cours 16, le mercredi 16 mars 2011
V. Produit de mesures. Th´eor`eme de Fubini
V.1. Construction de la mesure produit
L’id´ee pour construire la mesure de Lebesgue λ2 sur le carr´e [0,1]2, autrement dit, pour attribuer une valeur λ2(C) `a chaque bor´elien C du carr´e, est de d´ecouper ce sous- ensemble C du carr´e en hhtranchesii verticales Tx, o`u Tx est form´ee des points de C d’abscisse x, de consid´erer les sections verticales Cx
Cx ={y ∈[0,1] : (x, y)∈C}, x∈[0,1]
naturellement associ´ees aux tranches Tx par l’´equation Tx ={x} ×Cx, et d’int´egrer la mesure de Lebesgue 1-dimensionnelle λ1(Cx) de la section, pour poser
λ2(C) = Z 1
0
λ1(Cx) dx= Z 1
0
Z 1
0
1C(x, y) dy dx.
Il va falloir travailler pour justifier l’existence des int´egrales pr´ec´edentes. Mais au moins, il est clair que le principe fonctionne bien pour les rectangles : si C = [a, b]×[c, d], la section Cx est vide quand x est hors de [a, b], et ´egale `a [c, d], de mesure d−c, quand x est dans [a, b]. On va donc attribuer `a ce rectangle la mesure
Z 1 0
1[a,b](x) (d−c) dx= (b−a)(d−c), la surface habituelle du rectangle, ce qui est tout `a fait rassurant.
On consid`ere d´esormais deux espaces mesurables (F,F) et (G,G), ainsi que l’espace mesurable produit (F×G,F ⊗ G).
Lemme 1.Si ν est une mesureσ-finie sur (G,G), alors pour tout ensemble C∈ F ⊗ G on a
a.— pour tout x∈F, la fonction y→1C(x, y)est G-mesurable sur G, b.— la fonction x → R
G1C(x, y) dν(y) est F-mesurable sur F, `a valeurs dans [0,+∞].
Preuve. — Commen¸cons par expliquer qu’il suffit de traiter le cas des mesures finies ; si le r´esultat est vrai pour toute mesure finie, alors il est encore vrai pourν mesureσ-finie : en effet, soit (Gn)⊂ Gune suite croissante d’ensembles de mesure finie pourν, qui tende en croissant vers G ; pour tout entier n, la mesure `a densit´e dνn(y) = 1Gn(y) dν(y) est finie, donc la fonction
x → Z
G
1C(x, y) dνn(y) = Z
G
1Gn(y)1C(x, y) dν(y)
est F-mesurable par hypoth`ese ; mais par le TCM pour ν, cette suite de fonctions tend simplement sur F, en croissant, vers la fonction x → R
G1C(x, y) dν(y), qui sera donc
F-mesurable : la propri´et´e b. est vraie pour ν; d’autre part, la propri´et´e a. ne d´epend pas du fait que ν soit finie ou non. On va donc supposer ν mesure finie dans la suite de la preuve.
On veut montrer que la classe D des parties C du produit F×G telles que y →1C(x, y) G-mesurable pour tout x, x→
Z
G
1C(x, y) dν(y) F-mesurable, contient la tribu produit F ⊗ G. On utilisera le lemme de classe monotone. On montre d’abord queD contient le π-syst`eme P de parties de F×G form´e des pav´es mesurables C = A×B, A∈ F et B∈ G. Ces ensembles produits forment un π-syst`eme ; en effet,
(A1×B1)∩(A2×B2) = (A1∩A2)×(B1∩B2)∈ P.
Si C = A×B est un ´el´ement de P, on a 1C(x, y) = 1A(x)1B(y), donc y → 1C(x, y) est la fonction 1A(x)1B, multiple de 1B, donc G-mesurable, et la deuxi`eme est ν(B)1A, multiple de 1A, donc F-mesurable. On a donc P ⊂ D.
