Alg` ebre lin´ eaire et g´ eom´ etrie affine

Alg` ebre lin´ eaire et g´ eom´ etrie affine

2.1 Espaces vectoriels, applications lin´ eaires

On prend ici pour K un sous-corps de C mais la plupart de ce qu’on va voir est valable dans le cas d’un corps commutatif quelconque, notamment au corps Z /p Z o` u p est un nombre premier. On note aussi E un espace vectoriel sur K .

2.1.1 Bases, sommes directes

Dans ce paragraphe, on ´etend au cas des familles quelconques les notions suivantes vues en premi`ere ann´ee : combinaison lin´eaire, base, somme directe.

D´ efinition 2.1.1 . Combinaison lin´ eaire

Soit (x i ) i∈I une famille de vecteurs, (λ i ) i∈I une famille de scalaires presque tous nuls (i.e. il n’y a qu’un nombre fini de λ i non nuls, (λ i

) j∈[[1,p]] ) alors on d´efinit

X

i∈I

λ i x i = X p

j=1

λ i

x i

Remarque 2.1.1. On a alors la propri´et´e suivante sur les combinaisons lin´eaires :

λ X

i∈I

λ i x i + µ X

i∈I

µ i x i = X

i∈I

(λλ i + µµ i )x i

i.e. une combinaison lin´eaire de combinaisons lin´eaires est une combinaison lin´eaire.

D´em : On prend J ⊂ I une famille finie telle que les λ i soient nuls sur le compl´ementaire de J,

K ⊂ I une famille finie telle que les µ i soient nuls sur le compl´ementaire de K.

On a alors λ X

i∈I

λ i x i + µ X

i∈I

µ i x i = λ X

i∈J∪K

λ i x i + µ X

i∈J∪K

µ i x i

= X

i∈J∪K

(λλ i + µµ i )x i propri´et´e des C.L. finies

= X

i∈I

(λλ i + µµ i )x i

185

On retrouve alors les mˆ emes d´ efinitions qu’en premi` ere ann´ ee pour une famille libre, li´ ee, g´ en´ eratrice, une base ainsi que pour les coordonn´ ees d’un vecteur :

• La famille (x i ) i∈I est libre ssi P

i∈I

λ i x i = 0 ⇒ ∀i ∈ I, λ i = 0 (les λ i ´etaient presque tous nuls, ils sont alors tous nuls).

• La famille (x i ) i∈I est li´ee ssi il existe des (λ i ) i∈I non tous nuls tels que l’on ait P

i∈I

λ i x i = 0.

• La famille (x i ) i∈I est g´en´eratrice ssi pour tout x ∈ E, il existe (λ i ) i∈I tels que x = P

i∈I

λ i x i (attention ici au fait que la somme est n´ecessairement finie).

• La famille (x i ) i∈I est une base ssi elle est libre et g´en´eratrice, ce qui est encore

´equivalent `a : pour tout x ∈ E, il existe (λ i ) i∈I uniques tels que x = P

i∈I

λ i x i .

• Dans le cas o` u les (x i ) i∈I forment une base, les λ i sont les coordonn´ees de x.

Exemple : La famille (1, X, . . . , X ⁿ , . . .) est une base de K [X] que l’on appelle base canonique de K [X].

D´ efinition 2.1.2 . Alg` ebre

Soit E un ensemble muni des lois +, × (lois internes) et . loi externe, on dit que E est une alg`ebre sur K ssi d´ ef

• (E, +, ×) est un anneau,

• (E, +, .) est un K -espace vectoriel,

• ∀(λ, µ) ∈ K ² , ∀x ∈ E, λ.(x×y) = (λ.x)×y = x×(λ.y).

D´ efinition 2.1.3 . Fonctions polynomiales

Dans F ( K ⁿ , K ) (o` u K = R ou C ), on d´efinit les fonctions polynomiales comme ´etant des combinaisons lin´eaires des fonctions de la forme (x 1 , . . . , x n ) 7→ x ^α ₁

. . . x ^α _n

o` u les α i sont des entiers. On note cet ensemble P( K ⁿ , K ).

Remarque 2.1.2. f ∈ P ( K ⁿ , K ) s’´ecrit f(x ₁ , . . . , x n ) = P

(α

,...,α

)∈ N

λ α

,...,α

x ^α ₁

. . . x ^α _n

. On peut pr´ef´erer la notation plus simple suivante : si α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ N ⁿ , on

´ecrit x ^α = x ^α ₁

. . . x ^α _n

, λ α = λ α

,...,α

alors f s’´ecrit : f (x 1 , . . . , x n ) = X

α∈ N

λ α x ^α .

Proposition 2.1.1 . Base de P ( K ⁿ , K )

La famille de fonctions (x 1 , . . . , x n ) 7→ x ^α ₁

. . . x ^α _n

est une base de P( K ⁿ , K ).

D´em : On prouve par r´ecurrence sur n que ces fonctions forment une base de

P ( K ⁿ , K ).

• Cette famille est g´en´eratrice par d´efinition.

• Montrons que les fonctions f α : x ∈ K ⁿ 7→ x ^α forment une famille libre (on a pris la notation de la remarque pr´ec´edente).

– Pour n = 1, si f(x) = P p i=0

λ i x ⁱ = 0 alors le polynˆome f admet une infinit´e de racines donc c’est le polynˆome nul ce qui donne λ i = 0 pour tout i.

– On suppose la propri´et´e vraie `a l’ordre n − 1.

