite [g(x), x) avec S ⁿ⁻¹ . Justifier que cette application est lisse et aboutir ` a une contradiction.

1. Formule de Green-Riemann. Soit D un domaine r´ egulier de R ² et P, Q de fonctions lisses d´ efinies au voisinage de D. Montrer que

2. Formule d’Ostrogradski. Soit D un domaine r´ egulier de R ³ , ω = dx ∧ dy ∧ dz et X un champ de vecteurs sur R ³ . Montrer que

ι _X ω = Z

ι _X ω _|S = hX, N iσ ce qui entraˆıne :