La classe D est un λ-syst`eme de parties du produit F×G : l’espace entier est un pav´e, donc F× G ∈ P ⊂ D; on montre la stabilit´e par diff´erence propre grˆace `a la lin´earit´e : si C⊂D sont deux ensembles deD, alors pour tout x∈F
y → 1D\C(x, y) =1D(x, y)−1C(x, y)
estG-mesurable comme diff´erence de deux fonctions mesurables, et commeνest suppos´ee finie, on peut ´ecrire
Z
G
1D\C(x, y) dν(y) = Z
G
1D(x, y) dν(y)− Z
G
1C(x, y) dν(y)
qui est donc F-mesurable. Le passage `a la limite croissante d’une suite (Dn) ⊂ D, de r´eunion D, r´esulte par limite simple de fonctions mesurables et TCM : pour toutx ∈F, on a que
{y→1Dn(x, y)} % {y→1D(x, y)},
donc la limite est G-mesurable, et par le th´eor`eme de convergence monotone appliqu´e
`a ν, on voit que {x →
Z
G
1Dn(x, y) dν(y)} % {x→ Z
G
1D(x, y) dν(y)}, la limite est donc F-mesurable.
Puisque D est un λ-syst`eme qui contient le π-syst`eme P, la classe D contient la tribuF ⊗ G engendr´ee par la classeP des pav´es mesurables. On en d´eduit que pour tout ensemble C de la tribu produit, on a les deux propri´et´es a. et b. de la d´efinition de D.
Le lemme est d´emontr´e.
Remarque.Le r´esultat vaut ´evidemment aussi si on ´echange les rˆoles de F et G :si µest une mesure σ-finie sur (F,F), alors pour tout ensemble C∈ F ⊗ G on a
a.— pour tout y∈G, la fonction x→1C(x, y) est F-mesurable sur F, b.— la fonctiony→R
F1C(x, y) dµ(x) est G-mesurable sur G, `a valeurs dans [0,+∞].
Th´eor`eme.On suppose queµetνsont deux mesuresσ-finies, respectivement sur (F,F) et sur (G,G). Il existe une mesure ξ sur (F×G,F ⊗ G) telle que
(p) ∀A ∈ F, ∀B∈ G, ξ(A×B) =µ(A)ν(B).
De plus, il n’existe qu’une seule mesureξ sur le produit(F×G,F ⊗ G)qui poss`ede cette propri´et´e (p).
Cette mesure s’appelle la mesure produit, on la note ξ=µ⊗ν.
Preuve. — Grˆace aux propri´et´esa.etb.du lemme, on peut consid´erer la fonctionξ qui est d´efinie sur la tribu F ⊗ G en posant
∀C∈ F ⊗ G, ξ(C) = Z
F
Z
G
1C(x, y) dν(y)
dµ(x),
et montrer que c’est une mesure sur (F× G,F ⊗ G) par la version s´eries du TCM, appliqu´ee d’abord `a ν, puis `a µ : si (Cn)n>0 ⊂ F ⊗ G est une suite d’ensembles deux `a deux disjoints et C =S
n>0Cn, on a
1C(x, y) =X
n>0
1Cn(x, y),
donc on aura successivement ξ(C) =
Z
F
Z
G
X
n>0
1Cn(x, y) dν(y)
dµ(x) = Z
F
X
n>0
Z
G
1Cn(x, y) dν(y) dµ(x)
= X
n>0
Z
F
Z
G
1Cn(x, y) dν(y)
dµ(x) =X
n>0
ξ(Cn).
Quand C = A×B, avec A∈ F et B∈ G, on voit que ξ(C) =
Z
F
Z
G
1A(x)1B(y) dν(y)
dµ(x) = Z
F
1A(x)ν(B) dµ(x) = µ(A)ν(B), donc ξ v´erifie la propri´et´e (p) annonc´ee.
Cela prouve l’existence deξ. Passons `a l’unicit´e : comme les deux mesuresµetν sont suppos´ees σ-finies, il existe deux suites de parties (Fn) ⊂ F et (Gn) ⊂ G, croissantes, telles que µ(Fn)<+∞, ν(Gn)<+∞, et qui croissent respectivement vers F et vers G.
Si ξ1 et ξ2 sont deux mesures v´erifiant ξ(A×B) = µ(A)ν(B) pour tous A,B, elles sont
´egales sur la classe C des produits de mesure finie,
C ={A×B : A∈ F, µ(A) <+∞, B∈ G, ν(B)<+∞}.
Cette classe C est stable par intersection finie et contient la suite (Fn×Gn). De plus la classe C engendre la tribu F ⊗ G : pour tout pav´e mesurable A×B, on voit que A×B est la r´eunion d´enombrable des pav´es de mesure finie
(A×B)∩(Fn×Gn) = (A∩Fn)×(B∩Gn)∈ C,
donc tous les g´en´erateurs A×B de la tribuF ⊗Gsont dansσ(C). On a doncF ⊗G ⊂σ(C), et l’inclusion r´eciproque est claire car C est contenue dans la famille g´en´eratrice pour F ⊗ G form´ee de tous les pav´es mesurables.
