Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Semestre 3
12. Optimisation
Exercice 1 — D´eterminer, pour chacune des fonctions suivantes, les points critiques et leur type.
f1(x, y) =xy+x3+y2 f2(x, y) =x4+x2−6xy+ 3y2 f3(x, y) =x4+x2+xy−y2 f4(x, y) =x2−6xy+ 10x−2y−5
f5(x, y) =xy2+x3y−xy f6(x, y) = 3x4+ 3x2y−y3
Exercice 2 — Une entreprise produit un bien avec une fonction de production Q(K, L) =cKαLβ,
o`uc,αetβ sont des constantes strictement positives donn´ees, et o`uK etLrepr´esentent les quantit´es de capital et de travail utilis´ees. On noteaetbleurs coˆuts unitaires respectifs. Quelle est la production maximale possible pour un coˆut totalC? ´Etudier l’´evolution des quantit´es optimales de capital et de travail en fonction de C.
Exercice 3 — Une entreprise produit trois biens en quantit´esq1,q2,q3 `a un coˆut C(q1, q2, q3) =q12+ 2q22+ 3q32+q1q2+q2q3+ 2q1q3.
Les utilit´es de chaque bien par unit´e sont respectivement 2, 3 et 4. On demande `a cette entreprise de fournir une utilit´e totale de 40. Quelles quantit´es ¯q1, ¯q2, ¯q3 doit-elle produire pour minimiser le coˆut
? V´erifier qu’on obtient bien un minimum.
Exercice 4 — L’utilit´e de deux biens en quantit´esx1 et x2 est donn´ee par u(x1, x2) =x41x2. Leurs coˆuts unitaires sont respectivement de 20 euros et 10 euros. Leurs volumes unitaires sont respective- ment de 1m3et 2m3. Optimiser l’utilit´e pour un consommateur disposant d’un budget de 1500 euros et d’une capacit´e de stockage de 150m3.
Exercice 5 — Sixety milliers d’euros sont d´epens´es en travail et en ´equipement, une usine produit Q(x, y) = 50x12y2 unit´es d’un bien.
(1) L’entreprise dispose d’une enveloppe de 80000 euros. Comment cette somme doit-elle ˆetre r´epartie entre le travail et l’´equipement afin que le niveau de production soit le plus ´elev´e possible ?
(2) Donner une estimation de la variation de la production maximale suite `a une diminution de l’enveloppe de 1000 euros.
Exercice 6 — Soitf la fonction d´efinie par f(x, y) = x2y
2 +x2+y3 3 −4y.
(1) D´eterminer les points critiques de f.
(2) Quelle est la nature du point critique (0,2) ?
(3) Le cours permet-il de d´eterminer la nature du point critique (0,−2) ?
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Exercice 7 — Soit la fonctionf :R2 →Rd´efinie par
f(x, y) =x3+ 3xy2−15x−12y.
D´eterminer les points critiques def et leur type.
Indication. Lors de la recherche des points critiques, on pourra exprimer y en fonction de x puis poserz=x2.
Exercice 8 — Soit la fonctionf :R2 →Rd´efinie par f(x, y) = x4
4 + 2x2+y2
2 −2xy+ 2x−y+ 5.
(1) Montrer que f est convexe sur R2.
(2) Montrer que f admet un unique minimum global. On d´eterminera le point en lequel ce minimum est atteint ainsi que la valeur def en ce point.
Exercice 9 —
(1) R´esoudre le syst`eme
4x−2y−2z = 0
−2x+ 4y−2z = 0
−2x−2y+ 4z = 0 (2) Soit la fonction de trois variables
f(x, y, z) = x6+y6+z6 x2y2z2 .
Montrer que le gradient def s’annule en un point (x, y, z) si et seulement si |x|=|y|=|z|.
(3) Soitx >0. Calculer la matrice hessienne de f en (x, x, x), ainsi que ses valeurs propres.
(4) Le point (x, x, x) peut-il ˆetre un maximum local de f ?
* Exercice10 — Maximiser sous contrainte les fonctions suivantes.
(1) f(x, y) =x2+y2 sous 2x+y62,x>0 ety >0.
(2) f(x, y) =x+y sousx2+ 2y2 63,x>0 ety >0.
(3) f(x, y) = 2y2−x sousx2+y2 61, x>0 ety >0.
(4) f(x, y) =x2−2y sousx2+y2 61, x>0 ety >0.
(5) f(x, y) = 3xy−x3 sous 2x−y=−5, x>0 et y>0.
* Exercice11 — D´eterminer le maximum et le minimum def(x, y, z) =x+y+z2sous les contraintes x2+y2+z2= 1 ety= 0. Quelle est l’interpr´etation g´eom´etrique de ces contraintes ?
* Exercice12 — Maximiserf(x, y, z) =xyz+zsous les contraintes x2+y2+z66,x>0,y >0 et z>0.
* Exercice13 — Trouver les minima et maxima de f(x, y) = cos(x) cos(y) (1) dans R2,
(2) sous la contrainte x2+y2610, (3) sous la contrainte xy610.
