Exercice n°1 10 points – – –

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TS – Contrôle n°5 – Partie A

Exercice n°1 – 10 points

Soit n un entier naturel non nul.

On considère la fonction f

définie et dérivable sur l'ensemble R des nombres réels par :

f

(x) = ¤x

e

On note c

la courbe représentative de la fonction f

dans un repère orthogonal.

On définit, pour tout entier naturel n non nul, I

= /int{0;1;f_n(x)dx}.

Partie A : étude de la fonction f

.

1. On admet que la fonction f

est dérivable sur R et on note f'

sa dérivée.

a [0,5] . Calculer f'

.

b [2] . Étudier les variations de la fonction f

sur R.

c [1] . Déterminer la limite de f

en – ∞.

d [1] . Déterminer la limite de f

en + ∞.

2 [1] . En utilisant un logiciel de calcul formel, on trouve qu'une primitive F

de la fonction f

est donnée par F

(x)= – #1e

( x

2 ⁺ x 2 ⁺

1

4 ). En déduire la valeur exacte de I

.

Partie B : étude de la suite ( I

).

1. Soit n un entier naturel non nul.

a [0,5] . Interpréter graphiquement la quantité I

.

B [0.5] . Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (I

).

2. a [0,5] . Exprimer f

en fonction de f

.

b [1] . En déduire que, pour tout x appartenant à [0;1], et pour tout n entier naturel non nul, f

(x) ≤ f

(x).

c [0,5] . Déterminer le sens de variation de la suite (I

).

3. Soit n un entier naturel non nul.

a [1] . Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout x appartenant à [0;1], 0 ≤ f

(x) ≤ #1e

.

B [1] . En déduire un encadrement de la suite (I

), puis sa limite.

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