Soit

f(x 1 , . . . , x n ) = X

α∈ N

λ α x ^α

= X p α

=0

X

(α

,...,α

)∈ N

λ α

,...,α

x ^α ₁

. . . x ^α _n−1

| {z }

=µ

(x

,...,x

)

x ^α _n

= X p α

=0

µ α

(x 1 , . . . , x n−1 )x ^α _n

= 0

p d´esigne le degr´e par rapport `a x n et on remarque que les µ α

sont des fonctions polynomiales de x 1 , . . . , x n−1 .

En appliquant la d´emonstration du cas n = 1, on d´eduit que les µ α

sont nulles pour tous les n − 1-uplets (x 1 , . . . , x n−1 ). On applique alors l’hypoth`ese de r´ecurrence `a chaque µ α

On retrouve aussi le fait qu’une application lin´eaire est caract´eris´ee par l’image des vecteurs d’une base :

Th´ eor` eme 2.1 . Si (e i ) i∈I est une base de E, si (f i ) i∈I est une famille de vecteurs de F alors il existe une unique f ∈ L(E, F ) telle que f(e i ) = f i .

D´em : On d´efinit f par f P

i∈I

λ i e i

= P

i∈I

λ i f i .

• f est bien lin´eaire grˆace aux propri´et´es des applications lin´eaires :

f λ X

i∈I

λ i e i + µ X

i∈I

µ i e i

!

= f X

i∈I

(λλ i + µµ i )e i

!

= X

i∈I

(λλ i + µµ i )f i

= λ X

i∈I

λ i f i + µ X

i∈I

µ i f i

= λf X

i∈I

λ i e i

!

+ µf X

i∈I

µ i e i

! .

• f est bien unique : si g est une autre application lin´eaire v´erifiant g(e i ) = f i

alors, par une r´ecurrence imm´ediate sur p, on prouve que g

X p j=1

λ i

e i

!

= f X p

j=1

λ i

e i

!

A partir de maintenant, la famille ` I est suppos´ee ˆetre finie D´ efinition 2.1.4 . Somme de sous-espaces vectoriels

Si (E i ) i∈I est une famille finie des sous-espaces vectoriels de E, on d´efinit P

i∈I

E i l’ensemble des sommes P

i∈I

x i o` u les vecteurs x i sont dans E i . La somme est directe (not´ee : M

i∈I

E i ) ssi d´ ef x = P

i∈I

x i d´ecomposition de x vecteur de la somme est unique.

Proposition 2.1.2 . P

i∈I

E i est directe ssi

0 = P

i∈I

x i ⇒ ∀i ∈ I, x i = 0

. D´em : les deux implications sont simples :

(⇒) On note 0 i le vecteur nul de E i (en fait c’est le vecteur nul de E mais cette notation est provisoire). On a 0 = P

i∈I

0 i donc, si 0 = P

i∈I

x i , alors, en vertu de l’unicit´e de la d´ecomposition, on en d´eduit que x i = 0 i = 0 pour tout i.

(⇐) Si x = P

i∈I

x i = P

i∈I

y i alors, en faisant la diff´erence, P

i∈I

(x i − y i ) = 0 donc x i − y i = 0 d’o` u l’unicit´e de la d´ecomposition

Exemple : Soit P un polynˆome de degr´e n + 1, P K [X] le sous-espace vectoriel des multiples de P alors P K [X] admet pour suppl´ementaire le sous-espace vectoriel K _n [X] des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.

Attention ! Il n’y a pas unicit´e du suppl´ementaire.

D´em : On utilise la division euclidienne par P : si Q ∈ K [X] alors Q = P K + R avec deg R < deg P = n + 1 donc K [X] = P K [X] + K _n [X].

Si Q ∈ P K [X] ∩ K _n [X] alors Q = P K et deg Q 6 n entraˆıne que Q = 0.

On a donc prouv´e que K [X] = P K [X] ⊕ K _n [X]

D´ efinition 2.1.5 . Base adapt´ ee

On suppose ici que E est de dimension finie.

• Soit F un sous-espace vectoriel de E, on appelle base adapt´ee `a F toute base (e 1 , . . . , e n ) telle que, apr`es une ´eventuelle renum´erotation, (e 1 , . . . , e p ) soit une base de F .

• Si E = M m

i=1

E i , on appelle base adapt´ee `a la d´ecomposition en somme directe toute base qui, apr`es une ´eventuelle renum´erotation, s’´ecrit (e i,j ) i∈[[1,m]],j∈[[1,n

]]

o` u chaque sous-famille (e i,j ) j∈[[1,n

]] est une base de E i .

Cette derni`ere d´efinition est tr`es int´eressante pour la r´eduction des endomorphismes et on peut l’´ecrire en prenant une partition de I.

Th´ eor` eme 2.2 . Si E est de dimension finie alors dim M

i∈I

E i = X

i∈I

dim E i .

D´em : On prend une base (e i,j ) j∈[[1,m

]] dans chaque espace E i , montrons que l’on

obtient une base adapt´ee `a la d´ecomposition en somme directe :

• La famille est g´en´eratrice : si x ∈ P

i∈I

E i alors

x = X

i∈I

x i = X

i∈I m

X

j=1

x i,j e i,j

ce qui signifie bien que la famille engendre la somme.

