MT242 Examen du 15 Juin 2000 ; dur´ee 3 heures Sans documents ni calculatrices.
Exercice I
1. On consid`ere l’endomorphisme ade R3 dont la matrice par rapport `a la base canonique est ´egale `a
A =
3 0 −1
0 −1 0
−1 0 3
.
Trouver une base orthonorm´ee (v1, v2, v3) de R3 form´ee de vecteurs propres de a (le produit scalaire sur R3 est le produit scalaire usuel).
2. On consid`ere la fonction r´eellef d´efinie surR3 par
f(x, y, z) = (x2+y2+z2)2−2 (3x2−y2+ 3z2−2xz).
Montrer que la diff´erentielle de f s’annule au point v= (x, y, z) si et seulement sia(v) =kvk2v (o`u a est l’endomorphisme d´efini dans la question pr´ec´edente). En d´eduire que f poss`ede cinq points critiques, que l’on d´eterminera.
3. La fonctionf admet-elle un extremum local au point (1,0,1) ? On pourra remarquer que les vecteurs v1, v2, v3 de la question1 sont vecteurs propres du hessien def au point (1,0,1).
Exercice II
1. On munit R3 de la norme euclidienne usuelle. On donne θ tel que 0 ≤ θ < 2π et on consid`ere l’endomorphisme r de R3 dont la matrice par rapport `a la base canonique est ´egale `a
R =
1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ
.
Montrer quer est une isom´etrie deR3. Quelle est la nature g´eom´etrique de la transformationr? 2. Montrer que pour tout vecteurv= (x, y, z), on a
kr(v)−vk2= 2(1−cosθ) (y2+z2).
En d´eduire que kr−Idk= 2 sin(θ/2) (on rappelle que pour toutu∈ L(R3), kuk= max{ku(v)k:v∈R3, kvk ≤1} ).
3. On consid`ere une isom´etrieu de R3telle que
max{ku(v)−vk:v∈R3, kvk ≤1}=√ 2.
Montrer que−1 n’est pas valeur propre deu. Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee (f1, f2, f3) deR3 telle queu(f1) =f1,u(f2) =f3etu(f3) =−f2. Donner une description g´eom´etrique deu.
TOURNEZ S.V.P.
Exercice III 1. Calculer les int´egrales doubles
Z Z
A
dxdy et Z Z
A
(x−1)dxdy
sur le demi-disque ouvert
A ={(x, y)∈R2:x >1, (x−1)2+y2<1}.
2. On pose U =R2\ {(0,0)} et on consid`ere l’application ϕ: U→ U d´efinie parϕ(x, y) = (x2+y2)−1(x,−y). V´erifier que ϕ◦ϕ = Id. En d´eduire que ϕ est une bijection de U sur U.
Montrer que ϕest de classe C1sur U. Calculer le jacobien deϕet le d´eterminant du jacobien de ϕen tout point (x, y)∈U.
3. Au moyen d’un changement de variable convenable et en utilisant les r´esultats de la question1, calculer l’int´egrale double
Z Z
B
s
(s2+t2)3dsdt
o`u B =ϕ(A) est l’image de A parϕ(l’ensemble B est le demi-disque ouvert B ={(s, t)∈R2:s >1/2, (s−1/2)2+t2<1/4}; on ne demande pas de v´erifier cette ´egalit´e d’ensembles).
