G´eom´etrie affine dans R

G´eom´etrie affine dans R

C. Huyghe

1. SoitPun plan muni d’un rep`ereR(O,~_i,~_j), les points et les vecteurs sont exprim´es par leurs coordonn´ees dansR.

1- Donner un vecteur directeur, la pente une ´equation param´etrique et une

´equation cart´esienne des droites(AB)suivantes : i. A(2, 3)etB(−1, 4)

ii. A(−7,−2)etB(−2,−5)

2- Donner des ´equations param´etriques et cart´esiennes des droites passant par Aet dirig´ees par~vavec :

i. A(2, 1)et~v(−3,−1) ii. A(0, 1)et~v(1, 2)

3- Donner des ´equations param´etriques et cart´esiennes des droites d´efinies comme suit :

i. passant par le point(2,−3)et parall`ele `a l’axe desx,

ii. passant par le point(−2, 5)et parall`ele `a la droiteD: 8x+4y=3.

2. On consid`ere les 4 pointsA, B,C, Ddonn´es.(A,<sub>AB,</sub>~ <sub>AC,</sub>~ <sub>AD</sub>~ )d´efinit-il bien un nouveau rep`ere ?

1- A(2,−1, 0),B(7,−1,−1),C(−3, 0,−2),D(3,−6,−3) 2- A(4, 1, 4),B(7, 3, 1),C(9, 0, 0),D(5, 2, 3)

3. SoitE=R³, muni de la base canonique.

1- Soient ~u,~v les vecteurs de coordonn´ees respectives (−1, 1, 2) et (3, 0, 2). Donner une ´equation du plan dirig´e par ~u, ~v passant par le point C de coordonn´ees(2, 1, 3).

2- Soient~_u⁰_,~_v⁰ les vecteurs de coordonn´ees respectives(2, 1,−2)et (−1, 3, 1). Donner une ´equation de la perpendiculaire au plan dirig´e par~_u⁰_,~_v⁰_{et passant} par le pointDde coordonn´ees(−1, 1, 0).

4. Soient(A,B,C,D)un parall´elogramme. Calculer la norme du produit vectoriel AB~ ∧_AC~ en fonction de l’aire du parall´elogramme.

5. Soient(D_i)_i=1...4quatre droites du plan affine s´ecantes deux `a deux en six points distincts. Si deux d’entre elles se coupent enAet les deux autres enB, on dit que [AB]est une diagonale. Montrer que les milieux des trois diagonales sont align´es (on ´etudiera le probl`eme analytiquement en choisissant un bon rep`ere).

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6. 1- Soient (D_i : u_ix+v_iy+h_i = 0)_i=1...3 trois droites du plan affine. Montrer qu’elles sont parall`eles ou concourantes ssi

u₁ v₁ h₁ u₂ v₂ h₂ u₃ v₃ h₃

=0.

2- Soient (D1 : x+2y = 1), (D2 : x+y = 2), (D3 : 2x+ y = 3), (D4 : 3x+2y =1). D´eterminer une ´equation de la droiteDqui passe parD₁∩D₂ etD₃∩D₄sans calculer ces points d’intersection.

7. On consid`ere la famille de plans(P_m)_m∈Rd´efinis par les ´equations cart´esiennes : m²x+ (2m−1)y+mz=3

1- D´eterminer les plansPmdans chacun des cas suivants : i. A(1, 1, 1)∈P_m

ii. ~n(2,−⁵₂,−1)est orthogonal `aPm. iii. ~v(1, 1, 1)est un vecteur directeur deP_m

2- Montrer qu’il existe un unique pointQappartenant `a tous les plansP_m.

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