D’apr`es les th´eor`emes d’unicit´e d´emontr´es au chapitre III, il en r´esulte que ξ1 = ξ2, ce qui ach`eve la preuve du th´eor`eme.
Remarque importante. L’unicit´e de la mesure ξ permet de montrer que
∀C∈ F ⊗ G, ξ(C) = Z
G
Z
F
1C(x, y) dµ(x)
dν(y).
Il suffit de se convaincre que la preuve qui a ´et´e faite en commen¸cant (c’est-`a-dire, dans l’int´egrale hhint´erieureii) par int´egrer en y peut ˆetre faite aussi bien en commen¸cant par int´egrer en x. On obtient ainsi une mesure ξ0 d´efinie par
ξ0(C) = Z
G
Z
F
1C(x, y) dµ(x)
dν(y), qui v´erifie encore la propri´et´e (p), donc ξ0 =ξ.
Exemple : mesure de sous-graphes. On va justifier la m´ethode de calculs d’aire qui est employ´ee en classe de terminale pour les domaines limit´es par des axes de coordonn´ees et le graphe d’une fonction. D´esignons par λ2 la mesure de Lebesgue sur (R2,BR⊗ BR), qui est le produit de deux exemplaires de la mesure de Lebesgue sur R. Consid´erons un intervalle [a, b], une fonction f : [a, b] → [0,+∞] bor´elienne positive, et l’ensemble compris entre l’axe des x et le graphe def,
Af ={(x, y) :a≤x≤b, 0≤y < f(x)}.
Alors Af est un bor´elien de R2 et λ2(Af) =
Z
[a,b]
f(x) dλ(x).
En revanche, le graphe def,
Gf ={(x, y) :a≤x≤b, y =f(x)}
est de mesure nulle pour λ2.
Si on utilise la remarque pr´ec´edente pour renverser l’ordre des int´egrations, on mon- tre que
Z
[a,b]
f(x) dλ(x) = Z +∞
0
λ {x :f(x)> y}
dy.
S’agissant des graphes, il est possible que certaines sections horizontales Gyf ={x:f(x) =y}
du graphe Gf ne soient pas de mesure nulle, par exemple si f est constante sur des intervalles de longueur >0 ; n´eanmoins, l’int´egrale en y de la mesure de Gyf est nulle.
Justification du calcul. — On note que les deux fonctions (x, y) → x et (x, y) → y sont continues, donc bor´eliennes ; si on prolonge f en dehors de [a, b] en posant ef(x) = 0 quand x /∈ [a, b], on obtient une fonction bor´elienne sur R, `a valeurs dans [0,+∞] ; par composition, la fonction (x, y) →ef(x) est bor´elienne, et (x, y)→ef(x)−y est bor´elienne `a valeurs dansR. L’ensemble Af est l’intersection de quatre ensembles de la forme{gj≥0}
ou {gj >0}, avec gj bor´elienne, donc Af est bor´elien. On rappelle queBR2 =BR⊗ BR, ce qui justifie le calcul de mesure qui suit,
λ2(Af) = Z
R
Z
R
1[a,b](x)1[0,f(x)[(y) dy dx=
Z
R
1[a,b](x)Z
R
1[0,f(x)[(y) dy dx
= Z
R
1[a,b](x)f(x) dx.
V.2. Int´egration par rapport `a une mesure produit V.2.1. Th´eor`eme de Fubini positif
On aura soin de noter que le th´eor`eme qui suit est d’une tr`es grande souplesse : pour une fonction mesurable f `a valeurs dans [0,+∞], il est toujours possible (depuis longtemps dans ce cours) de donner un sens `a l’int´egrale de f par rapport `a la mesure µ⊗ν, et il est aussi toujours possible d’intervertir l’ordre des int´egrations, comme il ´etait possible d’intervertir int´egrale et s´erie, dans le cas positif. On notera aussi que cette souplesse demande d’accepter de travailler avec la valeur +∞. Ce th´eor`eme de hhFubini positifii s’appelle souvent th´eor`eme de Fubini-Tonelli dans la litt´erature math´ematique s´erieuse.
