O1 - Optimisation – Points critiques
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OPTIMISATION – POINTS CRITIQUES 1 Détermination des coordonnées d’un point critique :
Un point critique d’une fonction est un point ; tel que les dérivées partielles de et soient nulles.
Pour déterminer le point critique, on va donc résoudre le système :
,
= 0
, = 0
Détermination de la nature d’un point critique :
Etape 1 : déterminer la matrice hessienne
² , ² ² ,
² , ² ,
²
Etape 2 : calculer le déterminant Dét =² ,
² ×
² ,
² − ,
Etape 3 : Conclure en fonction du déterminant
Dét = 0 On ne peut pas conclure
Dét < 0 Point col
Dét > 0 et ² ,
² > 0 Minimum local Dét > 0 et ² ,
² < 0 Maximum local
Exercices d’application
Rechercher les points critiques et déterminer leur nature pour les fonctions définies ci-dessous : 1 , = ² + 4² + 2 − 4 + 3
2 , = ² − 2 + 4
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Solutions 2
& '(, ) = (² + *)² + +( − *) + , Calcul des dérivées partielles :
,
= 2 + 2 ,
= 8 − 4
,
= 0
, = 0 ⇔ /2 + 2 = 08 − 4 = 0 ⇔ /
= −1 =1
2 Les coordonnées du point critiques sont ;−1 ; 1
2<.
Calcul des dérivées partielles seconde :
² ,
² = 2 ² ,
² = 8 ² ,
= 0 Détermination de la matrice hessienne :
;2 0
0 8< Calcul du déterminant : Dét = 2 × 8 − 0 = 16 Nous sommes dans le cas où : Dét > 0 et ² ,
² > 0 donc EFGFEHE IJKLI.
+ '(, ) = (² − +() + *) Calcul des dérivées partielles : ,
= 2 − 2 ,
= −2 + 4
,
= 0
,
= 0 ⇔ M2 − 2 = 0−2 + 4 = 0 ⇔ M = 2 = 2 Les coordonnées du point critiques sont 2 ; 2.
Calcul des dérivées partielles seconde :
² ,
² = 2 ² ,
² = 0
Détermination de la matrice hessienne :
;2 − 2
−2 0 < Calcul du déterminant : Dét = 2 × 0 − −2 × −2 = −4 Nous sommes dans le cas où : Dét < 0 donc NJFGO KJI.
