Sph` ere et g´ eom´ etrie dans l’espace

Sph` ere et g´ eom´ etrie dans l’espace

Pr´ erequis :

Tu as d´ ej` a ´ etudi´ e, les ann´ ees pr´ ec´ edentes, quelques solides de l’espace.Tu pourras donc avoir besoin de r´ eutiliser certaines notions les concernant en particulierles formules de volumes et d’aires. A l’int´ erieur de ces solides tu utiliseras souventdes propri´ et´ es de g´ eom´ etrie plane comme le th´ eor` eme de Thal` es ou celui de Pythagore.Tu dois donc maˆıtriser toutes ces propri´ et´ es et la fa¸con de les utiliser pour pouvoirmettre en application ce que tu verras dans ce chapitre.

Enjeu :

Ce chapitre compl` ete le cours que tu as eu jusqu’` a pr´ esent sur la g´ eom´ etriedans l’espace. De nouvelles notions de g´ eom´ etrie dans l’espace seront ensuite ´ etudi´ ees en seconde et en terminale S. Il est donc important d’avoir bien compris ce chapitre en troisi` emepour pouvoir ensuite aborder sereinement les classes de lyc´ ee.

I. Sph` ere

D´ efinition :

On appelle sph` ere de centre O et de rayon R l’ensemble des points M de l’espace tels que OM R .

D´ efinition :

On appelle boule de centre O et de rayon R l’ensemble des points M de l’espace tels que OM

R .

Remarque : Une sph` ere est donc l’enveloppe ext´ erieure d’une boule. Il s’agit, dans l’espace,de la mˆ eme diff´ erence qui existe entre un cercle et un disque, dans le plan.

Propri´ et´ e :

Le volume d’une boule de rayon R est V

4 3 πR ³ .

L’aire d’une sph` ere de rayon R est A 4 πR ² . Exemple : Si R 2 cm alors :

le volume de la boule est V 4

π 2 ³ 32 π

cmˆ 3

D´ efinition :

On appelle section d’un solide par un plan, l’intersection de ce solideet du plan.

Propri´ et´ e :

La section d’un sph` ere par un plan est un cercle.

Remarque : Il existe deux cas extrˆ emes :

le cercle est r´ eduit ` a un point. On dit alors que le cercle est tangent ` a la sph` ere.

le plan passe par le centre de la sph` ere. La section est alors un grand cercle de la sph` ere. Il partage la sph` ere en deux demi-sph` eres.Dans le cas, du globe terrestre, cela correspond par exemple ` a l’´ equateur.

Si on appelle O

le centre du cercle de section et O le centre de lasph` ere, alors la droite

OO

est perpendi- culaire au plan de section.

Le point M ´ etant un point de la sph` ere, la distance OM est ´ egale aurayon du cercle. On peut ainsi appli- quer le th´ eor` eme de Pythagore dans le triangle OO

M si on connaˆıt une deuxi` eme longueur pour calculer la longueur manquante.

En g´ eographie, on rep` ere les points sur le globe terrestre ` a l’aide de parall` eles et de m´ eridiens.

III. Section de solides par un plan

Propri´ et´ e :

La section d’un pav´ e droit par un plan parall` ele ` a une face ou ` a une arˆ ete est un rectangle.

le plan est parall` ele ` a l’une des faces

le plan est parall` ele ` a une arˆ ete.

Propri´ et´ e :

La section d’un cylindre de r´ evolution de rayon R par un plan perpendiculaire ` al’axe de r´ evolution est un disque de rayon R et dont le centre appartient ` a l’axede r´ evolution du cylindre.

Propri´ et´ e :

La section d’un cylindre de r´ evolution par un plan parall` ele ` a l’axe de r´ evolution est un rectangle.

Propri´ et´ e :

La section d’un cˆ one de r´ evolution par un plan parall` ele au disque de base est est un disque . Ce disque est une r´ eduction du disque de base du cˆ one.

Propri´ et´ e :

La section d’une pyramide par un plan parall` ele ` a la base estpolygone. Ce polygone est une r´ eduction

du polygone de base.

seront ´ egaux au coefficient de r´ eduction.