Exercice 1. Pour chacune des fonctions f suivantes, l’int´egrale Z +∞

Universit´e Paul Sabatier J.M. Roquejoffre Pr´epa Agreg 2019-2020

Int´egration

Exercice 1. Pour chacune des fonctions f suivantes, l’int´egrale Z +∞

0

|f(x)|dx converge-t-elle?

1. f (x) = sin x

x ^α , α ∈ R . 2. f (x) = sin x ² . 3. f (x) = cos x ² . 4. f (x) = 1

(ln x) ^β x ^α . 5. f (x) = e ^−x

x ^α , α ∈ R.

Exercice 2. Pour chaque fonction f de l’exercice 1, indiquer si l’int´egrale Z

R

f converge.

Exercice 3. Soit f :]0, 1[×[0, 1] → R ⁺ d´efinie par

f (t, x) =



 



 

 4

t ² x si x ∈ [0, t 2 ], 4

t ² (t − x) si x ∈] t 2 , t], 0 si x ∈]t, 1].

1. Montrer que pour tout t ∈]0, 1[, f (t, ·) est continue sur [0, 1]. On pose F(t) =

Z 1 0

f (t, x) dx.

2. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], f (t, x) → 0 lorsque t → 0.

3. Montrer que F (t) 6→ 0 lorsque t → 0 ⁺ . Pourquoi ne peut-on appliquer le th´eor`eme de continuit´e des int´egrales `a param`etres ?

Exercice 4. Quelques calculs d’int´egrales plus ou moins usuelles (on justifiera d’´eventuelles interversions).

1. Calculer Z

R

e ^−(x

^+y

⁾ dxdy et en d´eduire Z

R

e ^−x

= √ π.

2. Calculer Z

[nπ,(n+1)π]× R

e ^−xy sin xdxdy et en d´eduire Z +∞

0

sin x

x dx = π 2 . 3. (plus difficile) Exprimer les int´egrales

a(t) :=

Z

[0,t]

sin(x ² + y ² )dxdy, b(t) :=

Z

[0,t]

cos(x ² + y ² )dxdy

de deux mani`eres diff´erentes. On pose alors I(T ) = 1 T

Z T 0

a(t)dt, J (T ) = 1 T

Z T 0

b(t)dt. Etudier les limites de I (T ) et J (T ) quand T → +∞, en d´eduire les valeurs de

Z +∞

0

sin(x ² )dx et Z +∞

0

cos(x ² )dx.

1

Exercice 5. Consid´erons l’int´egrale I(λ) = Z 1

0

dt

p t(1 − t)(1 − λ ² t) . 1. Montrer que I (λ) est bien d´efinie pour 0 < λ < 1.

2. Montrer que I (λ) tend vers +∞ quand λ → 1 ⁻ . 3. (plus difficile) Montrer que I (λ) ∼ _λ→1

− ln(1 − λ).

Exercice 6. On d´efinit une fonction f par l’expression f (t) =

Z +∞

0

e ^−(x

^+(t/x

⁾⁾ dx.

1. Quel est le domaine de d´efinition de f ? 2. D´emontrer que f est continue sur [0, +∞[.

3. D´emontrer que f est d´erivable sur ]0, +∞[ et que pour tout t > 0, f ⁰ (t) = − 1

√ t f (t)

et en d´eduire l’expression de f (t).

Exercice 7. En d´erivant sous l’int´egrale, calculer Z +∞

0

e ^−at − e ^−bt

t cos(xt)dt et Z +∞

0

1 − cos(xt)

t e ^−t dt. On justifiera le proc´ed´e.

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