• La famille est libre : on a X

i∈I m

X

j=1

x i,j e i,j = X

i∈I

x i = 0

donc, comme la somme est directe, x i = 0 pour tout i donc

m

P

j=1

x i,j e i,j = 0 et vu que (e i,j ) j∈[[1,m

]] est une base de E i alors x i,j = 0 pour tous i et j

Conclusion : la famille (e i,j ) j∈[[1,m

]] est une base adapt´ee `a la d´ecomposition en somme directe donc dim L

i∈I

E i = P

i∈I

m i = P

i∈I

dim E i Vient ensuite un corollaire tr`es utile :

Corollaire 2.3 . La somme P

i∈I

E i est directe ssi

dim X

i∈I

E i = X

i∈I

dim E i . D´em : On prend les notations du th´eor`eme pr´ec´edent.

• Le sens direct vient d’ˆetre d´emontr´e.

• Pour la r´eciproque, la premi`ere partie du th´eor`eme d´emontre que la famille (e i,j ) est g´en´eratrice et comme Card(e i,j ) = dim P

i∈I

E i alors cette famille a un cardinal ´egal `a la dimension de la somme donc c’est une base de P

i∈I

E i . On en d´eduit alors que

dim X

i∈I

E i = X

i∈I

m i = X

i∈I

dim E i

Th´ eor` eme 2.4 . E de dimension quelconque, on suppose que E = M

i∈I

E i . On se donne pour tout i de I une application lin´eaire u i de E i dans F alors il existe une unique application lin´eaire de E dans F admettant comme restriction `a E i

l’application u i pour tout i.

D´em : Si x = P

i∈I

x i , on pose f (x) = P

i∈I

u i (x i ). Comme la d´ecomposition de x est

unique, f est bien d´efinie.

• Si y = P

i∈I

y i alors

f (x + y) = f X

i∈I

x i + y i

!

= X

i∈I

u i (x i + y i )

= X

i∈I

u i (x i ) + u i (y i ) = f (x) + f(y)

f(λx) = f X

i∈I

λx i

!

= X

i∈I

u i (λx i )

= X

i∈I

λu i (x i ) = λf (x) donc f est lin´eaire.

• On v´erifie aussi que si x = x i alors f(x i ) = u i (x i ) donc la restriction de f `a E i est bien ´egale `a u i .

• Si g est une autre application qui v´erifie la mˆeme propri´et´e alors g(x i ) = f (x i ) donc g(x) = P

i∈I

u i (x i ) = f(x). g = f ce qui assure l’unicit´e D´ efinition 2.1.6 . Projecteurs associ´ es ` a une somme directe Si E = M

i∈I

E i , on peut d´efinir les applications p j qui `a x = P

i∈I

x i associent x j . La famille (p i ) i∈I est appel´ee famille de projecteurs associ´ee `a la d´ecomposition E = M

i∈I

E i .

Proposition 2.1.3 . Les p j d´efinis ci-dessus sont des projecteurs, ils v´erifient p ² _j = p j , p i ◦ p j = 0 si i 6= j et Id E = P

i∈I

p i .

R´eciproquement, si une famille d’endomorphismes de E v´erifie les 3 propri´et´es ci- dessus alors les espaces vectoriels E i = p i (E) sont en somme directe, de somme E . D´em : L’implication directe est imm´ediate : en effet on a p j (x j ) = x j par unicit´e de la d´ecomposition dans une somme directe donc

• p ² _j (x) = p j (x j ) = x j = p j (x) soit p ² _j = p j .

• p i (p j (x)) = p i (x j ) = 0 pour i 6= j donc p i ◦ p j = 0.

• x = Id E (x) = P

i∈I

x i = P

i∈I

p i (x) d’o` u Id E = P

i∈I

p i . R´eciproquement, grˆace `a I E = P

i∈I

p i on obtient x = P

i∈I

p i (x) soit E ⊂ P

i∈I

E i puis l’´egalit´e car l’inclusion dans l’autre sens est vraie par hypoth`ese.

Si x i ∈ E i = p i (E) alors il existe x ∈ E tel que x i = p i (x) donc, `a l’aide des propri´et´es p ² _i = p i et p j ◦ p i = 0 pour i 6= j , on a

p i (x i ) = p ² _i (x) = p i (x) = x i et p j (x i ) = p j ◦ p i (x i ) = 0 pour i 6= j.

Enfin, si 0 = P

i∈I

x i alors en appliquant p j aux deux membres de cette ´egalit´e, on

arrive `a p j (0) = 0 = p j (x j ) = x j donc la somme est directe

2.1.2 Image et noyau d’une application lin´ eaire

Th´ eor` eme 2.5 . Soit f ∈ L(E, F ) alors f d´efinit un isomorphisme de tout sup- pl´ementaire E ^′ de Ker f sur Im(f ).

D´em : Par hypoth`ese on a E = Ker f ⊕ E ^′ .

• Si x = n + x ^′ o` u n ∈ Ker f et x <sup>′</sup> ∈ E <sup>′</sup> alors f (x) = f (x <sup>′</sup> ) d’o` u f (E ^′ ) = f(E).

Si on pose f ^′ = f _|E ^{| Im}

^f , f ^′ est surjective.

• Enfin, si f ^′ (x) = 0 alors f (x) = 0 et x ∈ E ^′ (vu la d´efinition de f) donc x ∈ Ker f ∩ E ^′ = {0} par cons´equent f ^′ est injective.

