Alg`ebre 2 – TD9 2010-2011
Alg` ebre commutative et g´ eom´ etrie
Exercice no 1 Soit K un corps quelconque et soient F1, . . . , Fr ∈ K[X1, . . . , Xn] des polynˆomes qui n’ont pas de z´ero commun dans une clˆoture alg´ebrique de K.
Montrer qu’il existe des polynˆomesG1, . . . , Gr ∈K[X1, . . . , Xn] tels que∑
iFiGi = 1.
Exercice no 2 Soit K un corps.
1. Montrer que lesK-alg`ebresK[X] etK[X, Y]/(X2+Y2−1) sont isomorphes.
2. Montrer que les K-alg`ebres K[X] et K[X, Y]/(Y2−X2(X−1)) ne sont pas isomorphes, mais qu’elles le sont apr`es localisation par un certain id´eal maxi- mal.
Exercice no 3 Soit P ∈ C[X, Y]. Montrer que C[X, Y]/(P) est un anneau de Dedekind si et seulement si (P, dP/dX, dP/dY) = C[X, Y].
Exercice no 4 (Nullstellensatz pour les nombres complexes) On veut don- ner une preuve diff´erente de la caract´erisation des id´eaux maximaux deC[X1, . . . , Xn].
1. Soit P un id´eal premier de C[X1, . . . , Xn]. Montrer qu’il existe α1, . . . , αr ∈ C tels que si K = Q(α1, . . . , αr) et Q = P ∩ K[X1, . . . , Xn], alors P = QC[X1, . . . , Xn].
2. Montrer que Qest premier.
3. Soit L le corps des fractions de K[X1, . . . , Xn]/Q. Montrer que L peut se plonger dansC.
4. En consid´erant les images desXi ∈L dans C, montrer que si f /∈P, on peut trouver un pointp∈Cn dans le lieu des z´eros de P tel que f(p)̸= 0.
5. Conclure.
6. (Pour ceux qui connaissent les ultraproduits). D´eduire de ce qui pr´ec`ede les id´eaux maximaux de k[X1, . . . , Xn], o`u k est un corps alg´ebriquement clos quelconque.
Exercice no 5 Soit k un corps, n un entier naturel, et (Xij)1≤i≤n 1≤j≤n
une famille de n2 ind´etermin´ees. On appelle ∆ le d´eterminant de la matrice (Xij). Ainsi, ∆ est un
´el´ement de l’anneauk[(Xij)] des polynˆomes en les n2 ind´etermin´ees consid´er´ees.
1. Montrer ce polynˆome est irr´eductible (autrement dit, si ∆ = P QavecP, Q∈ k[(Xij)], alors l’un de P et Q est constant). Pour cela, on pourra ´etudier le degr´e de P et Q par rapport `a toutes les variables d’une ligne i0, puis d’une colonnej0.
2. Si k est alg´ebriquement clos, montrer sans utiliser la question pr´ec´edente que pour chaque 0 ≤ r ≤ n l’ensemble des matrices de rang ≤ r est un ferm´e alg´ebrique irr´eductible dans Mn(k) (identifi´e `a k2n) muni de sa topologie de Zariski. Pour cela, on pourra utiliser l’applicationψ: Mn(k)×Mn(k)→Mn(k) qui envoie (a, b) sur aJ b o`uJ est une matrice judicieusement choisie.
Alg`ebre 2 – TD9 2010-2011
3. Quel est le rapport entre les questions pr´ec´edentes ?
Exercice no 6 (Un anneau noeth´erien de dimension de Krull infinie) Soit k un corps., et soitA=k[X1, . . . , Xn, . . .] l’anneau de polynˆomes en une infinit´e de variables. Soit (un) une suite tendant vers l’infini, avec u1 = 0. On note Pn l’id´eal premier (Xun+ 1, . . . , Xun+1). Soit S le compl´ementaire de la r´eunion des Pn, et B le localis´e de A enS.
1. Quels sont les id´eaux maximaux de B?
2. Calculer la dimension de Krull de B et montrer qu’elle peut ˆetre infinie si la suite (un) est bien choisie.
3. SoitR un anneau dont les localis´es en tout id´eal maximal sont noeth´eriens et tel que pour toutx∈R, il existe un nombre fini d’id´eaux maximaux contenant x. Montrer queR est noeth´erien.
4. Montrer que l’anneau B construit ci-dessus est noeth´erien. Cet exemple est dˆu `a Nagata.
Exercice no 7 Soit k un corps alg´ebriquement clos. On consid`ere f1, . . . , fm ∈ k[X1, . . . , Xn] des polynˆomes homog`enes de degr´es respectifs d1, . . . , dm >0 en les ind´etermin´eesX1, . . . , Xn. Le but de l’exercice est de montrer que si n > m alors il existe (dans kn) un z´ero commun non-trivial (c’est-`a-dire diff´erent de (0, . . . ,0)) `a f1, . . . , fm. On suppose donc que le seul z´ero commun `af1, . . . , fm est (0, . . . ,0) et on va montrer n≤m.
1. Montrer qu’il existe r ∈ N tel que tout monˆome de degr´e (total) ≥ r en X1, . . . , Xnappartienne `a l’id´ealIengendr´e parf1, . . . , fmdansk[X1, . . . , Xn].
2. En d´eduire que tout monˆome de degr´e total ≥ r en X1, . . . , Xn peut s’´ecrire g(X1, . . . , Xn) o`u g est un polynˆome de degr´e total < r en X1, . . . , Xn `a coefficients dans l’anneau A = k[f1, . . . , fm] engendr´e par f1, . . . , fm dans k[X1, . . . , Xn].
3. En notant K = k(f1, . . . , fm) le corps des fractions de l’anneau int`egre A (vu `a l’int´erieur de k(X1, . . . , Xn)), en d´eduire que K[X1, . . . , Xn] est un K- espace vectoriel de dimension finie. Conclure que k(X1, . . . , Xn) est un K- espace vectoriel de dimension finie.
4. En raisonnant sur le degr´e de transcendance, conclure que n≤m.
Exercice no 8 (th´eor`eme de Tsen) Soit k un corps alg´ebriquement clos, k(T) le corps des fractions rationnelles `a une ind´etermin´ee sur k. On consid`ere un po- lynˆome f ∈ k(t)[X1, . . . , Xn] homog`ene de degr´e d `a n+ 1 ind´etermin´ees `a coef- ficients dans k(T), o`u 0 < d < n (le degr´e est strictement inf´erieur au nombre d’ind´etermin´ees). Montrer que f a un z´ero non trivial : il existe X1, . . . , Xn dans k(T), non tous nuls, tels que f(x1, . . . , xn) = 0. Pour cela, on supposera (quitte `a chasser les d´enominateurs) que les coefficients de f sont dansk[T], et on cherchera une solution (X1, . . . , Xn) avec Xℓ = ∑N
j=0cℓ,jTj, o`u les cℓ,j sont `a d´eterminer et o`u N est un entier suffisamment grand : en consid´erant alors f(X1, . . . , Xn) = 0 comme un syst`eme en les cℓ,j, on appliquera le r´esultat de l’exercice 7.
