Licence 3 Alg`ebre Universit´e Paris Diderot 2016-2017
Feuille de TD8–Id´eaux
Exercice 1. Soit A un anneau commutatif. SoitMun id´eal maximal de A.
1. Montrer que si A×=A− M,A ne poss`ede pas d’autre id´eal maximal que M.
2. Admettons d´esormais que tout id´eal deA distinct deAest contenu dans un id´eal maximal.
Montrer que si Ane poss`ede pas d’autre id´eal maximal que M, on aA×=A− M.
3. Montrer que si 1 +M ⊂A×, l’anneau Ane poss`ede pas d’autre id´eal maximal que M.
Exercice 2. Soit p un nombre premier. SoitA un anneau int`egre de caract´eristiquep.
1. Montrer que l’application φ : A → A d´efinie par a 7→ ap est un homomorphisme injectif d’anneaux.
2. Montrer que c’est un isomorphisme si Aest fini.
3. Supposons que Aest un corps fini. Montrer que φest l’identit´e si et seulement siA poss`ede p´el´ements.
Exercice 3. Posons Z[i] ={a+ib∈C/a, b∈Z}.
1. Montrer que c’est un sous-anneau deC. Est-ce un anneau int`egre ?
2. Montrer que l’application Z[i]→Z[i] qui `a zassocie ¯zest un isomorphisme d’anneaux.
3. Posons, pourz ∈ C, N(z) =zz. Montrer qu’on a¯ N(zz0) =N(z)N(z0). En d´eduire que si z∈Z[i]×, on a N(z) = 1 ou −1.
4. Montrer queZ[i]× ={1,−1, i,−i}.
5. Montrer que tout nombre complexe s’´ecrit comme somme d’un ´el´ement de Z[i] et d’un nombre complexe de module<1. Soitz∈Z[i], etd∈Z[i],d6= 0. Montrer qu’il existeq ∈Z[i], etr∈Z[i] avec N(r)< N(d) tels quez=dq+r.
6. Soit I un id´eal non nul de Z[i]. Soit a ∈ I, tel que N(a) soit minimal dans {N(b)/b ∈ Z[i], b6= 0}. Montrer que l’id´eal I est engendr´e par a. L’anneau Z[i] est-il principal ?
Exercice 4. Soit A=Z[i√
5] ={a+ib√
5, a, b∈Z} ⊂C.
1. Montrer que c’est un anneau.
2. On consid`ere l’applicationnorme N : A→N d´efinie parN(a+ib√
5) =a2+ 5b2. Montrer que, pour toutx, y∈A, on aN(xy) =N(x)N(y).
3. Montrer queA× ={x∈A/N(x) = 1} et donc queA×={−1,1}.
4. Existe-t-il des ´el´ements de norme 3?
5. Montrer que 3, 2 +i√
5 et 2−i√
5 sont irr´eductibles dans A.
6. En d´eduire queA n’est pas principal.
Exercice 5. Soitφ:A→B un morphisme d’anneaux et soita∈A. Parmi les ´enonc´es suivants, certains sont vrais et certains sont faux. Selon le cas, donner une preuve ou un contre-exemple.
1. Siaest inversible, alors a6∈Ker(φ).
2. Siφ(a) est inversible, alorsa est inversible.
3. Siφest bijectif eta est irr´eductible, alors φ(a) est irr´eductible.
4. Siaest inversible alorsφ(a)2 est inversible.
5. Siφest injectif eta irr´eductible, alors φ(a) est irr´eductible.
6. Siφest surjectif et φ(a) irr´eductible, alors aest irr´eductible.
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Exercice 6. Lesquels des anneaux suivants sont isomorphes entre eux : Z/72Z,Z/8Z×Z/9Z, Z/54Z×Z/2Z,Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/9Z,Z/6Z×Z/12Z,Z/18Z×Z/4Z,Z/36Z×Z/2Z, Z/8Z×Z/3Z×Z/3Z,Z/6Z×Z/6Z×Z/2Z,Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/3Z×Z/3Z?
Exercice 7. Soit nun nombre entier.
1. Montrer que la classe modulo nd’un entier k est inversible dans Z/nZsi et seulement si k etnsont premiers entre eux.
2. Soit p ∈ Z un nombre premier. D´eterminer l’ordre du groupe (Z/pZ)× et en d´eduire une nouvelle d´emonstration du petit th´eor`eme de Fermat (np≡n[p]).
3. Soit α >0 un entier. D´eterminer l’ordre du groupe (Z/pαZ)×.
4. Soient a, b deux entiers premiers entre eux. En utilisant le th´eor`eme des restes chinois, montrer que le groupe (Z/abZ)× est isomorphe `a (Z/aZ)××(Z/bZ)×.
5. Posons n=Qr
i=1pαii (d´ecomposition en un produit de nombres premiers). Calculer l’ordre de (Z/nZ)×.
Exercice 8.
1. R´esoudre dans Zle syst`eme d’´equations suivant :
x ≡ 3 [17]
x ≡ 4 [11]
x ≡ 5 [6]
2. Une bande de 17 pirates poss`ede un tr´esor constitu´e de pi`eces d’or d’´egale valeur. Ils projettent de se les partager ´egalement, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors trois pi`eces. Mais les pirates se querellent, et six d’entre eux sont tu´es. Un nouveau partage donnerait au cuisinier quatre pi`eces. Dans un naufrage ult´erieur, seuls le tr´esor, six pirates et le cuisinier sont sauv´es, et le partage donnerait alors cinq pi`eces d’or `a ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut esp´erer le cuisinier s’il d´ecide d’empoisonner le reste des pirates ?
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