Th´eor`eme. On suppose que µ, ν sont deux mesures σ-finies sur (F,F) et sur (G,G) respectivement. Pour toute fonctionf sur F×G, qui estF ⊗ G-mesurable `a valeurs dans [0,+∞], on a :
— pour tout x∈F, la fonction y→f(x, y) est G-mesurable,
— la fonction x→R
Gf(x, y) dν(y) est F-mesurable, et Z
F×G
fd(µ⊗ν) = Z
F
Z
G
f(x, y) dν(y)
dµ(x) = Z
G
Z
F
f(x, y) dµ(x)
dν(y).
Preuve. — La strat´egie est toujours la mˆeme : on commence par les indicatrices des ensembles de la tribuF ⊗ G, puis on traite les fonctions F ⊗ G-´etag´ees ≥0, et enfin les fonctions g´en´erales F ⊗ G-mesurables `a valeurs dans [0,+∞].
Sif =1C, avec C∈ F ⊗G, on obtient le r´esultat par le lemme 1 et par la d´efinition de la mesureξ=µ⊗ν; siϕ=Pn
j=1cj1Cj estF ⊗G-´etag´ee≥0, on ax →ϕ(x, y) mesurable par combinaison lin´eaire de fonctions mesurables, puis par la hhlin´earit´e positiveii de l’int´egrale,
n x→
Z
G
Xn
j=1
cj1Cj(x, y)
dν(y)o
=n x→
Xn
j=1
cj
Z
G
1Cj(x, y) dν(y)}o
est F-mesurable et Z
F
Z
G
Xn
j=1
cj1Cj(x, y)
dν(y)
dµ(x) = Xn
j=1
cj
Z
F
Z
G
1Cj(x, y) dν(y) dµ(x)
= Xn
j=1
cj
Z
F×G
1Cj dξ = Z
F×G
Xn
j=1
cj1Cj
dξ = Z
F×G
ϕdξ d’o`u le r´esultat dans le cas ´etag´e.
Pour finir il faut rappeler qu’une fonction f mesurable `a valeurs dans [0,+∞] est limite croissante d’une suite de fonctions ´etag´ees ≥ 0, et appliquer le TCM trois fois : si une suite (ϕn) de fonctions F ⊗ G-´etag´ees tend simplement en croissant vers f, on a d’abord pour tout x que y → f(x, y) est G-mesurable comme limite croissante des fonctions y →ϕn(x, y) ; ensuite, on a par le TCM pourν
Z
G
ϕn(x, y) dν(y)% Z
G
f(x, y) dν(y), ce qui montre que x→R
Gf(x, y) dν(y) est F-mesurable ; le TCM pour ξ montre que Z
F×G
fdξ = lim
n
Z
F×G
ϕndξ, qui est ´egale, d’apr`es le cas ´etag´e d´ej`a trait´e, `a
limn
Z
F
Z
G
ϕn(x, y) dν(y)
dµ(x) ; puis le TCM pour µdonne
limn
Z
F
Z
G
ϕn(x, y) dν(y)
dµ(x) = Z
F
Z
G
f(x, y) dν(y)
dµ(x), et l’´egalit´e vraie pour les ´etag´ees ϕn est pass´ee `a la limite.
Comme la mesure peut-ˆetre d´efinie, au niveau des ensembles de F ⊗ G, avec l’ordre des int´egrations invers´e, l’autre expression pour l’int´egrale par rapport `a ξ,
Z
F×G
fd(µ⊗ν) = Z
G
Z
F
f(x, y) dµ(x)
dν(y), d´ecoule de la mˆeme preuve.
Exemples.
— fonctions hhd´ecompos´eesii: si la fonction h mesurable d´efinie sur F×G est de la forme h(x, y) =f(x)g(y), o`uf estF-mesurable et g estG-mesurable, les deux `a valeurs dans [0,+∞], alors Z
F×G
hd(µ⊗ν) =Z
F
fdµZ
G
gdν .
— convolution positive : sif et gsont deux fonctions bor´eliennes sur R et `a valeurs dans [0,+∞], on peut poser pour toutx ∈R
(f ∗g)(x) = Z
R
f(x−y)g(y) dy,
avec valeur dans [0,+∞]. Le changement de variable lin´eaire u = x−y (o`u x est fix´e) donne
(f∗g)(x) = Z
R
f(u)g(x−u) du= (g∗f)(x).
On a de plus Z
R
(f∗g) dλ=Z
R
fdλZ
R
gdλ .
Bien entendu, le r´esultat est surtout int´eressant quand les deux int´egrales de f et de g sont finies : dans ce cas on d´eduit que la fonction f ∗g est elle aussi int´egrable sur R.