Conclusion : f ^′ est bijective i.e. f r´ealise bien un isomorphisme de E ^′ sur Im f La diff´erence entre ce th´eor`eme et celui propos´e dans les r´evisions de premi`ere ann´ee (formule du rang) c’est qu’on n’a pas suppos´e que les espaces vectoriels soient de dimension finie.

Application : Soit u l’application de K [X ] dans K ⁿ⁺¹ d´efinie par u(P ) = (P (a 0 ), . . . , P (a n )) o` u a i 6= a j pour i 6= j.

On a Ker u = N K [X] o` u N = Q n i=0

(X − a j ) : u(P ) = 0 se traduit par les ´egalit´es P (a 0 ) = P (a 1 ) = . . . = P (a n ) = 0 donc P est divisible par N i.e. P ∈ N K [X].

On sait alors que K _n [X] est un suppl´ementaire du noyau (cf. Exemple `a la page 188). u d´efinit donc un isomorphisme de K _n [X] sur K ⁿ⁺¹ .

Si (e i ) est la base canonique de K ⁿ⁺¹ alors les polynˆomes L i = u ⁻¹ (e _i+1 ) sont ´egaux

`a L i = Q

j6=i

X − a j

a i − a j

: en effet, L i v´erifie les propri´et´es suivantes

• L i (a j ) = 0 pour j 6= i donc Q

j6=i

(X − a j ) divise L i ,

• deg L i 6 n donc L i = λ Q

j6=i

(X − a j ) o` u λ ∈ K ,

• L i (a i ) = 1 d’o` u λ = Q

j6=i

1 a i − a j

D´ efinition 2.1.7 . Polynˆ ome d’interpolation de Lagrange

Les polynˆomes L i s’appellent polynˆomes d’interpolation de Lagrange aux points d’abscisse (a i ) i∈[[1,n]] . Ils forment une base de K _n−1 [X].

Remarque 2.1.3. La recherche d’un polynˆome de degr´e ⁶ n v´erifiant les conditions P (a i ) = b i est ´equivalente `a la r´esolution d’un syst`eme de Vandermonde

α 0 + α 1 a i + · · · + α n a ⁿ _i = b i pour i ∈ [[0, n]]

On trouve la solution sous la forme P = P n i=0

b i L i .

D´em : On sait, d’apr`es l’application ci-dessus, que le syst`eme P (a i ) = b i , i ∈ [[0, n]]

admet une unique solution dans K _n [X]. Or P = P ⁿ

i=0

b i L i ∈ K _n [X] et v´erifie P (a i ) = b i

ce qui donne la solution cherch´ee.

Les coefficients α k s’obtiennent (difficilement) en d´ecomposant les polynˆomes L i

dans la base canonique. En particulier α n = P n i=0

b i

Y

j6=i

1 a i − a j

.

On peut donc r´esoudre le syst`eme



 

 

1 a 0 . . . a ⁿ ₀ 1 a 1 . . . a ⁿ ₁ ... ... ...

1 a n . . . a ⁿ _n



 

 



 

  α 0

α 1

...

α n



 

  =



 

  b 0

b 1

...

b n



 

 

Corollaire 2.6 . Soit F un sous-espace vectoriel de E, E ₁ ^′ et E ₂ ^′ deux sup- pl´ementaires de F dans E (i.e. F ⊕ E ₁ ^′ = E = F ⊕ E ₂ ^′ ). Soit p la projection de E sur E ₁ ^′ parall`element `a F alors p ^|E _|E

2

d´efinit un isomorphisme de E ₂ ^′ sur E ₁ ^′ . D´em : On applique le th´eor`eme 2.5 page 191 `a p ∈ L(E) : p d´efinit un isomorphisme de E ₂ ^′ suppl´ementaire de F = Ker p sur E ₁ ^′ = Im p

Corollaire 2.7 . Les sous-espaces suppl´ementaires d’un mˆeme sous-espace vecto- riel sont isomorphes et ont mˆeme dimension si elle est finie.

D´em : Si E ₁ ^′ et E ₂ ^′ sont deux suppl´ementaires d’un mˆeme sous-espace vectoriel F alors on a vu `a la question pr´ec´edente que p ^|E _|E

2

est un isomorphisme de E ₂ ^′ sur E ₁ ^′ donc ces suppl´ementaires sont isomorphes. Une isomorphie conservant la dimension, on en d´eduit que si dim E ₁ ^′ = p alors E ₂ ^′ est de dimension finie et que cette dimension vaut p

On peut alors poser la d´efinition suivante :

D´ efinition 2.1.8 . Codimension finie, hyperplan

Si F est un sous-espace vectoriel de E admettant un suppl´ementaire E ^′ de dimen- sion finie, on dit que F est de codimension finie. dim E ^′ sera appel´e codimension de F , not´e codim F (en effet, cela ne d´epend pas du suppl´ementaire vu le dernier corollaire).

Si codim F = 1, on dit que F est un hyperplan.

Proposition 2.1.4 . Si E est de dimension finie alors dim F + codim F = dim E.

D´em : L`a c’est imm´ediat, en effet si F est un sous-espace vectoriel de E, soit (e <sub>1</sub> , . . . , e p ) une base de F que l’on compl`ete en une base de E : (e ₁ , . . . , e n ). Alors G = Vect(e p+1 , . . . , e n ) est un suppl´ementaire de F et dim | {z } F

=p

+ dim | {z } G

=n−p

= dim | {z } E

=n

D´ efinition 2.1.9 . Rang d’une application lin´ eaire

Si f ∈ L(E, F ) et si F est de dimension finie alors on d´efinit comme en premi`ere ann´ee le rang de f par Rg(f ) = dim f(E).

