Universit´e Denis Diderot 02 novembre 2004
U.F.R. de Math´ematiques M. Fouquet, L. Merel
Licence de Math´ematiques et d’Informatique : Alg`ebre et G´eom´etrie TEST No 2
NOM : Pr´enom :
1) On poseN ={(a,−a)| a∈R}. Montrer que N est un sous-groupe distingu´e de R×Ret que le groupe quotient R×R/N est isomorphe au groupe R.
2) Quelle est la liste, `a isomorphisme pr`es, des groupes ab´eliens d’ordre 792 ? 3) L’ensemble des polynˆomes `a coefficients entiers dont le terme constant est 3
est-il un id´eal de Z[x]?
4) SoientRetSdeux anneaux commutatifs et soitϕ:R →Sun homomorphisme d’anneaux. Montrer que siJ est un id´eal de S alorsϕ−1(J) est un id´eal de R.
5) Soit ϕ :Q[x]→ Q l’application qui `a p(x) associe p(0). Est-ce un homomor- phisme d’anneaux?
6) Soit D un entier qui n’est pas un carr´e parfait dans Z. On d´efinit le sous- ensemble de C suivant :
Qh√
Di=na+b√
D | a, b∈Qo. Montrer que Qh√
Di est un corps.
7) ´Enoncer le lemme chinois.
R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.
