Montrer que tr((A+B)p

Problème : Le petit théorème de Fermat pour les matrices Dans ce problème,

ndésigne un entier naturel non nul,

(G,×) désigne un groupe ni etH un sous-groupe, X désigne un ensemble ni,

A et B désignent deux matrices de taillen à coecients dans Z, autrement dit deux éléments de M_n(Z),

p désigne un nombre premier.

L'objectif de ce problème est de prouver le théorème qui suit.

Soitp un nombre premier.

Pour toutes matricesA, B ∈ M_n(Z),

tr((A+B)^p)≡tr(A^p) + tr(B^p) [p].

Théorème 1

Partie N^o1 : Preuve du théorème lorsque A et B commutent : le cas facile.

Soient A, B∈ M_n(Z) deux matrices qui commutent.

1. Montrer que

tr((A+B)^p) =

p

X

k=0

p k

tr(A^kB^p−k).

2. Montrer que, pour tout 16k6p−1,p divise ^p_k . 3. En déduire le théorème.

Partie N^o2 : Si A et B ne commutent pas, c'est plus compliqué.

Dorénavant, A etB désignent deux matrices deA, B ∈ M_n(Z) qui ne commutent pas forcément.

1. Expliquer où intervient l'hypothèse de commutativité de A etB de la preuve proposée dans la partie N^o1.

2. Justier que, pour toutM, N ∈ M_n(R),tr(M N) = tr(N M). 3. Développer(A+B)² et montrer le théorème pourp= 2. 4. Développer(A+B)³ et montrer le théorème pourp= 3.

5. En développant(A+B)⁴, observer que le théorème ne fonctionne pas pour une puissance4. 6. Montrer que, pour tout m∈N^?

(A+B)^m= X

(M1,···,Mm)∈{A,B}^m

M₁× · · · ×M_m.

7. Justier que

tr((A+B)^p) = X

(M1,···,Mp)∈{A,B}^p

tr(M1× · · · ×Mp).

Que va-t-il falloir réussir à prouver pour obtenir le théorème dans le cas général ?

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Partie N^o3 : Le théorème de Lagrange et ensemble quotient.

Soit(G,×)un groupe ni et H un sous-groupe de G. On dénit queGla relation binaire

∀x, y∈G,

xRy ⇔ ∃h∈H/ /x=y×h

. 1. Montrer queR est une relation d'équivalence surG.

On note _H^G l'ensemble des classes d'équivalences pour cette relation d'équivalence.

Pour g∈G, on note gla classe d'équivalence de g.

2. Soientg, g⁰ ∈G. Montrer que si g∩g⁰ 6=∅ alorsg=g⁰. 3. En déduire que

G= G

g∈^G_H

g

Remarque : La réunion est formée d'ensembles deux à deux disjoints.

4. En considérant, pour g ∈ G, l'application ψg : h 7→ g ×h, montrer que toutes les classes d'équivalences sont nies de même cardinal.

5. En déduire que

|G|=

G H

× |H|.

En particulier, |H|divise |G|(théorème de Lagrange).

Partie N^o4 : Action de groupe

On considère (G,×) un groupe ni (l'élément neutre est noté e), X un ensemble ni et on suppose donnée une application

•: G×X → X (g, x) 7→ g·x vériant

pour tout x∈X,e•x=x. (Hypothèse N^o1)

pour tous g, g⁰∈Get toutx∈X,(g×g⁰)•x=g•(g⁰•x). (Hypothèse N^o2) Pour x∈X, on note

O_x={g•x / g∈G} l'orbite de x,

S_x={g∈G / g•x=x} le stabilisateur dex.

On note ennO={O_x / x∈X}, l'ensemble de tous les orbites.

1. Soitx∈X. Montrer queS_x est un sous-groupe de (G,×).

2. Soitx∈X. Soientg∈ _S^G

x etg₁, g₂ ∈g. Montrer queg₁•x=g₂•x. En déduire que l'application

χx : _S^G

x → O_x g 7→ g•x est bien dénie et bijective.

En déduire que |G|=|O_x| × |S_x|. 3. Montrer que

X= G

O∈O

O.

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Partie N^o5 : La preuve du théorème On considère c= 1 2 · · · p

la permutation circulaire de S_p et on note G={c^k / k∈Z}. 1. Montrer queG={c^k /06k6p−1} et que(G,◦) est un groupe abélien de cardinalp. On rappelle queA etB désignent deux matrices deM_n(Z)etp un nombre premier.

On pose X={A, B}^p et l'application

•: G×X → X

(σ,(M1,· · ·, Mp)) 7→ (M_σ(1),· · ·, M_σ(p)) 2. Montrer que les hypothèses de la partie N^o4 sont vériées.

3. En conservant les notations de la partie N^o4, montrer que tr((A+B)^p) = X

O∈O

X

(M1,···,Mp)∈O

tr(M1× · · · ×Mp).

Comme écrit dans la question précédente, les orbites seront notées O plutôt que O_x an de ne pas trop alourdir les notations.

4. SoitO ∈ O. Montrer que |O| ∈ {1, p}.

5. Montrer que|O|= 1si, et seulement si, O={(A,· · · , A)}ou O={(B,· · · , B)}. 6. Montrer que, pour tout σ∈G, pour tous M₁,· · · , M_p ∈ {A, B},

tr(M_σ(1)× · · · ×M_σ(p)) = tr(M₁× · · · ×M_p).

En déduire que, pour tout O ∈ O, pour tous(M1,· · · , Mp),(N1,· · · , Np)∈ O, tr(M1× · · · ×Mp) = tr(N1× · · · ×Np).

7. Prouver le théorème.

8. Montrer quetr(A^p)≡tr(A) [p](théorème de Fermat pour les matrices).

Indication : on écriraA comme la somme d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice triangulaire inférieure stricte.

9. Soit(un)la suite dénie par u0 = 3,u1= 0,u2 = 2 et, pour toutn∈N,un+3 =un+1+un. Montrer que pour tout nombre premierp,p divise u_p.

Indication : on cherchera une matrice A à coecients entiers telle que...

* * * FIN DU SUJET * * *

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