On peut alors g´en´eraliser la formule du rang :

Th´ eor` eme 2.8 . Si f ∈ L(E, F ) et si F est de dimension finie alors Ker f est de

codimension finie dans E et Rg(f ) = codim Ker f.

D´em : Im f est de dimension finie car c’est un sous-espace vectoriel de F qui est de dimension finie. Soit (ε 1 , . . . , ε p ) une base de Im f (p = Rg(f )). On sait qu’il existe e i ∈ E tels que f (e i ) = ε i car ε i ∈ Im f.

Montrons que la famille (e 1 , . . . , e p ) est libre : si

P p i=1

λ i e i = 0 alors

f X p

i=1

λ i e i

!

= X p

i=1

λ i f (e i )

| {z }

=ε

= 0

donc, vu que (ε 1 , . . . , ε p ) est libre, ∀i ∈ [[1, p]], λ i = 0, ce qui prouve que (e 1 , . . . , e p ) est libre.

Montrons maintenant que E ^′ = Vect(e 1 , . . . , e p ) est un suppl´ementaire de Ker f : en effet si x ∈ E alors f(x) =

P p i=1

y i ε i , on ´ecrit maintenant

x = X p

i=1

y i e i

| {z }

=y

+(x − y).

Or f (x − y) = f (x) − f (y) = 0 donc E = Vect(e i ) + Ker f.

Puis si y ∈ Vect(e i ) ∩ Ker f alors f (y) = f _p

P

i=1

y i e i

= P p i=1

y i ε i = 0. Comme la famille (ε i ) est une base alors y i = 0 pour tout i ∈ [[1, p]] donc y = 0.

On a ainsi prouv´e que E = Vect(e i ) ⊕ Ker f donc Ker f est de codimension finie et codim Ker f = dim Vect(e i ) = Rg(f ).

(la d´emonstration est imm´ediate avec le th´eor`eme 2.5 page 191 si l’on admet que tout s.e.v. d’un e.v. admet un suppl´ementaire)

Remarque 2.1.4.

(i) Si E est de dimension finie, le th´eor`eme pr´ec´edent redonne la formule du rang.

(ii) Si Rg(f ) = dim E alors f est injective.

D´em : En effet, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, dim Ker f = 0 par cons´equent Ker f = {0}

(iii) Si Rg(f ) = dim E alors Rg(f ◦ g) = Rg(g) (f ∈ L(E, F ), g ∈ L(G, E)).

D´ efinition 2.1.10 . Dual

On note E ^∗ l’ensemble des formes lin´eaires sur E. E ^∗ est appel´e espace dual de E.

Th´ eor` eme 2.9 .

Si ϕ ∈ E ^∗ et si ϕ est non nulle alors H = Ker ϕ est un hyperplan de E.

Si ψ ∈ E ^∗ et si ψ s’annule sur H alors ψ est colin´eaire `a ϕ.

D´em :

• On sait d´ej`a que Ker ϕ est un hyperplan (cf. th 2.8).

• Si ψ(H) = {0}, on ´ecrit tout vecteur x = h + λe 1 (o` u (e 1 ) est une base d’un suppl´ementaire de H). Alors ψ (x) = ψ(h) + λψ(e 1 ) = λψ(e 1 ) car ψ(h) = 0 vu l’hypoth`ese.

On obtient alors ϕ(x) = λϕ(e 1 ) d’o` u ψ(x) = ψ(e 1 )

ϕ(e 1 ) ϕ(x)

Remarque 2.1.5. Si E est de dimension finie n alors tout hyperplan H admet une

´equation de la forme a 1 x 1 + · · · + a n x n = 0 o` u x est un vecteur de H et x i sont les composantes de x dans une base de E.

D´em : On utilise le r´esultat demand´e `a la question (i) qui suit : H = Ker ϕ o` u ϕ est une forme lin´eaire. Dans une base quelconque, ϕ s’´ecrit ϕ(x) = a 1 x 1 + · · · + a n x n

d’o` u le r´esultat Questions :

(i) Montrer que tout hyperplan H est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle.

(ii) D´emontrer l’affirmation de la remarque 2.1.4 (iii).

2.1.3 Dualit´ e en dimension finie

Proposition 2.1.5 . Soit e ∈ E, e 6= 0 alors il existe ϕ ∈ E ^∗ telle que ϕ(e) = 1.

D´em : Comme e 6= 0, on sait que l’on peut compl´eter (e) en une base : (e, e 2 , . . . , e n ), on d´efinit alors ϕ par ϕ(e) = 1 et ϕ(e i ) = 0. Si x =

P n i=1

x i e i (en posant e 1 = e) alors ϕ(x) = x 1 , l’application x 7→ x 1 est une forme lin´eaire

Remarque 2.1.6. Si ϕ(x) = 0 pour toute forme lin´eaire ϕ de E ^∗ alors x = 0.

D´em : C’est la contrapos´ee de la proposition pr´ec´edente : on a prouv´e que e 6= 0 ⇒ ∃ϕ ∈ E ^∗ | ϕ(e) 6= 0

et, en prenant la contrapos´ee, on obtient

∀ϕ ∈ E ^∗ , ϕ(e) = 0 ⇒ e = 0

Proposition 2.1.6 . Base duale

Soit (e 1 , . . . , e n ) une base de E, on note ϕ j les formes lin´eaires coordonn´ees d´efinies par ϕ j (e i ) = δ ij .

La famille (ϕ 1 , . . . , ϕ n ) est une base de E ^∗ appel´ee base duale de la base B et not´ee B ^∗ .

D´em : Ceci a d´ej`a ´et´e prouv´e en premi`ere ann´ee, cf. th´eor`eme 8.15 page 135 Th´ eor` eme 2.10 . Base ant´ e-duale

Soit B ^∗ = (ϕ ₁ , ϕ ₂ , . . . , ϕ n ) une base de E ^∗ , alors il existe une base de E, B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) telle que ϕ j (e i ) = δ ij .

B ^∗ est la base duale de B et B est appel´ee base ant´ e-duale de B ^∗ .

D´em : Soit f : e ∈ E 7→ (ϕ 1 (e), ϕ 2 (e), . . . , ϕ n (e)) ∈ K ⁿ . f est une application lin´eaire de E dans K ⁿ deux e.v. de mˆeme dimension.

Si ϕ i (e) = 0 pour tout i alors pour toute ϕ ∈ E ^∗ , ϕ = P n i=1

λ i ϕ i , ¹ on obtient alors ϕ(e) =

P n i=1

λ i ϕ i (0) = 0 donc f est injective.

f est une application lin´eaire injective entre deux espaces vectoriels de mˆeme di- mension donc f est un isomorphisme.

On note e i l’image r´eciproque par f de la base canonique de K ⁿ :

on a ainsi e ₁ = f ⁻¹ (1, 0, . . . , 0) donc ϕ ₁ (e ₁ ) = 1 et ϕ i (e ₁ ) = 0 pour i > 2. de mˆeme ϕ i (e j ) = δ ij (symbole de Kronecker)

Remarque 2.1.7.

(i) Pour prouver qu’une famille L de formes lin´eaires est une base de E ^∗ , il suffit de trouver une base de E dont c’est la base duale.

D´em : C’est imm´ediat, en effet, soit L = (ϕ ₁ , . . . , ϕ n ), si on trouve (e i ) une base de E telle que ϕ i (e j ) = δ ij alors L est g´en´eratrice (toute forme lin´eaire ϕ ∈ E ^∗ s’´ecrit ϕ(x) =

P n i=1

a i x i soit ϕ = P n i=1

a i ϕ i ). Comme L contient n ´el´ements alors c’est une base de E ^∗

(ii) On note parfois ϕ(x) =< x, ϕ > et, avec les notations du th´eor`eme pr´ec´edent, on a < x, ϕ >= P n

i=1 x i y i o` u x i et y i d´esignent les coordonn´ees respectives de x dans B et de ϕ dans B ^∗ .

Ceci ressemble alors `a l’expression du produit scalaire dans une base ortho- norm´ee et justifie l’´ecriture du th´eor`eme suivant F ^o pour “l’orthogonal” de F .

Exemple : Soient (a 0 , a 1 , . . . , a n ) ∈ K ⁿ⁺¹ des ´el´ements distincts, on d´efinit les formes lin´eaires ϕ j sur K _n [X] par ϕ j (P ) = P (a j ).

La famille (ϕ 0 , ϕ 1 , . . . , ϕ n ) est une base car c’est la base duale de la famille des polynˆomes d’interpolation de Lagrange (L 0 , L 1 , . . . , L n ).

Th´ eor` eme 2.11 .

Soit F un s.e.v. de E de dimension p. On note F ^o = {ϕ ∈ E ^∗ | ∀x ∈ F, ϕ(x) = 0}, on a dim F ^o = n − p.

D´em : Soit (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une base adapt´ee `a F ((e 1 , . . . , e p ) est une base de F ), (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n ) sa base duale.

Si ϕ = P n

i=1 λ i ϕ i ∈ F ^o alors ϕ(e i ) = 0 pour i 6 p donc ϕ ∈ Vect(ϕ p+1 , . . . , ϕ n ) = G et par cons´equent F ^o ⊂ G.

Comme ϕ i ∈ F ^o pour i ^> p + 1 (ϕ i (e j ) = 0 pour j 6 p) on a G ⊂ F ^o d’o` u F ^o = G soit dim F ^o = n − p

Corollaire 2.12 . Soit Φ = (ϕ ₁ , ϕ ₂ , . . . , ϕ q ) une famille libre de formes lin´eaires sur E, H i = Ker ϕ i alors F =

\ q

i=1

H i est un s.e.v. de dimension n − q.

Si ϕ ∈ F ^o (notation du th´eor`eme pr´ec´edent) alors ϕ = P q i=1

λ i ϕ i .

1

C’est l’expression de ϕ dans cette base

D´em : On compl`ete Φ en une base B ^∗ : (ϕ 1 , . . . , ϕ q , . . . , ϕ n ) et on prend (e 1 , e 2 , . . . , e n ) la base ant´e-duale associ´ee.

On a H i = Vect(e 1 , . . . , e b i , . . . , e n ) ( e b i signifie que l’on enl`eve ce vecteur—et que l’on garde les autres—) :

en effet x = P n j=1

x j e j ∈ H i ⇔ ϕ i (x) = x i = 0 soit x ∈ H i , l’inclusion dans l’autre sens ´etant imm´ediate.

Ensuite, x ∈ F ⇔ ∀i ∈ [[1, q]], x i = 0 (avec la notation ci-dessus) donc F = Vect(e q+1 , . . . , e n )

Enfin, si ϕ ∈ F ^o alors, en utilisant la d´emonstration du th´eor`eme pr´ec´edent, alors ϕ ∈ Vect(ϕ 1 , . . . , ϕ q )

On peut alors rajouter la remarque suivante :

Remarque 2.1.8. En reprenant les notations de la d´emonstration du th´eor`eme 2.10, on peut interpr´eter le corollaire pr´ec´edent de la mani`ere suivante :

si f : e ∈ E 7→ (ϕ 1 (e), . . . , ϕ q (e)) ∈ K ^p alors f est surjective et Ker f =

\ q

i=1

H i = F et on a codim Ker f = q.

D´em : On montre que f est surjective par l’absurde. Si f n’est pas surjective alors il existe H hyperplan de K ^q tel que Im f ⊂ H. Soit a 1 x 1 + · · · + a q x q = 0 l’´equation de H dans la base canonique de K ^q alors on a

∀x ∈ E, a ₁ ϕ ₁ (x) + · · · + a q ϕ q (x) = 0

soit a 1 ϕ 1 + · · · + a q ϕ q = 0 ce qui est impossible car la famille (ϕ i ) est libre.

Ker f =

\ q i=1

H i = F est imm´ediat car e ∈ Ker f ⇔ ∀i ∈ [[1, q]], ϕ i (e) = 0 ce qui est encore ´equivalent `a ∀i ∈ [[1, q]], e ∈ H i

Questions :

(i) Soit a ∈ K , on d´efinit les formes lin´eaires sur K _n [X] par y ^∗ _k (P ) = P ^(k) (a).

Montrer que la famille (y ₀ ^∗ , . . . , y _n ^∗ ) est une base de K _n [X] ^∗ . En chercher la base ant´e-duale.

(ii) Soit P la matrice de passage de (e i ) `a (ε i ), on note (e <sup>∗</sup> <sub>i</sub> ) la base duale de (e i ), (ε <sup>∗</sup> <sub>i</sub> ) la base duale de (ε i ) et on appelle Q la matrice de passage de (e <sup>∗</sup> <sub>i</sub> ) `a (ε ^∗ _i ).

Chercher une relation entre P et Q.

(iii) On pose V n = Vect(e ^−int , . . . , 1, . . . , e ^int ) sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions continues sur R . Pour k ∈ [−n, n], on pose

ϕ k (f) = 1 2π

Z 2π 0

f(t)e ^−ikt dt pour f ∈ V n . Soit θ ∈ R , trouver g ∈ V n telle que ∀f ∈ V n , f(θ) = 1

2π Z 2π

0

f (t)g(t) dt.

(iv) Soient a 1 , . . . , a n+1 n + 1 ´el´ements distincts de R . On d´efinit P i = (X + a i ) ⁿ .

Montrer que la famille (P 1 , . . . , P n+1 ) est une base de R _n [X] (on montrera que

si ϕ est une forme lin´eaire qui s’annule sur chaque P i alors ϕ = 0).

2.1.4 Trace d’un endomorphisme

D´ efinition 2.1.11 . Trace d’une matrice carr´ ee Si A ∈ M n ( K ) on appelle Tr(A) =

P n i=1

a ii la somme des termes situ´es sur la diago- nale.

Proposition 2.1.7 .

La trace est une application lin´eaire, on a la propri´et´e fondamentale suivante Tr(AB) = Tr(BA)

ce qui permet d’avoir Tr(P MP ⁻¹ ) = Tr M mais on n’a pas Tr(ABC) = Tr(BAC).

D´em : AB = (c ij ) o` u c ij = P n k=1

a ik b kj et BA = (c ^′ _ij ) o` u c ^′ _ij = P n k=1

b ik a kj . On a alors

Tr(AB ) = X n

i=1

c ii = X n

i=1

X n k=1

a ik b ki

!

Tr(BA) = X n

i=1

c ^′ _ii = X n

i=1

X n k=1

b ik a ki

! .

Dans l’expression de Tr(BA), on utilise la commutativit´e dans K , on ´echange les indices k ↔ i, et on permute les sommes ce qui donne l’´egalit´e.

On a alors

Tr(P MP ⁻¹ ) = Tr((P M )P ⁻¹ ) = Tr(P ⁻¹ (P M )) = Tr((P ⁻¹ P )M ) = Tr(M ) On a vu `a la proposition pr´ec´edente que deux matrices semblables avaient la mˆeme trace, donc si on prend la matrice d’une application lin´eaire dans une base quel- conque, alors la trace de cette matrice ne d´epend pas de la base choisie (les matrices d’un mˆeme endomorphisme sont toutes semblables). On peut alors d´efinir :

D´ efinition 2.1.12 . Trace d’un endomorphisme en dimension finie La trace d’un endomorphisme est la trace de sa matrice dans une base quelconque.

Enfin, une propri´et´e simple mais tr`es utile :

Proposition 2.1.8 . Si p est un projecteur en dimension finie alors Rg(p) = Tr(p).

D´em : On a E = Im p ⊕ Ker p et on prend une base adapt´ee (e 1 , . . . , e r , e r+1 , . . . , e n ) o` u (e 1 , . . . , e r ) est une base de Im p ² et (e r+1 , . . . , e n ) une base de Ker p. p(e i ) = e i

pour i 6 r et p(e i ) = 0 pour i > r. La matrice de p dans cette base s’´ecrit par cons´equent sous la forme M (p) =

I r 0 0 0

donc Tr(M (p)) = Tr(p) = r Questions :

(i) Montrer que Tr[(AB) ⁿ ] = Tr[(BA) ⁿ ] pour tout n ∈ N .

(ii) Soit f ∈ M n ( K ) ^∗ , montrer qu’il existe F ∈ M n ( K ) telle que ∀M ∈ M n ( K ), f (M ) = Tr(MF ).

2

r est bien sˆ ur le rang de p

2.1.5 Calcul matriciel et syst` emes d’´ equations lin´ eaires

D´ efinition 2.1.13 . Matrices ´ equivalentes

Si (A, B ) ∈ M ² _p,n ( K ) on dit que A et B sont ´equivalentes ssi d´ ef

∃(R, S) ∈ GL p ( K )× GL n ( K ) tel que B = RAS

On a vu dans les r´evisions de premi`ere ann´ee au 8.4.4. que deux matrices de M n ( K ) sont ´equivalentes ssi elles sont ´equivalentes `a la matrice J r =

I r 0 0 0

(th´eor`eme 8.42 page 151).

Th´ eor` eme 2.13 . C.N.S. pour que 2 matrices soient ´ equivalentes A et B sont ´equivalentes dans M p,n ( K ) ssi Rg(A) = Rg(B).

D´em : Si A et B sont ´equivalentes alors il existe (R, S) ∈ GL p ( K )× GL n ( K ) tel que B = RAS. Si f et g sont les applications lin´eaires de K ^p dans K ⁿ de matrices A et B, ρ et σ celles de R et S alors g = ρ ◦ f ◦ σ. Comme ρ et σ sont bijectives, elles conservent le rang donc

Rg(B) = Rg(g) = Rg(ρ ◦ f ) = Rg(f) = Rg(A).

R´eciproquement : soit r = Rg(A) = Rg(B). A est donc ´equivalente `a J r , B est ´equivalente `a J r . Ceci s’´ecrit encore A = RJ r S et B = R ^′ J r S ^′ o` u (R, S) ∈ GL p ( K )× GL n ( K ) et (R <sup>′</sup> , S <sup>′</sup> ) ∈ GL p ( K )× GL n ( K ). J r = R <sup>−1</sup> AS <sup>−1</sup> d’o` u B = RR ⁻¹ AS ⁻¹ S ^′ = R ^′′ AS ^′′ o` u (R ^′′ , S ^′′ ) ∈ GL p ( K )× GL n ( K ) donc A et B sont

´equivalentes

• Au 8.4.3. on a vu les op´erations ´el´ementaires sur les matrices et l’application que l’on pouvait en faire pour calculer l’inverse d’une matrice (algorithme du pivot de Gauss).

• Au 8.4.5. on a vu comment r´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires grˆace au pivot de Gauss.

• On peut appliquer le pivot partiel pour rechercher le rang d’une matrice rec- tangulaire.

• Enfin, dans l’algorithme du pivot partiel, lorsqu’on obtient la matrice trian- gulaire, le produit des termes qui sont sur la diagonale nous fournit, au signe pr`es, le d´eterminant. Le signe de ce dernier sera obtenu en comptant les transpositions faites.

• On a vu, toujours au 8.4.5. que l’on pouvait donner une interpr´etation `a

l’aide de la dualit´e d’un syst`eme lin´eaire. On peut maintenant en donner

une interpr´etation g´eom´etrique : on recherche l’intersection d’une famille

d’hyperplans affines.

Th´ eor` eme 2.14 . Interpr´ etation duale d’un syst` eme Soit

 



 

ϕ 1 (x) = b 1

ϕ 2 (x) = b 2

ϕ p (x) = b p

o` u x ∈ E de dimension n. On suppose que la famille (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ p ) est libre (donc p <sup>6</sup> n) alors le syst`eme admet comme ensemble de solutions un sous-espace affine de dimension n − p.

En particulier, si n = p (syst`eme de Cramer), il admet une unique solution.

D´em : On compl`ete (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ p ) en une base B ^∗ : (ϕ 1 , . . . , ϕ p , ϕ p+1 , . . . , ϕ n ) et on prend (e ₁ , e ₂ , . . . , e n ) la base ant´e-duale associ´ee.

Si x 0 = P p i=1

b i e i alors ϕ 1 (x 0 ) = b 1 , . . . , ϕ p (x 0 ) = b p donc x 0 est une solution du syst`eme.

Si x est une autre solution alors ϕ i (x − x 0 ) = ϕ i (x) − ϕ i (x 0 ) = 0 pour i ∈ [[1, p]] donc x − x 0 ∈

\ p i=1

Ker ϕ i . On utilise alors le corollaire 2.12 pour conclure que l’ensemble des solutions S s’exprime sous la forme S = x ₀ + Vect(e _p+1 , . . . , e n )

Remarque 2.1.9. si f ∈ L(E) il peut ˆetre int´eressant de consid´erer f comme une application lin´eaire de L(E, E) en choisissant des bases diff´erentes dans E espace de d´epart et E espace d’arriv´ee (et dans ce cas, on peut avoir M (f) = J r ).

Question :

D´eterminer tous les ´el´ements (a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∈ K ⁿ tels que a 1 x 1 +a 2 x 2 +· · ·+a n x n = 0

pour tout ´el´ement (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ K ⁿ tel que x 1 + x 2 + · · · + x n = 0.